2017-2018学年辽宁省六校协作体高二上学期期中数学试题（理科）（解析版）

2017-2018学年辽宁省六校协作体高二上学期期中数学试题（理科）（解析版）

‎2017-2018学年辽宁省六校协作体高二（上）期中数学试卷（理科）‎ ‎　‎ 一、选择题（本题共12小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）‎ ‎1．（5分）已知集合A={0，1，2}，B={x|x2+x﹣2≤0}，则A∩B=（　　）‎ A．{0} B．{0，1} C．{1，2} D．{0，1，2}‎ ‎2．（5分）下列说法正确的是（　　）‎ A．命题“2≥1”是假命题 B．命题“∀x∈R，x2+1＞0”的否定是“∃x0∈R，x+1＜0”‎ C．命题“若2a＞2b，则a＞b”的否命题“若2a＞2b，则a≤b”‎ D．“x＞1”是“x＞2”的必要不充分条件 ‎3．（5分）如果a＜b＜0，那么下列各式一定成立的是（　　）‎ A．a﹣b＞0 B．ac＜bc C．a2＞b2 D．＜‎ ‎4．（5分）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a4=7，S5=20，则a10=（　　）‎ A．16 B．19 C．22 D．25‎ ‎5．（5分）某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（　　）‎ A． B．8 C． D．16‎ ‎6．（5分）已知，，与的夹角为，那么等于（　　）‎ A．2 B．6 C． D．12‎ ‎7．（5分）如图所示的程序框图运行的结果为（　　）‎ A．1022 B．1024 C．2044 D．2048‎ ‎8．（5分）已知实数x，y满足约束条件，则目标函数z=x+y的最大值为（　　）‎ A．﹣ B． C．4 D．6‎ ‎9．（5分）中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其大意为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地．”则该人最后一天走的路程为（　　）‎ A．24里 B．12里 C．6里 D．3里 ‎10．（5分）不等式x2+2x＜对任意a，b∈（0，+∞）恒成立，则实数x的取值范围是（　　）‎ A．（﹣2，0） B．（﹣∞，﹣2）∪（0，+∞） C．（﹣4，2） D．（﹣∞，﹣4）∪（2，+∞）‎ ‎11．（5分）在等差数列{an}中，＜﹣1，若它的前n项和Sn有最大值，则使Sn＞0成立的最大自然数n的值为（　　）‎ A．18 B．19 C．20 D．21‎ ‎12．（5分）若关于x的不等式x2+ax﹣2＞0在区间[1，2]‎ 上有解，则实数a的取值范围为（　　）‎ A．（﹣∞，﹣1） B．（﹣∞，1） C．（1，+∞） D．（﹣1，+∞）‎ ‎　‎ 二、填空题（本题共4小题，每小题5分.）‎ ‎13．（5分）不等式＜0的解集为　 　．‎ ‎14．（5分）若命题p：“”是假命题，则实数a的取值范围是　 　．‎ ‎15．（5分）若正数x，y满足3x+y=5xy，则4x+3y的最小值是　 　．‎ ‎16．（5分）若数列{an}是正项数列，且++…+=n2+3n（n∈N*），则++…+=　 　．‎ ‎　‎ 三、解答题（本题共6小题，共70分.）‎ ‎17．（10分）设命题p：实数x满足x2﹣4ax+3a2＜0，命题q：实数x满足|x﹣3|＜1．‎ ‎（Ⅰ）若a=1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；‎ ‎（Ⅱ）若a＞0，且¬p是¬q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．‎ ‎18．（12分）在锐角△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a=2csinA．‎ ‎（1）求角C的值；‎ ‎（2）若c=，且S△ABC=，求a+b的值．‎ ‎19．（12分）已知方程x2+（m﹣3）x+m=0．‎ ‎（Ⅰ）若此方程有两个正实根，求实数m的取值范围；‎ ‎（Ⅱ）若此方程有两个实根均在（0，2），求实数m的取值范围．‎ ‎20．