高中数学第三章不等式3_1不等关系与不等式3_1_2不等式的性质学案新人教B版必修51

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高中数学第三章不等式3_1不等关系与不等式3_1_2不等式的性质学案新人教B版必修51

3.1.2 不等式的性质 1.掌握不等式的性质. 2.能够利用不等式的性质进行数或式的大小比较,解不等式(组)和不等式证明. 不等式的性质 (1)对称性:a>b⇔______. (2)传递性:a>b,b>c⇒______. (3)加法法则:a>b⇔________. 推论 1 a+b>c⇒a>______; 推论 2 a>b,c>d⇒a+c>______. (4)乘法法则:a>b,c>0⇒______;a>b,c<0⇒______. 推论 1 a>b>0,c>d>0⇒______; 推论 2 a>b>0⇒an>bn(n∈N+,n>1); 推论 3 a>b>0⇒ n a> n b(n∈N+,n>1). 在不等式的基本性质中,乘法法则的应用最易出错,即在不等式的两边同乘(除以)一个 数时,必须能确定该数是正数、负数或零,否则结论不确定. 【做一做 1】已知 a>b,则下列各式中正确的个数是( ). ①ac<bc;②ac>bc;③(a-b)c>0. A.0 B.1 C.2 D.3 【做一做 2】已知 a>b,c>d,e>0,则 a+ce______b+de(填“>”或“<”). 【做一做 3】已知 a>b>0,c<0,则c a ________c b (填“>”或“<”). 一、不等式的性质的应用误区 剖析:使用不等式的性质时,一定要注意它们成立的前提条件,不可强化或弱化它们成 立的条件,盲目套用,例如: (1)a>b,c>d⇒a+c>b+d,已知的两个不等式必须是同向不等式; (2)a>b>0,且 c>d>0⇒ac>bd,已知的两个不等式不仅要求同向,而且不等式的两 边必须为正值; (3)a>b>0⇒an>bn(n∈N+,n>1)及 a>b>0⇒ n a> n b(n∈N+,n>1),成立的条件是 已知不等式的两边为正值,并且 n∈N+,n>1,否则结论就不成立.假设去掉 b>0 这个条 件,取 a=3,b=-4,n=2,就会出现 32>(-4)2 的错误结论;又若去掉了“n∈N+,n>1” 这个条件,取 a=3,b=2,n=-1,又会出现 3-1>2-1,即1 3 >1 2 的错误结论. 对于性质 4 的推论 2 和推论 3,在 n 取正奇数时,可放宽条件,命题仍成立,即有:a >b⇒an>bn(n=2k+1,k∈N),a>b⇒ n a> n b(n=2k+1,k∈N). (1)性质中的 a 和 b 可以是实数,也可以是代数式. (2)性质 3 是不等式移项法则的基础. (3)性质 3 的推论 2 是同向不等式相加法则的依据. (4)若 a>b 且 ab>0,则1 a <1 b .若 a>b,且 ab<0,则1 a >1 b ,即“同号取倒数,方向改 变,异号取倒数,方向不变”. (5)若 a>b,c<d,则 a-c>b-d. (6)若 a>b>0,c>d>0,则a d >b c . 二、教材中的“?” 在解一元一次不等式 3x-2≤5x+1 的过程中,应用了不等式的哪些性质? 剖析: 不等式的解 运用性质 3x-2≤5x+1 -2x≤3 移项:性质 3 的推论 1 2x≥-3 同乘-1:性质 4 x≥-3 2 同乘1 2 :性质 4 题型一 判断真假 【例 1】下列命题中,一定正确的是( ). A.若 a>b,且1 a >1 b ,则 a>0,b<0 B.若 a>b,b≠0,则a b >1 C.若 a>b,且 a+c>b+d,则 c>d D.若 a>b,且 ac>bd,则 c>d 反思:运用不等式的性质进行数的大小的判断时,要注意不等式性质成立的条件,不能 弱化条件,尤其是不能凭想当然随意捏造性质,解有关不等式的选择题时,也可采用特殊值 法进行排除,注意取值一定要遵循以下原则:一是满足题设条件;二是取值要简单,便于验 证计算. 题型二 应用不等式的性质证明不等式 【例 2】已知 a,b 为正实数,求证: a b + b a ≥ a+ b. 