2012年高考真题汇编——理科数学（解析版）2：函数与方程

2012年高考真题汇编——理科数学（解析版）2：函数与方程

‎2012高考真题分类汇编：函数与方程 一、选择题 ‎1.【2012高考真题重庆理7】已知是定义在R上的偶函数，且以2为周期，则“为上的增函数”是“为上的减函数”的 ‎（A）既不充分也不必要的条件 （B）充分而不必要的条件 ‎ ‎（C）必要而不充分的条件 （D）充要条件 ‎ ‎ ‎【答案】D ‎【解析】因为为偶函数，所以当在上是增函数，则在上则为减函数，又函数的周期是4，所以在区间也为减函数.若在区间为减函数，根据函数的周期可知在上则为减函数，又函数为偶函数，根据对称性可知，在上是增函数，综上可知，“在上是增函数”是“为区间上的减函数”成立的充要条件，选D.‎ ‎2.【2012高考真题北京理8】某棵果树前n前的总产量S与n之间的关系如图所示.从目前记录的结果看，前m年的年平均产量最高。m值为（ ）‎ A.5 B‎.7 C.9 D.11‎ ‎ 【答案】C ‎【解析】由图可知6,7,8,9这几年增长最快，超过平均值，所以应该加入，因此选C。‎ ‎3.【2012高考真题安徽理2】下列函数中，不满足：的是（ ）‎ ‎ ‎ ‎【答案】C ‎【命题立意】本题考查函数的概念与解析式的判断。‎ ‎【解析】与均满足：得：满足条件．‎ ‎4.【2012高考真题天津理4】函数在区间(0,1)内的零点个数是 ‎（A）0 （B）1‎ ‎ （C）2 （D）3‎ ‎【答案】B ‎【解析】因为函数的导数为，所以函数单调递增，又，，所以根据根的存在定理可知在区间内函数的零点个数为1个，选B.‎ ‎5.【2012高考真题全国卷理9】已知x=lnπ，y=log52，，则 ‎(A)x＜y＜z （B）z＜x＜y (C)z＜y＜x (D)y＜z＜x ‎【答案】D ‎【解析】，，，，所以，选D.‎ ‎6.【2012高考真题新课标理10】 已知函数；则的图像大致为（ ）‎ ‎【答案】B ‎【解析】排除法，因为，排除A.，排除 C,D，选B.‎ ‎7.【2012高考真题陕西理2】下列函数中，既是奇函数又是增函数的为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D.‎ ‎【解析】根据奇偶性的定义和基本初等函数的性质易知A非奇非偶的增函数；B是奇函数且是减函数；C是奇函数且在，上是减函数；D中函数可化为易知是奇函数且是增函数.故选D.‎ ‎8.【2012高考真题重庆理10】设平面点集，则所表示的平面图形的面积为 ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎ ‎ ‎【答案】D ‎【解析】由可知或者，在同一坐标系中做出平面区域如图：，由图象可知的区域为阴影部分，根据对称性可知，两部分阴影面积之和为圆面积的一半，所以面积为，选D.‎ ‎9.【2012高考真题山东理3】设且，则“函数在上是减函数 ”，是“函数在上是增函数”的 ‎（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件 ‎ ‎（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】若函数在R上为减函数，则有。函数为增函数，则有，所以，所以“函数在R上为减函数”是“函数 为增函数”的充分不必要条件，选A.‎ ‎10.【2012高考真题四川理3】函数在处的极限是（ ）‎ A、不存在 B、等于 C、等于 D、等于 ‎ ‎ ‎【答案】A.