（12分）已知正项等比数列{an}，a1=，a2与a4的等比中项为．‎ ‎（Ⅰ）求数列{an}的通项公式an；‎ ‎（Ⅱ）令bn=nan，数列{bn}的前n项和为Sn．证明：对任意的n∈N*，都有Sn＜‎ ‎2．‎ ‎21．（12分）已知关于x的不等式ax2﹣3x+2＞0（a∈R）．‎ ‎（Ⅰ）若关于x的不等式ax2﹣3x+2＞0（a∈R）的解集为{x|x＜1或x＞b}，求a，b的值；‎ ‎（Ⅱ）解关于x的不等式ax2﹣3x+2＞5﹣ax（a∈R）．‎ ‎22．（12分）已知数列{an}的首项为1，前n项和Sn与an之间满足an=（n≥2，n∈N*）‎ ‎（1）求证：数列{}是等差数列；‎ ‎（2）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（3）设存在正整数k，使（1+S1）（1+S1）…（1+Sn）≥k对于一切n∈N*都成立，求k的最大值．‎ ‎　‎ ‎2017-2018学年辽宁省六校协作体高二（上）期中数学试卷（理科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题（本题共12小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）‎ ‎1．（5分）已知集合A={0，1，2}，B={x|x2+x﹣2≤0}，则A∩B=（　　）‎ A．{0} B．{0，1} C．{1，2} D．{0，1，2}‎ ‎【分析】运用二次不等式的解法，化简集合B，再由交集的定义即可得到所求集合．‎ ‎【解答】解：集合A={0，1，2}，‎ B={x|x2+x﹣2≤0}={x|﹣2≤x≤1}，‎ 则A∩B={0，1}，‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查集合的交集的求法，注意运用定义法解题，考查运算能力，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎2．（5分）下列说法正确的是（　　）‎ A．命题“2≥1”是假命题 B．命题“∀x∈R，x2+1＞0”的否定是“∃x0∈R，x+1＜0”‎ C．命题“若2a＞2b，则a＞b”的否命题“若2a＞2b，则a≤b”‎ D．“x＞1”是“x＞2”的必要不充分条件 ‎【分析】根据复合命题真假判断的真值表，可判断B；写出原命题的否定，可判断B；写出原命题的否命题，可判断C；根据充要条件的定义，可判断D．‎ ‎【解答】解：命题“2≥1”是真命题，故A错误；‎ 命题“∀x∈R，x2+1＞0”的否定是“∃x0∈R，x+1≤0”，故B错误；‎ 命题“若2a＞2b，则a＞b”的否命题“若2a≤2b，则a≤b”，故C错误；‎ ‎“x＞1”是“x＞2”的必要不充分条，故D正确；‎ 故选：D ‎【点评】本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了复合命题，四种命题，命题的否定，充要条件，难度中档．‎ ‎　‎ ‎3．（5分）如果a＜b＜0，那么下列各式一定成立的是（　　）‎ A．a﹣b＞0 B．ac＜bc C．a2＞b2 D．＜‎ ‎【分析】根据不等式的性质判断即可．‎ ‎【解答】解：∵a＜b＜0，‎ ‎∴a﹣b＜0，a+b＜0，＞，‎ ‎∴（a﹣b）（a+b）=a2﹣b2＞0，即a2＞b2，‎ 故C正确，C，D不正确 当c=0时，ac=bc，故B不一定正确，‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题考查了不等式的性质，掌握基本性质是关键，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎4．（5分）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a4=7，S5=20，则a10=（　　）‎ A．16 B．19 C．22 D．25‎ ‎【分析】由题意可得首项和公差的方程组，解方程组由通项公式可得．‎ ‎【解答】解：∵等差数列{an}的前n项和为Sn，若a4=7，S5=20，‎ ‎∴，‎ 联立解得a1=﹣2，d=3，‎ ‎∴a10=a1+9d=﹣2+27=25，‎ 故选：D ‎【点评】本题考查等差数列的求和公式和通项公式，属基础题．