2020高中数学 第2章 数列 等差数列的前n项和

2020高中数学 第2章 数列 等差数列的前n项和

等差数列的前n项和 ‎（答题时间：40分钟）‎ ‎*1. 数列{an}是等差数列，a1＝1，an＝－512，Sn＝－1 022，则公差d＝________。‎ ‎**2. 已知两个等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为An和Bn，且＝，则使为整数的正整数n有________个。‎ ‎**3. 设Sn是等差数列{an}的前n项和，若，则＝________。‎ ‎*4. 设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S9＝72，则a2＋a4＋a9＝________。‎ ‎**5. 已知首项为正数的等差数列{an}满足：‎ a2011＋a2012＞0，＜0，则使前n项和Sn＞0成立的最大自然数n是________。‎ ‎**6. 在等差数列{an}中，若任意两个不等的正整数k，p，都有ak＝2p－1，ap＝2k－1，设数列{an}的前n项和为Sn，若k＋p＝m，则Sm＝________（结果用m表示）。‎ ‎**7. 已知{an}是等差数列，Sn为其前n项和，n∈N*，若a3＝16，S20＝20，求S10。‎ ‎***8. 已知数列{an}的前n项和为Sn＝n2＋2n。‎ ‎（1）求证{an}是等差数列；‎ ‎（2）求使100＜an＜200成立的所有项的和。‎ ‎**9. 数列{an}是等差数列，a1＝50，d＝－0.6。‎ ‎（1）从第几项开始有an＜0?‎ ‎（2）求此数列前n项和Sn的最大值。‎ 3‎ ‎1. －171 解析：∵an＝a1＋（n－1）d，Sn＝na1＋d，‎ ‎∴ ∴‎ ‎2. 5 解析：＝＝7＋，‎ ‎∴n＝1，2，3，5，11，共有5个。‎ ‎3. 解析：设S3＝k，则S6＝3k，∴S6－S3＝2k，‎ 由等差数列的性质：S3，S6－S3，S9－S6，S12－S9也成等差数列，‎ ‎∴S9－S6＝3k，S12－S9＝4k，‎ ‎∴S9＝6k，S12＝10k，‎ ‎∴。‎ ‎4. 24 解析：由S9＝＝‎9a5＝72，∴a5＝8，‎ ‎∴a2＋a4＋a9＝（a2＋a9）＋a4＝（a5＋a6）＋a4＝a5＋（a6＋a4）＝‎3a5＝24。‎ ‎5. 4 022 解析：∵＜0，∴数列{an}的项有正有负，‎ ‎∵a1＞0，∴等差数列{an}为递减数列，‎ ‎∴a2011＞0，a2012＜0.‎ ‎∴S4022＝＞0，‎ S4023＝＜0。‎ ‎6. m2－‎2m 解析：∵d＝＝－2，‎ 又ak＝a1－2（k－1），‎ ‎∴a1＝ak＋2（k－1）＝2p－1＋2k－2＝2（k＋p）－3＝‎2m－3，‎ ‎∴Sm＝ma1＋d＝m（‎2m－3）－m（m－1）‎ ‎＝m（m－2）＝m2－‎2m。‎ ‎7. S10＝110 解析：设首项为a1，公差为d，‎ ‎∴‎ 由②得‎2a1＋19d＝2.　　　　　 ③‎ 3‎ ‎③－①×2得15d＝－30，∴d＝－2，‎ ‎∴a1＝16－2d＝20，‎ ‎∴S10＝‎10a1＋×10×9d＝200－90＝110。‎ ‎8.（1）证明：当n＝1时，a1＝S1＝12＋2×1＝3；‎ 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝（n2＋2n）－[（n－1）2＋2（n－1）]＝2n＋1，‎ 因为n＝1时，适合an＝2n＋1，‎ 所以此数列的通项公式为an＝2n＋1（n∈N*），‎ 因为an＋1－an＝2（n＋1）＋1－（2n＋1）＝2，‎ 所以{an}是以a1＝3为首项，d＝2为公差的等差数列；‎ ‎（2）解：因为100＜an＜200，又由（1）得an＝2n＋1（n∈N*），‎ 所以100＜2n＋1＜200，所以＜n＜（n∈N*），‎ 即50≤n≤99（n∈N*），‎ 所以它们的和为S＝S99－S49＝992＋2×99－（492＋2×49）＝7 500，‎ 故满足条件的各项之和为7 500。‎ ‎9. 解：（1）因为a1＝50，d＝－0.6，所以an＝50－0.6（n－1）＝－0.6n＋50.6（n∈N*）。‎ 令－0.6n＋50.6≤0，则n≥≈84.3，‎ 由于n∈N*，故当n≥85时，an＜0，即从第85项起，以后各项都小于0；‎ ‎（2）因为d＝－0.6＜0，a1＝50＞0，‎ 由（1）知a84＞0，a85＜0，所以S1＜S2＜…＜S84，‎ 且S84＞S85＞S86＞…，所以Sn的最大值为S84＝50×84＋×（－0.6）＝2 108.4。‎ 3‎