数学理卷·2018届山东省菏泽市高三下学期第一次模拟考试(2018

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数学理卷·2018届山东省菏泽市高三下学期第一次模拟考试(2018

菏泽市2018届高三年级第一次模拟考试 数学(理科)‎ ‎2018.3‎ 考生注意:‎ ‎1.本试卷分选择题和非选择题两部分。满分150分,考试时间120分钟。‎ ‎2.答题前,考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。‎ ‎3.考生作答时,请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑;非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效,在试题卷、草稿纸上作答无效。 ‎ ‎4.本卷命题范围:高考范围。‎ 一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分. 在每小题列出的四个选项中,只有一项是最符合题目要求的.‎ ‎1.已知集合,则 A. B. C. D.‎ ‎2.已知复数满足(为虚数单位),则为 A.2 B. C. D.1‎ ‎3.已知是两条不同的直线,是三个不同的平面,则下列正确的是 A. 若,则 B.若,则 ‎ C. 若,则 D.若,则 ‎ ‎4.若在区间上随机取两个数,则这两个数之和小于3的概率是 A. B. C. D.‎ ‎5.若双曲线的离心率,则实数的取值范围为 A. B. C. D.‎ ‎6.等比数列中,是方程的两个实数根,则的值为 A.2 B.或 C. D.‎ ‎7.执行如图所示的程序框图,输入,若要求输出不超过500的最大奇数,则◇内应填 ‎ ‎ A. B. C. D.‎ ‎8.若的展开式中含有常数项,且的最小值为,则 A. B. C. D.‎ ‎9.如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是某三棱锥的三视图,则该三棱锥的外接球的表面积是 ‎ ‎ A. B. C. D.‎ ‎10.已知,若将函数的图象向右平移个单位长度后所得图象关于轴对称,则的最小值为 A. B. C. D.‎ ‎11.已知椭圆的左、右焦点分别为,过作垂直于轴的直线交椭圆于,两点,若的内切圆半径为,则椭圆的离心率 A. B.或 C. D. ‎ ‎12.已知是定义域为的单调函数,若对任意都有 ‎,且关于的方程在区间上有两个不同实数根,则实数的取值范围是 A. B. C. D. ‎ 二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.‎ ‎13.记表示不超过的最大整数,例如,已知 则__________.‎ ‎14.若实数满足,则的最小值是__________.‎ ‎15.已知平面向量均为单位向量,若,则的取值范围为__________.‎ ‎16.已知等差数列前项和为,且,若满足不等式的正整数有且仅有3个,则实数的取值范围为__________.‎ 三、解答题:本大题共6小题,共70分. 解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 第17题〜第21题为必考题,每个题目考生都必须作答. 第22题〜第23题为选考题,考生根据要求作答.‎ ‎(一)必考题: 共60分.‎ ‎17.(本小题满分12分)‎ 在中,分别是角的对边,且 ,.‎ ‎(1)求的值;‎ ‎(2)若,求的面积.‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎18.(本小题满分12分)‎ 如图,在几何体中,四边形是边长为2的菱形,平面,平面,,.‎ ‎(1)当长为多少时,平面平面?‎ ‎(2)在(1)的条件下,求二面角的余弦值.‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎19.(本小题满分12分)‎ 在一次诗词知识竞赛调查中,发现参赛选手分为两个年龄(单位:岁)段:,‎ ‎,其中答对诗词名句与否的人数如图所示.