陕西省西安电子科技大学附属中学2019-2020学年高二上学期期中考试数学（文）试题 含解析

陕西省西安电子科技大学附属中学2019-2020学年高二上学期期中考试数学（文）试题 含解析

西安电子科技大学附属中学2019-2020学年上学期高二期中考试数学文试题 一、选择题（本大题共12小题）‎ 1. 设变量x，y满足约束条件：，则目标函数的最小值为 A. 6 B. ‎7 ‎C. 8 D. 23‎ 2. 已知点（-1，2）和（3，-3）在直线3x+y-a=0的同侧，则a取值范围（　　）‎ A. B. C. D. ‎ 3. 设a，b为实数，且a+b=3，则‎2a+2b的最小值是（　　）‎ A. 6 B. C. D. 8‎ 4. 设0＜a＜b，则下列不等式中正确的是（　　）‎ A. B. C. D. ‎ 5. 若函数f（x）=x+（x＞2），在x=a处取最小值，则a=（　　）‎ A. B. C. 3 D. 4‎ 6. 不等式的解集是（　　）‎ A. B. C. D. ‎ 7. 方程x2＋(m－2)x＋5－m＝0的两根都大于2，则m的取值范围是()‎ A. B. C. D. ‎ 8. 若函数f（x）=（a2+4a-5）x2-4（a-1）x+3的图象恒在x轴上方，则a的取值范围是（　　）‎ A. B. C. D. ‎ 9. 在△ABC中，内角B=60°，边长a=8，b=7，则此三角形的面积为（　　）‎ A. B. C. 或 D. 或 10. 若在△ABC中，2cosBsinA=sinC，则△ABC的形状一定是（　　）‎ A. 等腰直角三角形 B. 直角三角形 C. 等腰三角形 D. 等边三角形 11. 如果数列{an}的前n项和Sn=an-3，那么这个数列的通项公式是（　　）‎ A. B. C. D. ‎ 12. 正数x，y满足x+3y=5xy，则3x+4y的最小值是( )‎ A. B. C. 5 D. 6‎ 二、填空题（本大题共4小题）‎ 13. 若x、y满足，则的最大值是______．‎ 14. 已知-＜α＜β＜π，则的取值范围是______．‎ 15. 已知三角形的三边为a，b，c和面积S=a2-（b-c）2，则cosA=______．‎ 16. 数列{an}中，a1=2，an+1-an=2n，则数列的通项an=______．‎ 三、解答题（本大题共5小题）‎ 17. 解不等式 （1）解关于x的不等式x2-（3+a）x+3a＞0； （2）＜2． ‎ 西安电子科技大学附属中学2019-2020学年上学期高二期中考试数学文试题 一、选择题（本大题共12小题）‎ 1. 设变量x，y满足约束条件：，则目标函数的最小值为 A. 6 B. ‎7 ‎C. 8 D. 23‎ 2. 已知点（-1，2）和（3，-3）在直线3x+y-a=0的同侧，则a取值范围（　　）‎ A. B. C. D. ‎ 3. 设a，b为实数，且a+b=3，则‎2a+2b的最小值是（　　）‎ A. 6 B. C. D. 8‎ 4. 设0＜a＜b，则下列不等式中正确的是（　　）‎ A. B. C. D. ‎ 5. 若函数f（x）=x+（x＞2），在x=a处取最小值，则a=（　　）‎ A. B. C. 3 D. 4‎ 6. 不等式的解集是（　　）‎ A. B. C. D. ‎ 7. 方程x2＋(m－2)x＋5－m＝0的两根都大于2，则m的取值范围是()‎ A. B. C. D. ‎ 8. 若函数f（x）=（a2+4a-5）x2-4（a-1）x+3的图象恒在x轴上方，则a的取值范围是（　　）‎ A. B. C. D. ‎ 9. 在△ABC中，内角B=60°，边长a=8，b=7，则此三角形的面积为（　　）‎ A. B. C. 或 D. 或 10. 若在△ABC中，2cosBsinA=sinC，则△ABC的形状一定是（　　）‎ A. 等腰直角三角形 B. 直角三角形 C. 等腰三角形 D. 等边三角形 11. 如果数列{an}的前n项和Sn=an-3，那么这个数列的通项公式是（　　）‎ A. B. C. D. ‎ 12. 正数x，y满足x+3y=5xy，则3x+4y的最小值是( )‎ A. B. C. 5 D. 6‎ 二、填空题（本大题共4小题）‎ 13. 若x、y满足，则的最大值是______．‎ 14. 已知-＜α＜β＜π，则的取值范围是______．‎ 15. 已知三角形的三边为a，b，c和面积S=a2-（b-c）2，则cosA=______．