‎ ‎　‎ ‎5．（5分）某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（　　）‎ A． B．8 C． D．16‎ ‎【分析】几何体是三棱柱，再判断三棱柱的高及底面三角形的形状，把数据代入棱柱的体积公式计算．‎ ‎【解答】解：由三视图知：几何体是三棱柱，且三棱柱的高为4，‎ 底面是直角边长为2的等腰直角三角形，‎ ‎∴几何体的体积V=×2×2×4=8．‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查了由三视图求几何体的体积，判断几何体的形状及数据所对应的几何量是解答此类问题的关键．‎ ‎　‎ ‎6．（5分）已知，，与的夹角为，那么等于（　　）‎ A．2 B．6 C． D．12‎ ‎【分析】求出（4﹣）2，开方得出答案．‎ ‎【解答】解：=1×=1，‎ ‎（4﹣）2=162﹣8+=12．‎ ‎∴|4﹣|=2．‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题考查了向量的模与向量的数量积运算，是基础题．‎ ‎　‎ ‎7．（5分）如图所示的程序框图运行的结果为（　　）‎ A．1022 B．1024 C．2044 D．2048‎ ‎【分析】由已知中的程序语句可知可得该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S=21+22+…+29的值，利用等比数列求和公式即可计算得解．‎ ‎【解答】解：模拟程序的运行，可得该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S=21+22+…+29的值．‎ 由于S=21+22+…+29==1022，‎ 故程序框图运行的结果为输出S的值为1022．‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题考查了程序框图的应用问题，考查了等比数列的求和公式的应用，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．‎ ‎　‎ ‎8．（5分）已知实数x，y满足约束条件，则目标函数z=x+y的最大值为（　　）‎ A．﹣ B． C．4 D．6‎ ‎【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z的最大值．‎ ‎【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）‎ 由z=x+y得y=﹣x+z，平移直线y=﹣x+z，‎ 由图象可知当直线y=﹣x+z经过点A时，直线y=﹣x+z的截距最大，‎ 此时z最大．由解得A（2，2）．‎ 代入目标函数z=x+y得z=2+2=4．‎ 即目标函数z=x+y的最大值为4．‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法．利用平移确定目标函数取得最优解的条件是解决本题的关键．‎ ‎　‎ ‎9．（5分）中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其大意为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地．”则该人最后一天走的路程为（　　）‎ A．24里 B．12里 C．6里 D．3里 ‎【分析】由题意可知，每天走的路程里数构成以为公比的等比数列，由S6=378求得首项，再由等比数列的通项公式求得该人最后一天走的路程．‎ ‎【解答】解：记每天走的路程里数为{an}，可知{an}是公比的等比数列，‎ 由S6=378，得，解得：a1=192，‎ ‎∴，‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题考查等比数列的通项公式，考查了等比数列的前n项和，是基础的计算题．‎ ‎　‎ ‎10．（5分）不等式x2+2x＜对任意a，b∈（0，+∞）恒成立，则实数x的取值范围是（　　）‎ A．（﹣2，0） B．（﹣∞，﹣2）∪（0，+∞） C．（﹣4，2） D．（﹣∞，﹣4）∪（2，+∞）‎ ‎【分析】由已知，只需x2+2x小于的最小值即可，可利用基本不等式求出最小值．