‎ ‎ ‎ ‎(1)完成下面2×2列联表;‎ 年龄段 正确 错误 合计 合计 ‎(2)是否有90%的把握认为答对诗词名句与年龄有关,请说明你的理由;‎ ‎(3)现按年龄段分层抽样选取6名选手,若从这6名选手中选取3名选手,求3名选手中年龄在岁范围人数的分布列和数学期望.‎ 注:,其中 ‎0.100‎ ‎0.050‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎20.(本小题满分12分)‎ 已知抛物线的顶点为平面直角坐标系的坐标原点,焦点为圆 的圆心.经过点的直线交抛物线于两点,交圆于两点,在第一象限,在第四象限.‎ ‎(1)求抛物线的方程;‎ ‎(2)是否存在直线使是与的等差中项?若存在,求直线的方程;若不存在,请说明理由.‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎21.(本小题满分12分)‎ 已知函数.‎ ‎(1)若关于的方程在区间上有解,求实数的取值范围;‎ ‎(2)若对恒成立,求实数的取值范围.‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎(二)选考题: 共10分. 请考生在第22、23两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.‎ ‎22.(本小题满分10分)选修4-4: 坐标系与参数方程 在平面直角坐标系中,曲线,(为参数),以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.‎ ‎(1)求曲线的普通方程和曲线的普通方程;‎ ‎(2)若分别为曲线上的动点,求的最大值.‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎23.(本小题满分10分)选修4-5: 不等式选讲 已知函数.‎ ‎(1)求不等式的解集;‎ ‎(2)设,若对任意不等式成立,求实数的取值范围.‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 菏泽市2018届高三年级第一次模拟考试·数学(理科)‎ 参考答案、提示及评分细则 ‎1.C 因为集合,‎ ‎,所以, 故选C. ‎ ‎2.C 由,得,‎ ‎∴,故选C.‎ ‎3.D 若,则,D正确;分析知选项A,B,C均不正确,故选D. ‎ ‎4.A 如图,在区间[0,2]上随机取两个数为x,y,则不等式组, 表示的平面区域为边长是2的正方形OACE区域.又,所以所求概率.故选A ‎5.D 由题意易得,则,即.故选D.‎ ‎6.B 是方程的根,,即或..故选B.‎ ‎7.C 输入,则,不符合;,‎ 则,不符合;,则,符合.又,所以输出m的值应为5,所以空白框内应填输出.故选C ‎8.C 展开式的通项为 ‎,因为展开式中含有常数项,所以,即为整数,故n的最小值为5.‎ 所以.故选C ‎9.D 由已知中的三视图可得:该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥,其外接球相当于以俯视图为底面侧棱长为1的直三棱柱的外接球,再由正弦定理易得底面三角形的外接圆半径,球心到底面的距离, 故球半径,故球的表面积,故选D.‎ ‎10.D 由得,又,则,所以,‎ 所以.将向右平移个单位长度后得到 ‎,因为函数的图象关于y轴对称,所以 ‎,即.又,所以当时,取得最小值. 故选D.‎ ‎11.B 如图,设内切圆圆心为C,半径为r,‎ 则.‎ 即,∴,∴.整理得,解得或.故选B. ‎ ‎12.A 由题意知必存在唯一的正实数m满足,,‎ ‎∴,∴,∴,解得m=3.‎ 故.又关于x的方程在区间(0,3]上有两个不同实数根,即关于x的方程在区间(0,3]上有两个不同实数根.由,得.当时,,单调递减;与时,,单调递增,∴在处取得最大值a.,.分别作出函数和函数 的部分图象:‎ ‎ ‎ 两图象只有一个交点(l,0),将的图象向上平移,且经过点(3,1),由,得.综上 .故选A.‎ ‎13. ∵,∴. 又∵,∴,即.‎ ‎14. 不等式可表示为如图所示的平面区域.‎ ‎ ‎ 为该区域内的点与坐标原点连线的斜率,显然,当x=3,y=1时,取得最小值. ‎ ‎15. ∵三个平面向量均为单位向量,,∴设,,,则,,‎ ‎∴.它表示单位圆上的点到定点P(2,3)的距离,其最大值是,最小值是. ‎ ‎∴ 的取值范围是. ‎ ‎ ‎ ‎16. 