【数学】2019届一轮复习北师大版4-5 简单的三角恒等变换第2课时学案
第2课时 简单的三角恒等变换
题型一 三角函数式的化简
1.·等于( )
A．－sin α B．－cos α
C．sin α D．cos α
答案 D
解析 原式＝
＝＝cos α.
2．化简：＝________.
答案 cos 2x
解析 原式＝
＝＝
＝＝cos 2x.
3．已知tan＝，且－<α<0，则＝________.
答案 －
解析 由tan＝＝，得tan α＝－.
又－<α<0，所以sin α＝－.
故＝
＝2sin α＝－.
4．已知α为第二象限角，且tan α＋tan＝2tan αtan－2，则sin＝______.
答案 －
解析 由已知可得tan＝－2，
∵α为第二象限角，
∴sin＝，cos＝－，
则sin＝－sin
＝－sin
＝cossin－sincos
＝－.
思维升华 (1)三角函数式的化简要遵循“三看”原则：一看角，二看名，三看式子结构与特征．
(2)三角函数式的化简要注意观察条件中角之间的联系(和、差、倍、互余、互补等)，寻找式子和三角函数公式之间的共同点．
题型二 三角函数的求值
命题点1 给角求值与给值求值
典例 (1)(2018·合肥模拟)tan 70°·cos 10°(tan 20°－1)等于( )
A．1 B．2 C．－1 D．－2
答案 C
解析 tan 70°·cos 10°(tan 20°－1)
＝·cos 10°
＝·
＝＝＝－1.
(2)已知cos＝，<α<，则的值为________．
答案 －
解析 ＝
＝
＝sin 2α
＝sin 2α·tan.
由<α<得<α＋<2π，又cos＝，
所以sin＝－，tan＝－.
cos α＝cos＝－，sin α＝－，
sin 2α＝.
所以＝×＝－.
(3)(2017·合肥联考)已知α，β为锐角，cos α＝，sin(α＋β)＝，则cos β＝________.
答案
解析 ∵α为锐角，
∴sin α＝＝.
∵α，β∈，∴0<α＋β<π.
又∵sin(α＋β)
，
∴cos(α＋β)＝－.
cos β＝cos[(α＋β)－α]
＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α
＝－×＋×＝＝.
命题点2 给值求角
典例 (1)设α，β为钝角，且sin α＝，cos β＝－，则α＋β的值为( )
A. B.
C. D.或
答案 C
解析 ∵α，β为钝角，sin α＝，cos β＝－，
∴cos α＝－，sin β＝，
∴cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝>0.
又α＋β∈(π，2π)，∴α＋β∈，
∴α＋β＝.
(2)已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝，tan β＝－，则2α－β的值为________．
答案 －
解析 ∵tan α＝tan[(α－β)＋β]
＝
＝＝>0，
∴0<α<.
又∵tan 2α＝＝＝>0，
∴0<2α<，
∴tan(2α－β)＝
＝＝1.
∵tan β＝－<0，
∴<β<π，－π<2α－β<0，
∴2α－β＝－.
引申探究
本例(1)中，若α，β为锐角，sin α＝，cos β＝，则α＋β＝________.
答案
解析 ∵α，β为锐角，∴cos α＝，sin β＝，
∴cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β
＝×－×＝.
又0<α＋β<π，∴α＋β＝.
思维升华 (1)给角求值与给值求值问题的关键在“变角”，通过角之间的联系寻找转化方法．
(2)给值求角问题：先求角的某一三角函数值，再求角的范围确定角．
跟踪训练 (1)已知α∈，且2sin2α－sin α·cos α－3cos2α＝0，则＝________.
答案
解析 ∵α∈，且2sin2α－sin α·cos α－3cos2α＝0，
则(2sin α－3cos α)·(sin α＋cos α)＝0，
又∵α∈，sin α＋cos α>0，
∴2sin α＝3cos α，又sin2α＋cos2α＝1，
∴cos α＝，sin α＝，
∴
＝＝＝.