‎ ‎【解答】解：对任意a，b∈（0，+∞），，所以只需x2+2x＜8‎ 即（x﹣2）（x+4）＜0，解得x∈（﹣4，2）‎ 故选C ‎【点评】本题考查不等式恒成立问题，往往转化为函数最值问题．‎ ‎　‎ ‎11．（5分）在等差数列{an}中，＜﹣1，若它的前n项和Sn有最大值，则使Sn＞0成立的最大自然数n的值为（　　）‎ A．18 B．19 C．20 D．21‎ ‎【分析】由题意可得a10＞0，a11＜0，且a10+a11＜0，由等差数列的性质和求和公式可得结论．‎ ‎【解答】解：∵前n项和Sn有最大值，∴公差d＜0，‎ 又＜﹣1，∴a10＞0，a11＜0，‎ ‎∴由不等式的性质可得a10+a11＜0，‎ ‎∴S19===19a10＞0，‎ S20==10（a10+a11）＜0，‎ ‎∴使Sn＞0成立的最大自然数n的值为：19‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查等差数列的性质，涉及等差数列的求和公式，属中档题．‎ ‎　‎ ‎12．（5分）若关于x的不等式x2+ax﹣2＞0在区间[1，2]上有解，则实数a的取值范围为（　　）‎ A．（﹣∞，﹣1） B．（﹣∞，1） C．（1，+∞） D．（﹣1，+∞）‎ ‎【分析】用分离常数法得出不等式a＞﹣x在x∈[1，2]上成立，根据函数f（x）=﹣x在x∈[1，2]上的单调性，即可求出a的取值范围．‎ ‎【解答】解：关于x的不等式x2+ax﹣2＞0在区间[1，2]上有解，‎ ‎∴ax＞2﹣x2在x∈[1，2]上有解，‎ 即a＞﹣x在x∈[1，2]上成立； ‎ 设函数f（x）=﹣x，x∈[1，2]，‎ ‎∴f′（x）=﹣﹣1＜0恒成立，‎ ‎∴f（x）在x∈[1，2]上是单调减函数，‎ 且f（x）的值域为[﹣1，1]，‎ 要a＞﹣x在x∈[1，2]上有解，则a＞﹣1，‎ 即实数a的取值范围为（﹣1，+∞）．‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题考查了不等式的解法与应用问题，也考查了函数的图象与性质的应用问题，是综合性题目．‎ ‎　‎ 二、填空题（本题共4小题，每小题5分.）‎ ‎13．（5分）不等式＜0的解集为　{x|﹣＜x＜1}　．‎ ‎【分析】不等式＜0等价于（2x+1）（x﹣1）＜0，即可求解．‎ ‎【解答】解：由不等式＜0等价于（2x+1）（x﹣1）＜0，‎ 可得：﹣＜x＜1，‎ 故答案为{x|﹣＜x＜1}．‎ ‎【点评】本题考查分式不等式的解法，基本知识的考查．‎ ‎　‎ ‎14．（5分）若命题p：“”是假命题，则实数a的取值范围是　[1，2]　．‎ ‎【分析】由条件可通过命题的否定为真命题，从而转化为二次不等式恒成立问题，即可求出实数a的取值范围．‎ ‎【解答】解：若命题p：“”是假命题，‎ 则命题“∀x∈R，2x﹣2＞a2﹣3a”是真命题，‎ 即a2﹣3a+2≤0恒成立，‎ ‎∴1≤a≤2，‎ 故实数a的取值范围是[1，2]，‎ 故答案为[1，2]．‎ ‎【点评】本题考查特称命题与全称命题的关系，通过转化使问题简化，是解题的关键，应掌握．‎ ‎　‎ ‎15．（5分）若正数x，y满足3x+y=5xy，则4x+3y的最小值是　5　．‎ ‎【分析】将条件3x+y=5xy进行转化，利用基本不等式的解法即可得到式子的最小值．‎ ‎【解答】解：由3x+y=5xy得，‎ ‎∴4x+3y=（4x+3y）（）=‎ ‎，‎ 当且仅当，即y=2x，即5x=5x2，‎ ‎∴x=1，y=2时取等号．‎ 故4x+3y的最小值是5，‎ 故答案为：5‎ ‎【点评】本题主要考查基本不等式的应用，将条件进行转化，利用1的代换是解决本题的关键．‎ ‎　‎ ‎16．（5分）若数列{an}是正项数列，且++…+=n2+3n（n∈N*），则++…+=　2n2+6n　．‎ ‎【分析】根据题意先可求的a1，进而根据题设中的数列递推式求得++…+=（n﹣1）2+3（n﹣1）与已知式相减即可求得数列{an}的通项公式，进而求得数列{}的通项公式，可知是等差数列，进而根据等差数列的求和公式求得答案．‎ ‎【解答】解：令n=1，得=4，∴a1=16．‎ 当n≥2时，‎ ‎++…+=（n﹣1）2+3（n﹣1）．‎ 与已知式相减，得 ‎=（n2+3n）﹣（n﹣1）2﹣3（n﹣1）=2n+2，‎ ‎∴an=4（n+1）2，n=1时，a1适合an．