‎ 16. 数列{an}中，a1=2，an+1-an=2n，则数列的通项an=______．‎ 三、解答题（本大题共5小题）‎ 17. 解不等式 （1）解关于x的不等式x2-（3+a）x+3a＞0； （2）＜2． ‎ 1. 已知函数f（x）=，x∈[1，+∞）． （1）当a=4时，求函数f（x）的最小值； （2）若对任意x∈[1，+∞），f（x）＞0恒成立，试求实数a的取值范围． ‎ 2. 已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，acosC+asinC-b-c=0 （1）求A； （2）若a=2，△ABC的面积为；求b，c． ‎ 3. 半圆O的直径为2，A为直径延长线上的一点，OA=2，B为半圆上任意一点，以AB为一边作等边三角形ABC，问：点B在什么位置时，四边形OACB面积最大？ ‎ ‎ ‎ 4. 已知等差数列{an}满足：a3=7，a5+a7=26，{an}的前n项和为Sn． （Ⅰ）求an及Sn； （Ⅱ）令bn=（n∈N*），求数列{bn}的前n项和Tn． ‎ 答案和解析 ‎1.【答案】B ‎ ‎【解析】解：画出不等式．表示的可行域，如图， 让目标函数表示直线在可行域上平移， 知在点B自目标函数取到最小值， 解方程组得（2，1）， 所以zmin=4+3=7， 故选：B． 本题考查的知识点是线性规划，处理的思路为：根据已知的约束条件．画出满足约束条件的可行域，再用角点法，求出目标函数的最小值． 用图解法解决线性规划问题时，分析题目的已知条件，找出约束条件和目标函数是关键，可先将题目中的量分类、列出表格，理清头绪，然后列出不等式组（方程组）寻求约束条件，并就题目所述找出目标函数．然后将可行域各角点的值一一代入，最后比较，即可得到目标函数的最优解． 2.【答案】C ‎ ‎【解析】解：∵点（-1，2）和（3，-3）在直线3x+y-a=0的同侧， ∴（-3+2-a）（9-3-a）＞0，化为（a+1）（a-6）＞0，解得a＜-1或a＞6． 故选：C． 由于点（-1，2）和（3，-3）在直线3x+y-a=0的同侧，可得（-3+2-a）（9-3-a）＞0，化为（a+1）（a-6）＞0，解出即可． 本题考查了线性规划的有关知识、一元二次不等式的解法，属于基础题． 3.【答案】B ‎ ‎【解析】解：根据基本不等式的性质，有2a+2b≥2=2， 又由a+b=3， 则， 故选：B． 根据基本不等式的性质与幂的运算性质，有2a+2b≥2=2，结合题意a+b=3，代入可得答案． 本题考查基本不等式的性质与运用，正确运用公式要求“一正、二定、三相等”，解题时要注意把握和或积为定值这一条件 4.【答案】B ‎ ‎【解析】解：取a=1且b=4，计算可得=2，=， 选项A、B、D均矛盾，B符合题意， 故选：B 举特值计算，排除选项可得． 本题考查特值法比较式子的大小，属基础题． 5.【答案】C ‎ ‎【解析】【分析】 本题主要考查了基本不等式的应用．考查了分析问题和解决问题的能力． 把函数解析式整理成基本不等式的形式，求得函数的最小值和此时x 的取值． 【解答】 解：f（x）=x+=x-2++2≥4 当x-2=1时，即x=3时等号成立． ∵x=a处取最小值， ∴a=3 故选C． 6.【答案】D ‎ ‎【解析】【分析】 本题考查分式不等式的解法，注意分母不为0，属基本题． 本题为选择题，可考虑用排除法，也可直接求解． 【解答】 解：∵不等式， ∴x≠1，排除B； 由x=0符合可排除C； 由x=3排除A， 故选D． 7.【答案】A ‎ ‎【解析】解：令f（x）=x2+（m-2）x+5-m，其对称轴方程为x=  由已知方程x2+（m-2）x+5-m=0的两根都大于2，故有  即解得-5＜m≤-4    m的取值范围是（-5，-4]    故应选A． 方程x2+（m-2）x+5-m=0的两根都大于2，则其相应的函数f（x）=x2+（m-2）x+5-m与x轴的两个交点都在直线x=2的右边，由图象的特征知应有对称轴大于2，f（2）＞0，且△≥0，解此三式组成的方程组即可求出参数m的范围． 本题考点是一元二次方程根的分布与系数的关系，考查知道了一元二次方程根的特征，将其转化为方程组解参数范围的能力，本题解题技巧是数形结合，借助图象转化出不等式组，此是这一类题的常用方法． 8.