‎ ‎【解析】即为，故其在处的极限不存在，选A.‎ ‎11.【2012高考真题四川理5】函数的图象可能是（ ）‎ ‎ ‎ ‎【答案】D ‎【解析】当时单调递增，，故A不正确；‎ 因为恒不过点，所以B不正确；‎ 当时单调递减，，故C不正确 ；D正确.‎ ‎12.【2012高考真题山东理8】定义在上的函数满足.当时，，当时，。则 ‎（A）335 （B）338 （C）1678 （D）2012‎ ‎【答案】B ‎【解析】由，可知函数的周期为6，所以，，，，，，所以在一个周期内有，所以，选B.‎ ‎13.【2012高考真题山东理9】函数的图像大致为 ‎【答案】D ‎【解析】函数为奇函数，所以图象关于原点对称，排除A,令得，所以，，函数零点有无穷多个，排除C,且轴右侧第一个零点为，又函数为增函数，当时，，，所以函数，排除B，选D.‎ ‎14.【2012高考真题山东理12】设函数，若的图象与图象有且仅有两个不同的公共点,则下列判断正确的是 A.当时，‎ B. 当时，‎ C. 当时，‎ D. 当时，‎ ‎【答案】B ‎【解析】在同一坐标系中分别画出两个函数的图象，当时，要想满足条件，则有如图，做出点A关于原点的对称点C,则C点坐标为，由图象知即，同理当时，则有，故答案选B.‎ 另法：，则方程与同解，故其有且仅有两个不同零点 ‎.由得或.这样，必须且只须或，因为，故必有由此得.不妨设，则.所以，比较系数得，故.，由此知，故答案为B.‎ ‎15.【2012高考真题辽宁理11】设函数f(x)满足f()=f(x)，f(x)=f(2x)，且当时，f(x)=x3.又函数g(x)=|xcos|，则函数h(x)=g(x)-f(x)在上的零点个数为 ‎(A)5 (B)6 (C)7 (D)8‎ ‎【答案】B ‎【解析】因为当时，f(x)=x3. 所以当，f(x)=f(2x)=(2x)3，‎ 当时，g(x)=xcos；当时，g(x)= xcos，注意到函数f(x)、 g(x)都是偶函数，且f(0)= g(0)， f(1)= g(1)，，作出函数f(x)、 g(x)的大致图象，函数h(x)除了0、1这两个零点之外，分别在区间上各有一个零点，共有6个零点，故选B ‎【点评】本题主要考查函数的奇偶性、对称性、函数的零点，考查转化能力、运算求解能力、推理论证能力以及分类讨论思想、数形结合思想，难度较大。‎ ‎16.【2012高考真题江西理2】下列函数中，与函数定义域相同的函数为 A． B. C.y=xex D. ‎ ‎【答案】D ‎【命题立意】本题考查函数的概念和函数的性质定义域。‎ ‎【解析】函数的定义域为。的定义域为,的定义域为，函数的定义域为，所以定义域相同的是D,选D.‎ ‎17.【2012高考真题江西理3】若函数，则f(f(10)=‎ A.lg101 B‎.2 C.1 D.0‎ ‎【答案】B ‎【命题立意】本题考查分段函数的概念和求值。‎ ‎【解析】，所以，选B.‎ ‎18.【2012高考真题江西理10】如右图，已知正四棱锥所有棱长都为1，点E是侧棱上一动点，过点垂直于的截面将正四棱锥分成上、下两部分，记截面下面部分的体积为则函数的图像大致为 ‎ ‎【答案】A ‎【解析】（定性法）当时，随着的增大，观察图形可知，单调递减，且递减的速度越来越快；当时，随着的增大，观察图形可知，单调递减，且递减的速度越来越慢；再观察各选项中的图象，发现只有A图象符合.故选A.‎ ‎【点评】对于函数图象的识别问题，若函数的图象对应的解析式不好求时，作为选择题，没必要去求解具体的解析式，不但方法繁琐，而且计算复杂，很容易出现某一步的计算错误而造成前功尽弃；再次，作为选择题也没有太多的时间去给学生解答；因此，使用定性法，不但求解快速，而且准确节约时间.