‎ ‎∴an=4（n+1）2，‎ ‎∴=4n+4，‎ ‎∴++…+==2n2+6n．‎ 故答案为2n2+6n ‎【点评】‎ 本题主要考查了利用数列递推式求数列的前n项和．解题的关键是求得数列{an}的通项公式．‎ ‎　‎ 三、解答题（本题共6小题，共70分.）‎ ‎17．（10分）设命题p：实数x满足x2﹣4ax+3a2＜0，命题q：实数x满足|x﹣3|＜1．‎ ‎（Ⅰ）若a=1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；‎ ‎（Ⅱ）若a＞0，且¬p是¬q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．‎ ‎【分析】（Ⅰ）若a=1，分别求出p，q成立的等价条件，利用且p∧q为真，求实数x的取值范围；‎ ‎（Ⅱ）利用￢p是￢q的充分不必要条件，即q是p的充分不必要条件，求实数a的取值范围．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）由x2﹣4ax+3a2＜0得（x﹣3a）（x﹣a）＜0‎ 当a=1时，1＜x＜3，‎ 即p为真时实数x的取值范围是1＜x＜3．‎ 由|x﹣3|≤1，得﹣1≤x﹣3≤1，得2≤x≤4，‎ 即q为真时实数x的取值范围是2≤x≤4，‎ 若p∧q为真，则p真且q真，‎ 所以实数x的取值范围是2≤x＜3．‎ ‎（Ⅱ）¬p是¬q的充分不必要条件，‎ 即¬p⇒¬q，且¬q⇏¬p，‎ 设A={x|¬p}，B={x|¬q}，则A⊊B，‎ 又A={x|¬p}={x|x≤a或x≥3a}，B={x|¬q}={x≤2或x＞3}，‎ 则0＜a≤2，且3a＞3，‎ 所以实数a的取值范围是1＜a≤2．‎ ‎【点评】本题主要考查复合命题与简单命题之间的关系，利用逆否命题的等价性将￢p是￢q的充分不必要条件，转化为q是p的充分不必要条件是解决本题的关键．‎ ‎　‎ ‎18．（12分）在锐角△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a=2csinA．‎ ‎（1）求角C的值；‎ ‎（2）若c=，且S△ABC=，求a+b的值．‎ ‎【分析】（1）根据正弦定理和特殊角的三角函数值即可求出；‎ ‎（2）由三角形得面积公式和余弦定理即可求出．‎ ‎【解答】解：（1）由a=2csinA及正弦定理，得==．‎ ‎∵sinA≠0，∴sinC=．‎ 又∵△ABC是锐角三角形，∴C=．‎ ‎（2）c=，C=，‎ 由面积公式，得absin=，即ab=6．①‎ 由余弦定理，得a2+b2﹣2abcos=7，‎ 即a2+b2﹣ab=7．②‎ 由②变形得（a+b）2=3ab+7．③‎ 将①代入③得（a+b）2=25，故a+b=5．‎ ‎【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形面积公式，特殊角的三角函数值在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎19．（12分）已知方程x2+（m﹣3）x+m=0．‎ ‎（Ⅰ）若此方程有两个正实根，求实数m的取值范围；‎ ‎（Ⅱ）若此方程有两个实根均在（0，2），求实数m的取值范围．‎ ‎【分析】（Ⅰ）方程有两个正实根，利用根的分布即可得答案；‎ ‎（Ⅱ）若此方程有两个实根均在（0，2），利用根的分布即求实数m的取值范围．‎ ‎【解答】解：方程x2+（m﹣3）x+m=0．‎ 设f（x）=x2+（m﹣3）x+m ‎（Ⅰ）由题题：，即，‎ 解得：0＜m≤1．‎ 故m的取值范围为（0，1]‎ ‎（Ⅱ）由题题：，解得 故m的取值范围为（，1]．‎ ‎【点评】本题考点是一元二次方程根的分布与系数的关系，考查用根与系数的关系将根的特征转化为不等式组求解参数范围，本题解法是解决元二次方程根的分布与系数的关系一个基本方法，应好好体会其转化技巧．‎ ‎　‎ ‎20．（12分）已知正项等比数列{an}，a1=，a2与a4的等比中项为．‎ ‎（Ⅰ）求数列{an}的通项公式an；‎ ‎（Ⅱ）令bn=nan，数列{bn}的前n项和为Sn．证明：对任意的n∈N*，都有Sn＜2．