【数学】2020届一轮复习（理）通用版考点测试43空间几何体的表面积和体积作业

【数学】2020届一轮复习（理）通用版考点测试43空间几何体的表面积和体积作业

考点测试 43　空间几何体的表面积和体积 高考概览 高考中本考点常见题型为选择题、填空题，分值为 5 分，中等难度 考纲研读 球体、柱体、锥体、台体的表面积和体积计算公式 一、基础小题 1．若球的半径扩大为原来的 2 倍，则它的体积扩大为原来的(　　) A．2 倍 B．4 倍 C．8 倍 D．16 倍 答案　C 解析　设原来球的半径为 r，则现在球的半径为 2r，则 V 原＝4 3πr3，V 现＝4 3 π·(2r)3，故 V 现＝8V 原．故选 C． 2．一个正方体的体积是 8，则这个正方体的内切球的表面积是(　　) A．8π B．6π C．4π D．π 答案　C 解析　设正方体的棱长为 a，则 a3＝8，∴a＝2．而此正方体的内切球直径 为 2，∴S 表＝4πr2＝4π． 3．如图，一个空间几何体的正视图、侧视图都是面积为 3 2 ，一个内角为 60° 的菱形，俯视图为正方形，那么这个几何体的表面积为(　　) A．2 3 B．4 3 C．8 D．4 答案　D 解析　由三视图知，原几何体为两个四棱锥的组合体，其中四棱锥的底面边 长为 1，斜高为 1，所以这个几何体的表面积为 S＝1 2 ×1×1×8＝4． 4．一个直三棱柱的三视图如图所示，其中俯视图是正三角形，则此三棱柱 的体积为(　　) A． 3 2 B． 3 C．2 D．4 答案　B 解析　由侧视图可知直三棱柱底面正三角形的高为 3，容易求得正三角形 的边长为 2，所以底面正三角形面积为1 2 ×2× 3＝ 3．再由侧视图可知直三棱 柱的高为 1，所以此三棱柱的体积为 3×1＝ 3．故选 B． 5．已知圆锥的表面积为 a，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的 底面直径是(　　) A．a 2 B． 3πa 3π C．2 3πa 3π D．2 3a 3π 答案　C 解析　设圆锥的底面半径为 r，母线长为 l，由题意知，2πr＝πl，∴l＝2r， 则圆锥的表面积 S 表＝πr2＋1 2π(2r)2＝a，∴r2＝ a 3π ，∴2r＝2 3πa 3π ． 6．若某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则该几何体的体积等于(　　) A．10 cm3 B．20 cm3 C．30 cm3 D．40 cm3 答案　B 解析　由三视图可知，该几何体是一个直三棱柱 ABC－A1B1C1 截去一个三 棱 锥 B1 － ABC ， 则 该 几 何 体 的 体 积 为 V ＝ 1 2 ×3×4×5 － 1 3 ×1 2 ×3×4×5 ＝ 20(cm3)．故选 B． 7．某四棱台的三视图如图所示，则该四棱台的体积是(　　) A．4 B．14 3 C．16 3 D．6 答案　B 解析　依题意，所求几何体是一个四棱台，其中上底面是边长为 1 的正方形、 下底面是边长为 2 的正方形，高是 2，因此其体积等于1 3 ×(12＋22＋ 1 × 4)×2 ＝14 3 ．故选 B． 8．某几何体的三视图如图所示，图中三个正方形的边长均为 2，则该几何 体的表面积为(　　) A．24＋( 2－1)π B．24＋(2 2－2)π C．24＋( 5－1)π D．24＋(2 3－2)π 答案　B 解析　如图，由三视图可知，该几何体是棱长为 2 的正方体挖出两个圆锥体 所得．由图中知圆锥的半径为 1，母线为 2，该几何体的表面积为 S＝6×22－ 2π×12＋2×1 2 ×2π×1× 2＝24＋(2 2－2)π，故选 B． 9．已知一个几何体的三视图如图所示，则其体积为(　　) A．10＋π B．2＋π 2 C．2＋ π 12 D．2＋π 4 答案　D 解析　根据几何体的三视图还原其直观图如图所示，显然可以看到该几何体 是一个底面长为 2，宽为 1，高为 1 的正棱柱与一个底面半径为 1，高为 1 的1 4 圆 柱组合而成，其体积为 V＝2×1×1＋1 4 ×π×12×1＝2＋π 4 ，故选 D． 