【答案】C ‎ ‎【解析】解：f（x）=（a2+4a-5）x2-4（a-1）x+3的图象恒在x轴上方，即（a2+4a-5）x2-4（a-1）x+3＞0（*）恒成立， （1）当a2+4a-5=0时，可得a=-5或a=1， 若a=-5，（*）式可化为24x+3＞0，不恒成立； 若a=1，（*）式可化为3＞0，恒成立； （2）当a2+4a-5≠0时，可得a≠-5且a≠1， 由题意可得，，即，解得1＜a＜19； 综上所述，a的取值范围是：[1，19）， 故选C． 由题意可得（a2+4a-5）x2-4（a-1）x+3＞0恒成立，按照a2+4a-5=0①，a2+4a-5≠0②两种情况进行讨论，情况①可求得a值，然后代入不等式检验即可；情况②可等价转化为不等式组解决． 本题考查二次函数的性质及恒成立问题，考查转化思想、分类讨论思想，属基础题． 9.【答案】C ‎ ‎【解析】解：∵△ABC中，b=7，a=8，B=60°， ∴由余弦定理，得b2=a2+c2-2accosB， 即49=c2+64-2×c×8×cos60°， 整理得c2-8c+15=0， ∴解得c=3或c=5， ∴△ABC的面积为S=acsinB=6或10． 故选：C． 根据题意，利用余弦定理算出c的值，再由三角形的面积公式即可算出△ABC的面积． 本题主要考查了余弦定理，三角形面积公式在解三角形中的应用，属于基础题． 10.【答案】C ‎ ‎【解析】解：∵在△ABC中2cosBsinA=sinC， ∴2cosBsinA=sinC=sin（A+B）， ∴2cosBsinA=sinAcosB+cosAsinB， ∴sinAcosB-cosAsinB=0， ∴sin（A-B）=0， ∴A-B=0，即A=B， ∴△ABC为等腰三角形， 故选：C． 由题意和和差角公式易得sin（A-B）=0，进而可得A=B，可判△ABC为等腰三角形． 本题考查三角形性质的判断，涉及和差角公式的应用，属基础题． 11.【答案】D ‎ ‎【解析】【分析】 本题考查利用数列中an与Sn关系求数列通项，考查通项公式求解．需具有转化、变形、计算能力． 利用数列中an与Sn关系，得出，且a1=6，由累乘法求通项公式即可． 【解答】 解：当n=1时，，解得a1=6．当n≥2时，an=Sn-Sn-1=，化简整理， 由累乘法可知通项公式an=6×3n-1=2×3n． 故选D． 12.【答案】C ‎ ‎【解析】【分析】 本题主要考查了基本不等式在求解函数的值域中的应用，解答本题的关键是由已知变形，然后进行“1”的代换，属于基础题． 将x+3y=5xy转化成=1，然后根据3x+4y=（）（3x+4y），展开后利用基本不等式可求出3x+4y的最小值． 【解答】 解：∵正数x，y满足x+3y=5xy， ∴=1， ∴3x+4y=（)（3x+4y）=+++≥+2=5， 当且仅当=时取等号， ∴3x+4y≥5， 即3x+4y的最小值是5， 故选C． ‎ ‎13.【答案】3 ‎ ‎【解析】解：先根据约束条件画出可行域， 设， 将z转化区域内的点Q与点P（1，1）连线的斜率， 当动点Q在点A（2，4）时，z的值为：，最大， 最大值3 故答案为：3． 先根据约束条件画出可行域，设，利用z的几何意义求最值，只需求出区域内的点Q与点P（1，1）连线的斜率的取值范围即可． 本题主要考查了简单线性规划，以及简单的转化思想和数形结合的思想，属中档题．目标函数有唯一最优解是我们最常见的问题，这类问题一般要分三步：画出可行域、求出关键点、定出最优解．借助于平面区域特性，用几何方法处理代数问题，体现了数形结合思想、化归思想． 14.【答案】 ‎ ‎【解析】解：∵-＜α＜π，-＜β＜π， ∴-π＜-β＜ ∴， 又∵α＜β，∴α-β＜0， ∴，． ∴的取值范围是． 故答案为：． 由-＜α＜β＜π，可得，即可得出的取值范围． 本题考查了不等式的性质，属于基础题． 15.【答案】 ‎ ‎【解析】解：由题意得，bcsinA=a2-b2-c2+2bc=-2bccosA+2bc，所以sinA+4cosA=4， 又因为sin2A+cos2A=1，解得cosA=； 故答案为：． 利用三角形得面积公式以及余弦定理结合三角函数得平方关系可得； 本题考查了三角形得面积公式、余弦定理以及三角函数公式，关键是熟练运用各公式解答． 16.【答案】2n ‎ ‎【解析】解：∵a1=2，an+1-an=2n， ∴a2-a1=2， a3-a2=22， … an-an-1=2n-1， 相加得：an-a1=2+22+23+…+2n-1， an=2n， 故答案为：2n． 