(2)(2017·昆明模拟)计算：－＝________.
答案 －4
解析 原式＝＝
＝＝－4.
(3)定义运算＝ad－bc.若cos α＝，＝，0<β<α<，则β＝________.
答案
解析 由题意有sin αcos β－cos αsin β＝sin(α－β)＝，又0<β<α<，∴0<α－β<，
故cos(α－β)＝＝，
而cos α＝，∴sin α＝，
于是sin β＝sin[α－(α－β)]
＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β)
＝×－×＝.
又0<β<，故β＝.
题型三 三角恒等变换的应用
典例 (2017·浙江)已知函数f(x)＝sin2x－cos2x－2sin xcos x(x∈R)．
(1)求f的值；
(2)求f(x)的最小正周期及单调递增区间．
解 (1)由sin＝，cos＝－，得
f＝2－2－2××＝2.
(2)由cos 2x＝cos2x－sin2x与sin 2x＝2sin xcos x，得
f(x)＝－cos 2x－sin 2x＝－2sin.
所以f(x)的最小正周期是π.
由正弦函数的性质，得
＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，k∈Z，
解得＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z.
所以f(x)的单调递增区间为
(k∈Z)．
思维升华 三角恒等变换的应用策略
(1)进行三角恒等变换要抓住：变角、变函数名称、变结构，尤其是角之间的关系；注意公式的逆用和变形使用．
(2)把形如y＝asin x＋bcos x化为y＝sin(x＋φ)，可进一步研究函数的周期性、单调性、最值与对称性．
跟踪训练 (1)函数f(x)＝sin(x＋φ)－2sin φcos x的最大值为________．
(2)函数f(x)＝sin－2sin2x的最小正周期是________．
答案 (1)1 (2)π
解析 (1)因为f(x)＝sin(x＋φ)－2sin φcos x
＝sin xcos φ－cos xsin φ＝sin(x－φ)，
又－1≤sin(x－φ)≤1，
所以f(x)的最大值为1.
(2)f(x)＝sin 2x－cos 2x－(1－cos 2x)
＝sin 2x＋cos 2x－
＝sin－，
所以T＝＝π.
化归思想和整体代换思想在三角函数中的应用
典例 (12分)(2016·天津)已知函数f(x)＝4tan x·sin·cos－.
(1)求f(x)的定义域与最小正周期；
(2)讨论f(x)在区间上的单调性．
思想方法指导 (1)讨论形如y＝asin ωx＋bcos ωx型函数的性质，一律化成y＝sin(ωx＋φ)型的函数．
(2)研究y＝Asin(ωx＋φ)型函数的最值、单调性，可将ωx＋φ视为一个整体，换元后结合y＝sin x的图象解决．
规范解答
解 (1)f(x)的定义域为.
f(x)＝4tan xcos xcos－
＝4sin xcos－
＝4sin x－
＝2sin xcos x＋2sin2x－
＝sin 2x＋(1－cos 2x)－
＝sin 2x－cos 2x＝2sin.[5分]
所以f(x)的最小正周期T＝＝π.[6分]
(2)∵x∈，∴2x－∈，[8分]
由y＝sin x的图象可知，当2x－∈，
即x∈时，f(x)单调递减；
当2x－∈，即x∈时，f(x)单调递增．[10分]
所以当x∈时，f(x)在区间上单调递增，在区间上单调递减．
[12分]
1．(2018·山东重点中学模拟)已知cos α＝，α∈(π，2π)，则cos 等于( )
A． B．－ C． D．－
答案 B
解析 ∵cos α＝，α∈(π，2π)，∴∈，
∴cos ＝－ ＝－ ＝－.
2.等于( )
A．－ B． C． D．1
答案 C
解析 原式＝
＝
＝＝.
3．(2017·杭州二次质检)函数f(x)＝3sincos＋4cos2(x∈R)的最大值等于( )
A．5 B． C． D．2
答案 B
解析 由题意知f(x)＝sin x＋4×
＝sin x＋2cos x＋2≤ ＋2＝，
故选B.