10．我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题：在下雨时，用 一个圆台形的天池盆接雨水，天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸， 盆深一尺八寸，若盆中积水深九寸，则平地降雨量是________寸． (注：①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；②一尺等于十寸．) 答案　3 解析　由题意知，圆台中截面圆的半径为十寸，圆台内水的体积为 V＝1 3πh(r 2中＋r 2下＋r 中 r 下)＝π 3 ×9×(102＋62＋10×6)＝588π(立方寸)，降雨量为 V 142π ＝588π 196π ＝3(寸)． 11．如图所示，已知一个多面体的平面展开图由一个边长为 1 的正方形和 4 个边长为 1 的正三角形组成，则该多面体的体积是________． 答案　 2 6 解析　易知该几何体是正四棱锥．连接 BD，设正四棱锥 P－ABCD，由 PD ＝PB＝1，BD＝ 2，则 PD⊥PB．设底面中心 O，则四棱锥高 PO＝ 2 2 ，则其 体积是 V＝1 3Sh＝1 3 ×12× 2 2 ＝ 2 6 ． 12．如图，在平面四边形 ABCD 中，已知 AB⊥AD，AB＝AD＝1，BC＝CD ＝5，以直线AB为轴，将四边形ABCD旋转一周，则所得旋转体的体积为________． 答案　12π 解析　由题意，该旋转体是一圆台内部挖去一个圆锥，如图 1 所示： 如图 2，过点 C 作 CE⊥AB，连接 BD．在等腰直角三角形 ABD 中，BD＝ AD2＋AB2＝ 2．在△BDC 中，CD2＝BD2＋BC2－2BD·BCcos∠DBC，所以 25 ＝ 2 ＋ 25 － 10 2cos ∠ DBC ， 所 以 cos ∠ DBC ＝ 2 10 ， 所 以 sin ∠ DBC ＝ 1－cos2∠DBC＝7 2 10 ．因为∠CBE＝180°－∠ABD－∠DBC＝135°－∠DBC， 所以 sin∠CBE＝sin(135°－∠DBC)＝ 2 2 cos∠DBC＋ 2 2 sin∠DBC＝4 5 ．在 Rt△ BCE 中，CE＝BCsin∠CBE＝4，所以 BE＝ BC2－CE2＝3，AE＝4．所以圆台 上、下底面圆的面积分别为 S 上＝π，S 下＝16π，圆台体积 V 1＝1 3(S 上＋S 下＋ S 上 S 下)·AE＝28π，圆锥体积 V2＝1 3 ×16π×3＝16π，所以旋转体体积 V＝V1－V2 ＝12π． 二、高考小题 13．(2017·全国卷Ⅱ)如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实线画出的是 某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体 的体积为(　　) A．90π B．63π C．42π D．36π 答案　B 解析　由三视图可知两个同样的几何体可以拼成一个底面直径为 6，高为 14 的圆柱，所以该几何体的体积 V＝1 2 ×32×π×14＝63π．故选 B． 14．(2018·浙江高考)某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的 体积(单位：cm3)是(　　) A．2 B．4 C．6 D．8 答案　C 解析　由三视图可知该几何体是直四棱柱，其中底面是直角梯形，直角梯形 上、下底边的长分别为 1 cm，2 cm，高为 2 cm，直四棱柱的高为 2 cm．故直四 棱柱的体积 V＝1＋2 2 ×2×2＝6 cm3． 15．(2018·全国卷Ⅰ)已知圆柱的上、下底面的中心分别为 O1，O2，过直线 O1O2 的平面截该圆柱所得的截面是面积为 8 的正方形，则该圆柱的表面积为(　　) A．