‎ ‎【分析】（Ⅰ）根据等比中项的性质，求出q，即可求出通项公式，‎ ‎（Ⅱ）利用错位相减法Sn，再放缩即可证明．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）因为正项等比数列{an}，所以an＞0，设公比为q，则q＞0．‎ 又a2与a4的等比中项为，所以a3=，‎ 即a1q2=，由a1=，得q=，‎ 于是，数列{an}的通项公式an=‎ 证明：（Ⅱ）由题可知，bn=，‎ 于是，Sn=1×（）1+2×（）2+3×（）3+…+n×（）n，﹣﹣①，‎ ‎∴Sn=1×（）2+2×（）3+3×（）4+…+n×（）n+1，﹣﹣②，‎ 由①﹣②，得Sn=+（）2+（）3+…+（）n﹣n×（）n+1=﹣=1﹣﹣‎ 解得Sn=2﹣，‎ 故Sn＜2‎ ‎【点评】本题考查了等比数列的通项公式和错位相减法求和，考查了运算能力和转化能力，属于中档题 ‎　‎ ‎21．（12分）已知关于x的不等式ax2﹣3x+2＞0（a∈R）．‎ ‎（Ⅰ）若关于x的不等式ax2﹣3x+2＞0（a∈R）的解集为{x|x＜1或x＞b}，求a，b的值；‎ ‎（Ⅱ）解关于x的不等式ax2﹣3x+2＞5﹣ax（a∈R）．‎ ‎【分析】（Ⅰ）ax2﹣3x+2=0的两根为x=1或x=b，且a＞0，根据根与系数的关系即可求出a，b的值；‎ ‎（Ⅱ）原不等式化为（ax﹣3）（x+1）＞0，然后分类讨论求出不等式的解集 ‎【解答】（本小题满分12分）‎ 解：（Ⅰ）由题可知，方程ax2﹣3x+2=0的两根为x=1或x=b，‎ 于是，1+b=，b=，…（3分）‎ 解得a=1，b=2．…（4分）‎ ‎（Ⅱ）原不等式等价于ax2+（a﹣3）x﹣3＞0，等价于（ax﹣3）（x+1）＞0，…（5分）‎ ‎（1）当a=0时，原不等式的解集为原不等式解集为（﹣∞，﹣1），…（6分）‎ 当a≠0时，方程（ax﹣3）（x+1）=0的根为x=，或x=﹣1，…（7分）‎ ‎∴①当a＞0时，＞﹣1，原不等式解集为（﹣∞，﹣1）∪（，+∞），…（8分）‎ ‎②当﹣3＜a＜0时，＜﹣1，原不等式解集为（，﹣1），…（9分）‎ ‎③当a=﹣3时，=﹣1，原不等式解集为∅…（10分）‎ ‎④当a＜﹣3时，原不等式解集为（﹣1，）．…（12分）‎ ‎【点评】本题主要考查了一元二次不等式的应用，以及方程的根与不等式的解集之间的关系，属于中档题目．‎ ‎　‎ ‎22．（12分）已知数列{an}的首项为1，前n项和Sn与an之间满足an=（n≥2，n∈N*）‎ ‎（1）求证：数列{}是等差数列；‎ ‎（2）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（3）设存在正整数k，使（1+S1）（1+S1）…（1+Sn）≥k对于一切n∈N*都成立，求k的最大值．‎ ‎【分析】（1）数列{an}的前n项和Sn与an之间满足an=（n≥2，n∈N*），可得Sn﹣Sn﹣1=，化为：﹣=2．即可证明．‎ ‎（2）由（1）可得：=1+2（n﹣1）=2n﹣1，可得Sn=．n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1；n=1时，a1=1．‎ ‎（3）1+Sn=1+=．可得Tn=（1+S1）（1+S1）…（1+Sn）=××…×＞××…×=×…××（2n+1）=，可得：Tn＞．即可得出．‎ ‎【解答】（1）证明：∵数列{an}的前n项和Sn与an之间满足an=（n≥‎ ‎2，n∈N*），‎ ‎∴Sn﹣Sn﹣1=，化为：﹣=2．‎ ‎∴数列{}是等差数列，公差为2，首项为1．‎ ‎（2）解：由（1）可得：=1+2（n﹣1）=2n﹣1，可得Sn=．‎ ‎∴n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1=﹣．‎ ‎∴an=．‎ ‎（3）解：∵1+Sn=1+=．‎ ‎∴Tn=（1+S1）（1+S1）…（1+Sn）=××…×＞××…×=×…××（2n+1）‎ ‎=，‎ 可得：Tn＞．‎ ‎∴存在正整数k，使（1+S1）（1+S1）…（1+Sn）≥k对于一切n∈N*都成立，则k的最大值为1．‎ ‎【点评】本题考查了数列递推关系、等差数列的通项公式求和公式及其性质、放缩法、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．‎ ‎　‎