运用累加法求解：an-a1=2+22+23+2…+2n-1即可得到答案． 本题考查了数列的函数性，等比数列的求和公式，属于中档题． 17.【答案】解：（1）由x2-（3+a）x+3a＞0得，（x-3）（x-a）＞0， ①当a＜3时，x＜a或x＞3，不等式解集为{x|x＜a或x＞3}； ②当a=3时，不等式为（x-3）2＞0，不等式解集为{x|x∈R且x≠3}‎ ‎； ③当a＞3时，x＜3或x＞a，不等式解集为{x|x＜3或x＞a}． （2）∵x2+x+1＞0恒成立， ∴由得，x2-2x-2＜2（x2+x+1），整理得，x2+4x+4＞0，解得x≠-2， ∴原不等式的解集为{x|x≠-2}． ‎ ‎【解析】（1）由原不等式可得（x-3）（x-a）＞0，从而讨论a与3的大小关系，根据一元二次不等式的解法求解即可； （2）可由原不等式得出x2-2x-2＜2（x2+x+1），解该一元二次不等式即可． 本题考查了一元二次不等式的解法，分类讨论的思想，分式不等式的解法，考查了计算能力，属于基础题． 18.【答案】解：（1）当a=4时， f（x）==x++2≥2+2=6，（当且仅当x=2时取得相等）， 即函数最小值为6； （2）f（x）＞0即x++2＞0对任意x∈[1，+∞），恒成立， 即a＞-x（x+2） a＞-（x+1）2+1， 令g（x）=-（x+1）2+1， g（x）的最大值为当x=1时取得，为g（1）=-3 所以有a＞-3． ‎ ‎【解析】（1）将a=4代入f（x），利用基本不等式求出最值，（2）将恒成立问题转化为最值问题求解， 本题考查函数最值问题，用到了基本不等式和恒成立问题的转化求解，属于较经典的题型． 19.【答案】解：（1）由正弦定理得：acosC+asinC-b-c=0， 即sinAcosC+sinAsinC=sinB+sinC ∴sinAcosC+sinAsinC=sin（A+C）+sinC， 即sinA-cosA=1 ∴sin（A-30°）=． ∴A-30°=30° ∴A=60°； （2）若a=2，△ABC的面积=， ∴bc=4．① 再利用余弦定理可得：a2=b2+c2-2bc•cosA =（b+c）2-2bc-bc=（b+c）2-3×4=4， ∴b+c=4．② 结合①②求得b=c=2． ‎ ‎【解析】（1）已知等式利用正弦定理化简，整理后得到sin（A-30°）=．即可求出A的值； （2）若a=2，由△ABC的面积为，求得bc=4．①，再利用余弦定理可得b+c=4．②，结合①②求得b和c的值． 本题考查了正弦定理及余弦定理的应用，考查了三角形面积公式的应用，是中档题． 20.【答案】解：根据题意，设∠AOB=α， 在△AOB中，由余弦定理得AB2=OA2+OB2-2×OA×OBcos∠AOB =12+22-2×1×2×cosα=5-4cosα， 于是，四边形OACB的面积为S=S△AOB+S△ABC=×OA×OB×sinα+AB2  =×2×1×sinα+（5-4cosα）=sinα-cosα+=2sin（α-）+‎ ‎， 因为0＜α＜π，所以当α-=，即α=时，四边形OACB面积最大； 故当α=时，四边形OACB面积最大． ‎ ‎【解析】在△AOB中，由已知OA=2，OB=1，设∠AOB=α，则可应用余弦定理将AB的长用α的三角函数表示出来，进而四边形OACB面积S=S△AOB+S△AB表示成为α的三角函数，再注意α∈（0，π），将三角函数化简成为y=Asin（ωx+φ）+B的形式，就可求得使四边形OACB面积最大的角α的值，从而就可确定点B的位置． 本题考查解三角形，涉及余弦定理的应用，关键是得到四边形OACB的面积关于α的表达式． 21.【答案】解：（Ⅰ）设等差数列{an}的公差为d，因为a3=7，a5+a7=26， 所以有，解得a1=3，d=2， 所以an=3+2（n-1）=2n+1； Sn=3n+； （Ⅱ）由（Ⅰ）知an=2n+1， 所以bn== ==（-）， 所以数列{bn}的前n项和为： ​Tn=（1--）​=（1-）=， 即数列{bn}的前n项和Tn=． ‎ ‎【解析】本题主要考查等差数列的通项公式和前n项和的计算，以及利用裂项法进行求和，属基础题． （Ⅰ）根据等差数列的通项公式求出首项和公差即可求an及Sn； （Ⅱ）求出bn的通项公式，利用裂项法即可得到结论． ‎