2012年高考真题汇编——理科数学（解析版）6：平面向量

2012年高考真题汇编——理科数学（解析版）6：平面向量

‎2012高考真题分类汇编：平面向量 ‎1.【2012高考真题重庆理6】设R，向量且，则 ‎（A） （B） （C） （D）10‎ ‎【答案】B ‎ 【解析】因为，所以有且，解得，，即，所以，，选B.‎ ‎2.【2012高考真题浙江理5】设a，b是两个非零向量。‎ A.若|a+b|=|a|-|b|，则a⊥b B.若a⊥b，则|a+b|=|a|-|b|‎ C.若|a+b|=|a|-|b|，则存在实数λ，使得b=λa D.若存在实数λ，使得b=λa，则|a+b|=|a|-|b|‎ ‎【答案】C ‎【解析】利用排除法可得选项C是正确的，∵|a＋b|＝|a|－|b|，则a，b共线，即存在实数λ，使得a＝λb．如选项A：|a＋b|＝|a|－|b|时，a，b可为异向的共线向量；选项B：若a⊥b，由正方形得|a＋b|＝|a|－|b|不成立；选项D：若存在实数λ，使得a＝λb，a，b可为同向的共线向量，此时显然|a＋b|＝|a|－|b|不成立．‎ ‎3.【2012高考真题四川理7】设、都是非零向量，下列四个条件中，使成立的充分条件是（ ）‎ A、 B、 C、 D、且 ‎ 【答案】C ‎【解析】A.可以推得为既不充分也不必要条件；B.可以推得 或为必要不充分条件；C．为充分不必要条件；D同B.‎ ‎4.【2012高考真题辽宁理3】已知两个非零向量a，b满足|a+b|=|ab|‎ ‎，则下面结论正确的是 ‎(A) a∥b (B) a⊥b ‎ ‎(C){0,1,3} (D)a+b=ab ‎【答案】B ‎【解析】一、由|a+b|=|ab|，平方可得ab=0, 所以a⊥b，故选B 二、根据向量加法、减法的几何意义可知|a+b|与|ab|分别为以向量a，b为邻边的平行四边形的两条对角线的长，因为|a+b|=|ab|，所以该平行四边形为矩形，所以a⊥b，故选B ‎【点评】本题主要考查平面向量的运算、几何意义以及向量的位置关系，属于容易题。解析一是利用向量的运算来解，解析二是利用了向量运算的几何意义来解。‎ ‎5.【2012高考真题江西理7】在直角三角形中，点是斜边的中点，点为线段的中点，则=‎ A．2 B．‎4 C．5 D．10‎ ‎【答案】D ‎ ‎ ‎【解析】将直角三角形放入直角坐标系中，如图，设，则，,所以，，，所以,所以，选D.‎ ‎6.【2012高考真题湖南理7】在△ABC中，AB=2，AC=3，= 1则.‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】A ‎【解析】由下图知.‎ ‎.又由余弦定理知，解得.‎ ‎【点评】本题考查平面向量的数量积运算、余弦定理等知识.考查运算能力，考查数形结合思想、等价转化思想等数学思想方法.需要注意的夹角为的外角.‎ ‎7.【2012高考真题广东理3】若向量=（2,3），=（4,7），则=‎ A．（-2,-4） B． (3,4) C． (6,10) D． (-6,-10)‎ ‎【答案】A ‎ 【解析】．故选A．‎ ‎8.【2012高考真题广东理8】对任意两个非零的平面向量α和β，定义．若平面向量a，b满足|a|≥|b|＞0，a与b的夹角，且和都在集合中，则=‎ A． B‎.1 C. D. ‎ ‎ 【答案】C ‎【解析】因为，，‎ 且和都在集合中，所以，，所以，因为，所以，故有．故选C．‎ ‎9.【2012高考真题安徽理8】在平面直角坐标系中，，将向量 按逆时针旋转后，得向量，则点的坐标是（ ）‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎【答案】A ‎【命题立意】本题考查平面向量与三角函数交汇的运算问题。‎ ‎【解析】【方法一】设，‎ 则．‎ ‎【方法二】将向量按逆时针旋转后得，则．‎ ‎10.【2012高考真题天津理7】已知为等边三角形，AB=2，设点P，Q满足，，，若，则=‎ ‎（A） （B）‎ ‎ （C） （D）‎ ‎【答案】A ‎【解析】如图，设 ，则，又，，由得，即，整理，即，解得 选A.‎ ‎11.【2012高考真题全国卷理6】△ABC中，AB边的高为CD，若a·b=0，|a|=1，|b|=2，则 ‎(A) （B） (C) (D)‎ ‎【答案】D ‎【解析】在直角三角形中，,则,所以,所以,即，选D.‎ ‎12.【2012高考真题新课标理13】已知向量夹角为 ，且；则 ‎【答案】‎ ‎【解析】因为，所以，即，所以，整理得，解得或（舍去）.‎ ‎13.【2012高考真题浙江理15】在△ABC中，M是BC的中点，AM=3，BC=10，则=________.‎ ‎【答案】-16‎ ‎【解析】法一此题最适合的方法是特例法．‎ 假设ABC是以AB＝AC的等腰三角形，如图，‎ AM＝3，BC＝10，AB＝AC＝．‎ cos∠BAC＝．＝‎ 法二：.‎ ‎14.【2012高考真题上海理12】在平行四边形中，，边、的长分别为2、1，若、分别是边、上的点，且满足，则的取值范围是 。‎ ‎【答案】[2,5].‎ ‎【解析】设=（0≤≤1），‎ 则=,=，‎ 则==‎ ‎=+++,‎ 又∵=2×1×=1，=4，=1，‎ ‎∴=，‎ ‎∵0≤≤1，∴2≤≤5，即的取值范围是[2,5].‎ ‎15.【2012高考真题山东理16】如图，在平面直角坐标系中，一单位圆的圆心的初始位置在，此时圆上一点的位置在，圆在轴上沿正向滚动。当圆滚动到圆心位于时，的坐标为______________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】因为圆心移动的距离为2，所以劣弧，即圆心角,,则,所以，‎ ‎，所以，，所以。‎ ‎16.【2012高考真题北京理13】已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，则的值为________，的最大值为______。‎ ‎【答案】1，1‎ ‎【解析】根据平面向量的数量积公式，由图可知，，因此，‎ ‎，而就是向量在边上的射影，要想让最大，即让射影最大，此时E点与B点重合，射影为，所以长度为1．‎ ‎17.【2012高考真题安徽理14】若平面向量满足：，则的最小值是。‎ ‎【答案】‎ ‎【命题立意】本题考查平面向量的模与数量积的运算。‎ ‎【解析】‎ ‎18.【2012高考江苏9】（5分）如图，在矩形中，点为的中点，点在边上，若，则的值是 ▲ ．‎ ‎【答案】。‎ ‎【考点】向量的计算，矩形的性质，三角形外角性质，和的余弦公式，锐角三角函数定义。‎ ‎【解析】由，得，由矩形的性质，得。‎ ‎ ∵，∴，∴。∴。‎ ‎ 记之间的夹角为，则。‎ ‎ 又∵点E为BC的中点，∴。‎ ‎ ∴‎ ‎。‎ ‎ 本题也可建立以为坐标轴的直角坐标系，求出各点坐标后求解。‎ ‎ ‎