‎ ‎19．【2012高考真题湖南理8】已知两条直线 ：y=m 和： y=(m＞0)，与函数的图像从左至右相交于点A，B ，与函数的图像从左至右相交于C,D ‎ .记线段AC和BD在X轴上的投影长度分别为a ,b ,当m 变化时，的最小值为 A． B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】在同一坐标系中作出y=m，y=(m＞0)，图像如下图，‎ 由= m，得，= ，得.‎ 依照题意得.‎ ‎，.‎ ‎【点评】在同一坐标系中作出y=m，y=(m＞0)，图像，结合图像可解得.‎ ‎20.【2012高考真题湖北理9】函数在区间上的零点个数为 A．4 B．5 ‎ C．6 D．7‎ ‎【答案】C ‎【解析】，则或，，又，‎ 所以共有6个解.选C.‎ ‎21.【2012高考真题广东理4】下列函数中，在区间（0，+∞）上为增函数的是 A.y=ln（x+2） B.y=- C.y=（）x D.y=x+‎ ‎【答案】A ‎ ‎ ‎【解析】函数y=ln（x+2）在区间（0，+∞）上为增函数；函数y=-在区间（0，+∞）上为减函数；函数y=（）x在区间（0，+∞）上为减函数；函数y=x+在区间（0，+∞）上为先减后增函数．故选A．‎ ‎22.【2012高考真题福建理7】设函数则下列结论错误的是 A.D（x）的值域为{0,1}‎ B. D（x）是偶函数 C. D（x）不是周期函数D. ‎ D（x）不是单调函数 ‎【答案】Ｃ．‎ ‎ 【解析】根据解析式易知Ａ和Ｄ正确；若是无理数，则和也是无理数，若是有理数，则和也是有理数，所以，从而可知Ｂ正确，Ｃ错误．故选Ｃ．‎ ‎23.【2012高考真题福建理10】函数f（x）在[a,b]上有定义，若对任意x1，x2∈[a,b]，有则称f（x）在[a,b]上具有性质P.设f（x）在[1,3]上具有性质P，现给出如下命题：‎ ‎①f（x）在[1,3]上的图像时连续不断的；‎ ‎②f（x2）在[1,]上具有性质P；‎ ‎③若f（x）在x=2处取得最大值1，则f（x）=1，x∈[1,3]；‎ ‎④对任意x1，x2，x3，x4∈[1,3]，有 其中真命题的序号是 A.①② B.①③ C.②④ D.③④‎ ‎【答案】D．‎ ‎ ‎ ‎【解析】若函数在时是孤立的点，如图，则①可以排除；函数具有性质p，而函数不具有性质p，所以②可以排除；设，则,‎ 即，又，所以，因此③正确；‎ 所以④正确.故选D.‎ 二、填空题 ‎24.【2012高考真题福建理15】对于实数a和b，定义运算“﹡”：， ‎ 设，且关于x的方程为f（x）=m（m∈R）恰有三个互不相等的实数根x1，x2，x3，则x1x2x3的取值范围是_________________.‎ ‎【答案】．‎ ‎【命题立意】本题属于新概念型题目，考查了根据条件确定分段函数解析式的能力，以及数形结合的思想和基本推理与计算能力，难度较大．‎ ‎【解析】由新定义得，所以可以画出草图，若方程有三个根，则，且当时方程可化为，易知；当时方程可化为，可解得，所以，又易知当时有最小值，所以，即.‎ ‎25.【2012高考真题上海理7】已知函数（为常数）。若在区间上是增函数，则的取值范围是 。‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】令，则在区间上单调递增，而为增函数，所以要是函数在单调递增，则有，所以的取值范围是。‎ ‎26.