12 2π B．12π C．8 2π D．10π 答案　B 解析　根据题意，可得截面是边长为 2 2的正方形，结合圆柱的特征，可 知该圆柱的底面为半径是 2的圆，且高为 2 2，所以其表面积为 S＝2π( 2)2＋ 2π× 2×2 2＝12π．故选 B． 16．(2018·全国卷Ⅰ)在长方体 ABCD－A1B1C1D1 中，AB＝BC＝2，AC1 与平 面 BB1C1C 所成的角为 30°，则该长方体的体积为(　　) A．8 B．6 2 C．8 2 D．8 3 答案　C 解析　在长方体 ABCD－A1B1C1D1 中，连接 BC1，根据线面角的定义可知∠ AC1B＝30°，因为 AB＝2， AB BC1 ＝tan30°，所以 BC 1＝2 3，从而求得 CC1＝ BC21－BC2＝2 2，所以该长方体的体积为 V＝2×2×2 2＝8 2．故选 C． 17．(2018·全国卷Ⅲ)设 A，B，C，D 是同一个半径为 4 的球的球面上四点，△ ABC 为等边三角形且其面积为 9 3，则三棱锥 D－ABC 体积的最大值为(　　) A．12 3 B．18 3 C．24 3 D．54 3 答案　B 解析　如图所示，点 M 为三角形 ABC 的重心，E 为 AC 的中点，当 DM⊥ 平面 ABC 时，三棱锥 D－ABC 体积最大，此时，OD＝OB＝R＝4． ∵S△ABC＝ 3 4 AB2＝9 3， ∴AB＝6， ∵点 M 为三角形 ABC 的重心， ∴BM＝2 3BE＝2 3， ∴在 Rt△OMB 中，有 OM＝ OB2－BM2＝2． ∴DM＝OD＋OM＝4＋2＝6， ∴(V 三棱锥 D－ABC)max＝1 3 ×9 3×6＝18 3．故选 B． 18．(2018·全国卷Ⅱ)已知圆锥的顶点为 S，母线 SA，SB 所成角的余弦值为 7 8 ，SA 与圆锥底面所成角为 45°，若△SAB 的面积为 5 15，则该圆锥的侧面积 为________． 答案　40 2π 解析　因为母线 SA，SB 所成角的余弦值为7 8 ，所以母线 SA，SB 所成角的正 弦值为 15 8 ，因为△SAB 的面积为 5 15，设母线长为 l，所以 1 2 ×l2× 15 8 ＝ 5 15，所以 l2＝80，因为 SA 与圆锥底面所成角为 45°，所以底面圆的半径为 lcos π 4 ＝ 2 2 l，因此，圆锥的侧面积为 πrl＝ 2 2 πl2＝40 2π． 19．(2018·天津高考)已知正方体 ABCD－A1B1C1D1 的棱长为 1，除面 ABCD 外，该正方体其余各面的中心分别为点 E，F，G，H，M(如图)，则四棱锥 M－EFGH 的体积为________． 答案　 1 12 解析　由题意知四棱锥的底面 EFGH 为正方形，其边长为 2 2 ，即底面面积 为1 2 ，由正方体的性质知，四棱锥的高为1 2 ．故四棱锥 M－EFGH 的体积 V＝1 3 ×1 2 ×1 2 ＝ 1 12 ． 20．(2018·江苏高考)如图所示，正方体的棱长为 2，以其所有面的中心为顶 点的多面体的体积为________． 答案　4 3 解析　多面体由两个完全相同的正四棱锥组合而成，其中正四棱锥的底面边 长为 2，高为 1，∴其体积为1 3 ×( 2)2×1＝2 3 ，∴多面体的体积为4 3 ． 三、模拟小题 21．(2018·邯郸摸底)如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗线画出的是某 几何体的三视图，已知该几何体的各个面中有 n 个面是矩形，体积为 V，则(　　) A．n＝4，V＝10 B．n＝5，V＝12 C．n＝4，V＝12 D．n＝5，V＝10 答案　D 解析　由三视图可知，该几何体为直五棱柱，其直观图如图所示，故 n＝5， 体积 V＝2×22＋1 2 ×2×1＝10．故选 D． 22．(2018·福州模拟)已知圆柱的高为 2，底面半径为 3，若该圆柱的两个 底面的圆周都在同一个球面上，则这个球的表面积等于(　　) A．4π B．16π 3 C．