4．设α∈，β∈，且tan α＝，则( )
A．3α－β＝ B．2α－β＝
C．3α＋β＝ D．2α＋β＝
答案 B
解析 由tan α＝，得＝，
即sin αcos β＝cos α＋cos αsin β，
∴sin(α－β)＝cos α＝sin.
∵α∈，β∈，
∴α－β∈，－α∈，
由sin(α－β)＝sin，得α－β＝－α，
∴2α－β＝.
5．4cos 50°－tan 40°等于( )
A． B．
C． D．2－1
答案 C
解析 原式＝4sin 40°－
＝
＝
＝
＝
＝＝.
6．(2017·豫北名校联考)若函数f(x)＝5cos x＋12sin x在x＝θ时取得最小值，则cos θ等于( )
A. B．－ C. D．－
答案 B
解析 f(x)＝5cos x＋12sin x
＝13＝13sin(x＋α)，
其中sin α＝，cos α＝，
由题意知θ＋α＝2kπ－(k∈Z)，
得θ ＝2kπ－－α(k∈Z )，
所以cos θ＝cos＝cos
＝－sin α＝－.
7．若cos＝，则sin的值是________．
答案 －
解析 sin＝sin
＝cos 2＝2cos2－1
＝2×－1＝－.
8．已知方程x2＋3ax＋3a＋1＝0(a＞1)的两根分别为tan α，tan β，且α，β∈，则α＋β＝________.
答案 －
解析 依题意有
∴tan(α＋β)＝＝＝1.
又
∴tan α＜0且tan β＜0，
∴－＜α＜0且－＜β＜0，
即－π＜α＋β＜0，结合tan(α＋β)＝1，
得α＋β＝－.
9．已知cos4α－sin4α＝，且α∈，则cos＝________.
答案
解析 ∵cos4α－sin4α＝(sin2α＋cos2α)(cos2α－sin2α)
＝cos 2α＝，又α∈，∴2α∈(0，π)，
∴sin 2α＝＝，
∴cos＝cos 2α－sin 2α
＝×－×＝.
10．函数f(x)＝sin x－2sin2x的最小值是________．
答案 －1
解析 f(x)＝sin x－
＝2sin－1，
又≤x≤，∴≤x＋≤π，
∴f(x)min＝2sin π－1＝－1.
11．设cos α＝－，tan β＝，π<α<，0<β<，求α－β的值．
解 由cos α＝－，π<α<，得sin α＝－，
tan α＝2，又tan β＝，
于是tan(α－β)＝＝＝1.
又由π<α<，0<β<，
可得－<－β<0，<α－β<，
因此，α－β＝.
12．已知函数f(x)＝cos2x＋sin xcos x，x∈R.
(1)求f的值；
(2)若sin α＝，且α∈，求f.
解 (1)f＝cos2＋sincos
＝2＋×＝.
(2)因为f(x)＝cos2x＋sin xcos x＝＋sin 2x
＝＋(sin 2x＋cos 2x)＝＋sin，
所以f＝＋sin
＝＋sin＝＋.
又因为sin α＝，且α∈，
所以cos α＝－，
所以f＝＋
＝.
13．(2017·南昌一中月考)已知α∈，β∈，且cos＝，sin＝－，则cos(α＋β)＝________.
答案 －
解析 ∵α∈，－α∈，
cos＝，∴sin＝－，
∵sin＝－，∴sin＝，
又∵β∈，＋β∈，
∴cos＝，
∴cos(α＋β)＝cos
＝×－×＝－.
14．在斜△ABC中，sin A＝－cos Bcos C，且tan B·tan C＝1－，则角A的值为________．
答案
解析 由已知sin(B＋C)＝－cos Bcos C，
∴sin Bcos C＋cos Bsin C＝－cos Bcos C，
∴tan B＋tan C＝－，
又tan B·tan C＝1－，
∴tan(B＋C)＝＝－1，
∴tan A＝1，又0
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