【2012高考真题上海理9】已知是奇函数，且，若，则 。‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】因为为奇函数，所以，所以，，‎ 所以。‎ ‎27.【2012高考江苏5】（5分）函数的定义域为 ▲ ．‎ ‎【答案】。‎ ‎【考点】函数的定义域，二次根式和对数函数有意义的条件，解对数不等式。‎ ‎【解析】根据二次根式和对数函数有意义的条件，得 ‎。‎ ‎28.【2012高考真题北京理14】已知，，若同时满足条件：‎ ‎①，或；‎ ‎②, 。‎ 则m的取值范围是_______。 ‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】根据，可解得。由于题目中第一个条件的限制，或成立的限制，导致在时必须是的。当时，不能做到在时，所以舍掉。因此，作为二次函数开口只能向下，故，且此时两个根为，。为保证此条件成立，需要，和大前提取交集结果为；又由于条件2：要求，0的限制，可分析得出在时，恒负，因此就需要在这个范围内有得正数的可能，即应该比两根中小的那个大，当时，，解得，交集为空，舍。当时，两个根同为 ‎，舍。当时，，解得，综上所述．‎ ‎29.【2012高考真题天津理14】已知函数的图象与函数的图象恰有两个交点，则实数k的取值范围是_________.‎ ‎【答案】或 ‎【解析】函数，当时，，当时，，综上函数，做出函数的图象(蓝线)，要使函数与有两个不同的交点，则直线必须在四边形区域ABCD内(和直线平行的直线除外，如图，则此时当直线经过，，综上实数的取值范围是且，即或。‎ ‎30.【2012高考江苏10】（5分）设是定义在上且周期为2的函数，在区间上，‎ 其中．若，‎ 则的值为 ▲ ．‎ ‎【答案】。‎ ‎【考点】周期函数的性质。‎ ‎【解析】∵是定义在上且周期为2的函数，∴，即①。‎ ‎ 又∵，，‎ ‎ ∴②。‎ ‎ 联立①②，解得，。∴。‎ 三、解答题 ‎31.【2012高考真题江西理22】 （本小题满分14分）‎ 若函数h(x)满足 ‎（1）h(0)=1，h(1)=0；‎ ‎（2）对任意，有h(h(a))=a；‎ ‎（3）在（0,1）上单调递减。‎ 则称h(x)为补函数。已知函数 ‎（1）判函数h(x)是否为补函数，并证明你的结论；‎ ‎（2）若存在，使得h(m)=m，若m是函数h(x)的中介元，记时h(x)的中介元为xn，且，若对任意的，都有Sn< ,求的取值范围；‎ ‎（3）当=0，时，函数y= h(x)的图像总在直线y=1-x的上方，求P的取值范围。‎ ‎【答案】‎ 分析:‎ 解析:‎ ‎【点评】本题考查导数的应用、函数的新定义，函数与不等式的综合应用以及分类讨论，数形结合的数学思想. 高考中，导数解答题一般有以下几种考查方向：一、导数的几何意义，求函数的单调区间；二、用导数研究函数的极值，最值；三、用导数求最值的方法证明不等式.来年需要注意用导数研究函数最值的考查.‎ ‎32.【2012高考真题上海理20】（6+8=14分）已知函数．‎ ‎（1）若，求的取值范围；‎ ‎（2）若是以2为周期的偶函数，且当时，有，求函数（）的反函数.‎ ‎【答案】‎ ‎【点评】本题主要考查函数的概念、性质、分段函数等基础知识．考查数形结合思想，熟练掌握指数函数、对数函数、幂函数的图象与性质，属于中档题．‎ ‎33.【2012高考真题上海理21】（6+8=14分）海事救援船对一艘失事船进行定位：以失事船的当前位置为原点，以正北方向为轴正方向建立平面直角坐标系（以‎1海里为单位长度），则救援船恰好在失事船正南方向‎12海里处，如图．