32π 3 D．16π 答案　D 解析　如图，可知球的半径 R＝ OH2＋AH2＝ 12＋( 3)2＝2，进而这个 球的表面积为 4πR2＝16π．故选 D． 23．(2018·合肥质检一)如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗线画出的是 某几何体的三视图，则该几何体的表面积为(　　) A．5π＋18 B．6π＋18 C．8π＋6 D．10π＋6 答案　C 解析　该几何体的表面积是由球的表面积、球的大圆面积、半个圆柱的侧面 积以及圆柱的纵切面面积组成．从而该几何体的表面积为 4π×1 2＋π×12＋1 2 ×2π×3＋3×2＝8π＋6．故选 C． 24．(2018·石家庄质检二)如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实线及粗 虚线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的体积为(　　) A．8 3 B．3 C．8 D．5 3 答案　A 解析　根据三视图还原该几何体的直观图，如图中四棱锥 P－ABCD 所示， 则 VP－ABCD＝VP－AFGD＋(VAFB－DEC－VG－ECD)＝1 3 × (1＋2) × 2 2 ×1＋1 2 ×1×2×2－ 1 3 ×1 2 ×1×2×1＝8 3 ．故选 A． 25．(2018·合肥质检三)我国古代的《九章算术》中将上、下两面为平行矩形 的六面体称为“刍童”．如图所示为一个“刍童”的三视图，其中正视图及侧视 图均为等腰梯形，两底的长分别为 2 和 4，高为 2，则该“刍童”的表面积为(　　) A．12 5 B．40 C．16＋12 3 D．16＋12 5 答案　D 解析　易得侧面梯形的高为 22＋12＝ 5，所以一个侧面梯形的面积为1 2 ×(2＋4)× 5＝3 5．故所求为 4×3 5＋2×(2×4)＝12 5＋16．故选 D． 26．(2018·福建质检)已知底面边长为 4 2，侧棱长为 2 5的正四棱锥 S－ ABCD 内接于球 O1．若球 O2 在球 O1 内且与平面 ABCD 相切，则球 O2 的直径的 最大值为________． 答案　8 解析　如图，正四棱锥 S－ABCD 内接于球 O 1，SO1 与平面 ABCD 交于点 O．在正方形 ABCD 中，AB＝4 2，AO＝4． 在 Rt△SAO 中，SO＝ SA2－OA2＝ (2 5)2－42＝2．设球 O1 的半径为 R， 则在 Rt△OAO1 中，(R－2)2＋42＝R2，解得 R＝5，所以球 O1 的直径为 10．当球 O2 与平面 ABCD 相切于点 O 且与球 O1 相切时，球 O2 的直径最大．又因为 SO＝ 2，所以球 O2 的直径的最大值为 10－2＝8． 一、高考大题 1．(2016·江苏高考)现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部的形 状是正四棱锥P－A 1B1C1D1，下部的形状是正四棱柱ABCD－A 1B1C1D1(如图所示)， 并要求正四棱柱的高 O1O 是正四棱锥的高 PO1 的 4 倍． (1)若 AB＝6 m，PO1＝2 m，则仓库的容积是多少？ (2)若正四棱锥的侧棱长为 6 m，则当 PO1 为多少时，仓库的容积最大？ 解　(1)由 PO1＝2 知，O1O＝4PO1＝8． 因为 A1B1＝AB＝6， 所以正四棱锥 P－A1B1C1D1 的体积 V 锥＝1 3·A1B21·PO1＝1 3 ×62×2＝24(m3)． 正四棱柱 ABCD－A1B1C1D1 的体积 V 柱＝AB2·O1O＝62×8＝288(m3)． 所以仓库的容积 V＝V 锥＋V 柱＝24＋288＝312(m3)． (2)设 A1B1＝a m，PO1＝h m， 则 00，V 是单调增函数； 当 2 3

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