不妨设,由,得,‎ 则,所以,令,‎ 则),易得数列在时单调递减;在n>5时单调递增. 令,有,,. 若满足题意的正整数n只有3个,则n只能为4,5,6,故实数的取值范围为. ‎ ‎17.解:(1)∵,由正弦定理得. ‎ ‎∴,∴. ‎ 又,∴. ‎ ‎∵,∴,∴,‎ 由3a=2b知,a<b,‎ ‎∴A为锐角,∴. ‎ ‎∴‎ ‎(2)∵b=6,,∴a=4. ‎ ‎∴. ‎ ‎18.证明:(1)连接BD交AC于点O,则AC⊥BD.‎ 取EF的中点G,连接OG,则OG∥DE. ‎ ‎∵DE⊥平面ABCD,∴OG⊥平面ABCD. ‎ ‎∴OG,AC,BD两两垂直. ‎ ‎∴以AC,BD,OG所在直线分别作为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系(如图),‎ 设,‎ 由题意,易求,‎ ‎∴,‎ 设平面AEF,平面CEF的法向量分别为,‎ 由,,得,∴‎ 解得. 令,∴. ‎ 同理可求. ‎ 若平面AEF⊥平面CEF,则,‎ ‎∴,‎ 解得或(舍),‎ 即BF长为时,平面AEF⊥平面CEF. ‎ 解:(2)当时,,‎ ‎∴,,∴EF⊥AF,EF⊥CF,‎ ‎∴EF⊥平面AFC,‎ ‎∴平面AFC的一个法向量为,‎ 设平面AEC的一个法向量为,则 ‎,∴,得,‎ 令,得,∴. ‎ 从而. ‎ 故所求的二面角E-AC-F的余弦值为. ‎ ‎19.解:(1)2×2列联表:‎ 年龄段 正确 错误 合计 ‎[20,30)‎ ‎10‎ ‎30‎ ‎40‎ ‎[30,40]‎ ‎10‎ ‎70‎ ‎80‎ 合计 ‎20‎ ‎100‎ ‎120‎ ‎(2). ‎ ‎∵3>2.706,‎ ‎∴有90%的把握认为答对诗词名句与年龄有关. ‎ ‎(3)按年龄段分层抽取6人中,在范围[20,30)岁的人数是2(人),在[30,40]岁范围的人数是4(人).‎ 现从6名选手中选取3名选手,设3名选手中在范围[20,30)岁的人数为,则的可能取值为0,1,2‎ ‎,‎ ‎,‎ ‎,‎ ‎∴的分布列为 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ P 故的数学期望为. ‎ ‎20.解:(1)∵圆F的方程为,‎ ‎∴圆心F的坐标为(2,0),半径r=1. ‎ 根据题意设抛物线E的方程为,‎ ‎∴,解得p=4. ‎ ‎∴抛物线E的方程为. ‎ ‎(2) ∵是与的等差中项,‎ ‎∴. ‎ ‎∴. ‎ 讨论:‎ 若垂直于x轴,则的方程为x=2,代入,解得. ‎ 此时|AD|=8,不满足题意;‎ 若不垂直于x轴,则设的斜率为k(k≠0),此时的方程为,‎ 由,得. ‎ 设,则. ‎ ‎∵拋物线E的准线方程为x=-2,‎ ‎∴‎ ‎∴,解得. ‎ 当时,化为. ‎ ‎∵,∴有两个不相等实数根.‎ ‎∴满足题意.‎ ‎∴存在满足要求的直线或直线. ‎ ‎21.解:(1)方程即为. ‎ 令,则. ‎ 令,则(舍),. ‎ 当x∈[1, 3]时,随x变化情况如表: ‎ x ‎1‎ ‎3‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎-‎ 极大值 ‎∴当x∈[1,3]时,. ‎ ‎∴m的取值范围是. ‎ ‎(2)据题意,得对恒成立.‎ 令,‎ 则. ‎ 令,则当x>0时,, ‎ ‎∴函数在上递增. ‎ ‎∵,‎ ‎∴存在唯一的零点c∈(0,1),且当x∈(0,c)时,;当时,‎ ‎. ‎ ‎∴当x∈(0,c)时,;当时,. ‎ ‎∴在(0,c)上递减,在上递增,从而. ‎ 由得,即,两边取对数得,‎ ‎∴. ‎ ‎∴,即所求实数a的取值范围是. ‎ ‎22.解:(1)的普通方程为.‎ ‎∵曲线的极坐标方程为,‎ ‎∴曲线的普通方程为,即.‎ ‎(2)设为曲线上一点,‎ 则点到曲线的圆心的距离 ‎.‎ ‎∵,∴当时,d有最大值.‎ 又∵P,Q分别为曲线,曲线上动点,‎ ‎∴的最大值为.‎ ‎23.解:(1)因为,‎ 所以即为,整理得.‎ 讨论:‎ ‎①当时,,即,解得.‎ 又,所以.‎ ‎②当时,,即,解得.‎ 又,所以.‎ 综上,所求不等式的解集为.‎ ‎(2)据题意,得对任意恒成立,‎ 所以恒成立.‎ 又因为,所以.‎ 所以,解得.‎ 所以所求实数m的取值范围是.‎
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