【数学】2019届一轮复习北师大版（文科数学）第六章第1讲 数列的概念与简单表示法学案
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数列的概念和简单表示法
了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项
公式)．
了解数列是自变量为正整数的一类函数.
等差数列
理解等差数列的概念．
掌握等差数列的通项公式与前 n 项和公式．
能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用等差数
列的有关知识解决相应的问题．
了解等差数列与一次函数的关系.
等比数列
理解等比数列的概念．
掌握等比数列的通项公式与前 n 项和公式．
能在具体的问题情境中识别数列的等比关系，并能用等比数
列的有关知识解决相应的问题．
了解等比数列与指数函数的关系.
第 1 讲 数列的概念与简单表示法
1．数列的定义、分类与通项公式
(1)数列的定义
①数列：按照一定顺序排列的一列数．
②数列的项：数列中的每一个数．
(2)数列的分类
分类标准 类型 满足条件
有穷数列 项数有限
项数
无穷数列 项数无限
递增数列 an＋1>an项与项间的
大小关系 递减数列 an＋1
0)，运用基本不等式得 f(x)≥2 90，当且仅当 x＝3 10
时等号成立．因为 an＝ 1
n＋90
n
，所以 1
n＋90
n
≤ 1
2 90
，由于 n∈N*，不难发现当 n＝9 或 n＝10
时，an＝ 1
19最大．
(2)由题意可得，a2＝1＋a1
1－a1＝－3，a3＝1＋a2
1－a2＝－1
2，a4＝1＋a3
1－a3＝1
3，a5＝1＋a4
1－a4＝2＝a1，
所以数列{an}是以 4 为周期的数列，而 2 018＝4×504＋2，
且 a1a2a3a4＝2×(－3)×(－1
2 )×1
3＝1.
故该数列前 2 018 项的乘积为 a1a2＝－6.
【答案】 (1)C (2)－6
(1)解决数列单调性问题的三种方法
①用作差比较法，根据 an＋1－an 的符号判断数列{an}是递增数列、递减数列还是常数
列．
②用作商比较法，根据an＋1
an (an>0 或 an<0)与 1 的大小关系进行判断．
③结合相应函数的图象直观判断．
(2)解决数列周期性问题的方法
先根据已知条件求出数列的前几项，确定数列的周期，再根据周期性求值．
(3)求数列最大项或最小项的方法
①可以利用不等式组{an－1 ≤ an，
an ≥ an＋1 (n≥2)找到数列的最大项．
②利用不等式组{an－1 ≥ an，
an ≤ an＋1 (n≥2)找到数列的最小项．
[通关练习]
1．数列{an}的通项公式是 an＝(n＋1)·(10
11 )n
，则此数列的最大项是第________项．
解析：因为 an＋1－an＝(n＋2)(10
11 )n＋1
－(n＋1)(10
11 )n
＝(10
11 )n
×9－n
11 ，
当 n<9 时，an＋1－an>0，即 an＋1>an；
当 n＝9 时，an＋1－an＝0，即 an＋1＝an；
当 n>9 时，an＋1－an<0，即 an＋1an(n∈N*)，则该函数的图象是( )
解析：选 A．由 an＋1＝f(an)，an＋1>an 知 f(an)>an，可以知道 x∈(0，1)时 f(x)>x，即 f(x)
的图象在 y＝x 图象的上方，由选项中所给的图象可以看出，A 符合条件．
3．(2018·长春模拟)设数列{a n}的前 n 项和为 Sn，且 a1＝1，{Sn＋nan}为常数列，则 an
等于( )
A． 1
3n－1 B． 2
n(n＋1)
C． 6
(n＋1)(n＋2) D．5－2n
3
解析：选 B．由题意知，S n ＋na n ＝2，当 n≥2 时，(n＋1)a n ＝(n－1)a n － 1 ，从而
a2
a1·a3
a2·a4
a3·…· an
an－1＝1
3·2
4·…· n－1
n＋1，有 an＝ 2
n(n＋1)，
当 n＝1 时上式成立，所以 an＝ 2
n(n＋1).
4．(2018·成都第二次诊断性检测)若数列{x n}中，x1＝tan α，且 xn＋1＝1＋xn
1－xn，则通项公
式 xn＝________．
解析：由 xn＋1＝1＋xn
1－xn，x1＝tan α，得 x2＝1＋tan α
1－tan α＝
tanπ
4＋tan α
1－tan π
4tan α
＝tan(α＋π
4 ).
x3＝
1＋tan(π
4＋α )
1－tan(π
4＋α )
＝
tanπ
4＋tan(π
4＋α )
1－tanπ
4tan(π
4＋α )
＝tan(α＋2π
4 )，…
依此类推，可得 xn＝tan(α＋n－1
4 π).
答案：tan(α＋n－1
4 π)
5．已知数列{an}中，a1＝1，前 n 项和 Sn＝n＋2
3 an.
(1)求 a2，a3；
(2)求{an}的通项公式．
解：(1)由 S2＝4
3a2 得 3(a1＋a2)＝4a2，解得 a2＝3a1＝3.
由 S3＝5
3a3 得 3(a1＋a2＋a3)＝5a3，解得 a3＝3
2(a1＋a2)＝6.
(2)由题设知 a1＝1.
当 n≥2 时，有 an＝Sn－Sn－1＝n＋2
3 an－n＋1
3 an－1，
整理得 an＝n＋1
n－1an－1.
于是 a1＝1，
a2＝3
1a1，
a3＝4
2a2，
…
an－1＝ n
n－2an－2，
an＝n＋1
n－1an－1.
将以上 n 个等式两端分别相乘，
整理得 an＝n(n＋1)
2 .
显然，当 n＝1 时也满足上式．
综上可知，{an}的通项公式 an＝n(n＋1)
2 .
6．已知数列{an}中，an＝1＋ 1
a＋2(n－1)(n∈N*，a∈R 且 a≠0)．
(1)若 a＝－7，求数列{an}中的最大项和最小项的值；
(2)若对任意的 n∈N*，都有 an≤a6 成立，求 a 的取值范围．
解：(1)因为 an＝1＋ 1
a＋2(n－1)(n∈N*，a∈R 且 a≠0)，
又 a＝－7，所以 an＝1＋ 1
2n－9(n∈N*)．
结合函数 f(x)＝1＋ 1
2x－9的单调性，
可知 1>a1>a2>a3>a4，
a5>a6>a7>…>an>1(n∈N*)．
所以数列{an}中的最大项为 a5＝2，最小项为 a4＝0.
(2)an＝1＋ 1
a＋2(n－1)＝1＋
1
2
n－2－a
2
，已知对任意的 n∈N*，都有 an≤a6 成立，
结合函数 f(x)＝1＋
1
2
x－2－a
2
的单调性，可知 5<2－a
2 <6，即－10
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