现假设：①失事船的移动路径可视为抛物线；②定位后救援船即刻沿直线匀速前往救援；③救援船出发小时后，失事船所在位置的横坐标为．‎ ‎（1）当时，写出失事船所在位置的纵坐标．若此时两船恰好会合，求 救援船速度的大小和方向；‎ ‎（2）问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船？‎ ‎【答案】‎ ‎34.【2012高考真题陕西理21】 （本小题满分14分）‎ 设函数 ‎（1）设，，证明：在区间内存在唯一的零点；‎ ‎（2）设，若对任意，有，求的取值范围；‎ ‎（3）在（1）的条件下，设是在内的零点，判断数列的增减性。‎ ‎ 【答案】‎ ‎35.【2012高考江苏17】（14分）如图，建立平面直角坐标系，轴在地平面上，轴垂直于地平面，单位长度为‎1千米．某炮位于坐标原点．已知炮弹发射后的轨迹在方程表示的曲线上，其中与发射方向有关．炮的射程是指炮弹落地点的横坐标．‎ ‎（1）求炮的最大射程；‎ ‎（2）设在第一象限有一飞行物（忽略其大小），其飞行高度为‎3.2千米，试问它的横坐标不超过多少时，‎ 炮弹可以击中它？请说明理由．‎ ‎【答案】解：（1）在中，令，得。‎ ‎ 由实际意义和题设条件知。‎ ‎ ∴，当且仅当时取等号。‎ ‎ ∴炮的最大射程是10千米。‎ ‎ （2）∵，∴炮弹可以击中目标等价于存在，使成立，‎ ‎ 即关于的方程有正根。‎ ‎ 由得。‎ ‎ 此时，（不考虑另一根）。‎ ‎ ∴当不超过‎6千米时，炮弹可以击中目标。‎ ‎【考点】函数、方程和基本不等式的应用。‎ ‎【解析】（1）求炮的最大射程即求与轴的横坐标，求出后应用基本不等式求解。‎ ‎ （2）求炮弹击中目标时的横坐标的最大值，由一元二次方程根的判别式求解。‎ ‎36．【2012高考真题湖南理20】（本小题满分13分）‎ 某企业接到生产3000台某产品的A，B，Ｃ三种部件的订单，每台产品需要这三种部件的数量分别为２,２,１（单位：件）.已知每个工人每天可生产Ａ部件６件，或Ｂ部件３件，或Ｃ部件２件.该企业计划安排２００名工人分成三组分别生产这三种部件，生产Ｂ部件的人数与生产Ａ部件的人数成正比，比例系数为k（k为正整数）.‎ ‎（１）设生产Ａ部件的人数为ｘ，分别写出完成Ａ，Ｂ，Ｃ三种部件生产需要的时间；‎ ‎（２）假设这三种部件的生产同时开工，试确定正整数k的值，使完成订单任务的时间最短，并给出时间最短时具体的人数分组方案.‎ ‎【答案】解：（Ⅰ）设完成A,B,C三种部件的生产任务需要的时间（单位：天）分别为 由题设有 ‎ ‎ 期中均为1到200之间的正整数.‎ ‎（Ⅱ）完成订单任务的时间为其定义域为 易知，为减函数，为增函数.注意到 于是 ‎（1）当时， 此时 ‎ ，‎ 由函数的单调性知，当时取得最小值，解得 ‎.由于 ‎.‎ 故当时完成订单任务的时间最短，且最短时间为.‎ ‎（2）当时， 由于为正整数，故，此时易知为增函数，则 ‎.‎ 由函数的单调性知，当时取得最小值，解得.由于 此时完成订单任务的最短时间大于.‎ ‎（3）当时， 由于为正整数，故，此时由函数的单调性知，‎ 当时取得最小值，解得.类似（1）的讨论.此时 完成订单任务的最短时间为，大于.‎ 综上所述，当时完成订单任务的时间最短，此时生产Ａ，Ｂ，Ｃ三种部件的人数 分别为44,88,68.‎ ‎【解析】【点评】本题为函数的应用题，考查分段函数、函数单调性、最值等，考查运算能力及用数学知识分析解决实际应用问题的能力.第一问建立函数模型；第二问利用单调性与最值来解决，体现分类讨论思想.‎ ‎ ‎