分析:针对题目特点,可考虑两种方法:一种是直接进行作差比较,按步骤进行,变形 这一步最为关键,不管用何种方法变形,一定要向有利于判定差的符号的方向进行,另一种 是先平方,再根据两式特点变形比较大小. 反思:比较法是证明不等式中最基本、最重要的方法,其步骤为:作差(或 n 次方作 差)——变形——确定符号——得出结论.其中,作差是依据,变形是手段,确定差的符号 是目的,证题的思路体现了数学中的转化思想.这里,关键的步骤是对差式的变形. 题型三 不等式性质的实际应用 【例 3】建筑设计规定,民用住宅的窗户面积必须小于地板面积.但按采光标准,窗户 面积与地板面积的比值应不小于 10%,且这个比值越大,住宅的采光条件越好.试问:同时 增加相等的窗户面积和地板面积,住宅的采光条件是变好了,还是变坏了?请说明理由. 分析:可先设住宅的窗户面积、地板面积分别为 a,b,根据题意知 a<b 且a b ≥10%,然 后设同时增加的面积为 m,得到 a+m<b+m,用比较法判断a+m b+m 与a b 的大小即可. 反思:一般地,设 a,b 为正实数,且 a<b,m>0,则a+m b+m >a b .利用这个不等式,可以 解释很多现象,比如 b 克糖水中有 a 克糖(b>a>0),若再添上 m 克糖(m>0 且未达到饱和 状态),则糖水变甜了.再比如芭蕾舞演员跳芭蕾时总是踮起脚尖,这是为什么呢?这是因 为踮起脚尖改变了演员下半身与整个身高的比值,使这个比值接近于黄金分割比 0.618,从 而带给观众更美的享受. 题型四 易错辨析 【例 4】已知-π 2 <β<α<π 2 ,求 2α-β的取值范围. 错解:∵-π 2 <α<π 2 ,∴-π<2α<π. 又∵-π 2 <β<π 2 ,∴-π 2 <-β<π 2 . ∴-3π 2 <2α-β<3π 2 . 错因分析:2α-β的取值范围可看做α+(α-β)的取值范围,因为忽视了不等式自 身的隐含条件β<α⇔α-β>0 而导致扩大了取值范围. 1a≥b 可以推出( ). A.1 a ≥1 b B.ac2≥bc2 C.a c2>b c2 D.(ac)2≥(bc)2 2 若1 a <1 b <0,则下列结论不正确的是( ). A.a2<b2 B.ab<b2 C.b a +a b >2 D.|a|-|b|=|a-b| 3 已知 a<0,-1<b<0,则下列不等式成立的是( ). A.a>ab>ab2 B.ab2>ab>a C.ab>a>ab2 D.ab>ab2>a 4 已知 a>b>c,且 a+b+c=0,则 b2-4ac 的值的符号为________. 5 实数 a,b,c,d 满足三个条件:①d>c,②a+b=c+d,③a+d<b+c,则将 a,b, c,d 按照从大到小的次序排列为________. 答案: 基础知识·梳理 (1)b<a (2)a>c (3)a+c>b+c c-b b+d (4)ac>bc ac<bc ac>bd 【做一做 1】A 【做一做 2】> 【做一做 3】> 典型例题·领悟 【例 1】A 对选项 A,∵1 a >1 b ,∴b-a ab >0. 又 a>b,∴b-a<0,∴ab<0,∴a>0,b<0; 对选项 B,当 a>0,b<0 时,有a b <1,故 B 错; 对选项 C,当 a=10,b=2,c=1,d=3 时,虽然 10+1>2+3,但 1<3,故 C 错; 对选项 D,当 a=-1,b=-2,c=-1,d=3 时, 有(-1)×(-1)>(-2)×3,但-1<3,故 D 错. 【例 2】证明:证法一:( a b + b a )-( a+ b)=( a b - b)+( b a - a)=a-b b +b-a a = (a-b)( a- b) ab =( a+ b)( a- b)2 ab . 因为 a,b 为正实数,所以 a+ b>0, ab>0,( a- b)2≥0. 于是有( a+ b)( a- b)2 ab ≥0.当且仅当 a=b 时,等号成立. 所以 a b + b a ≥ a+ b,当且仅当 a=b 时,等号成立. 证法二:因为( a b + b a )2=a2 b +b2 a +2 ab,( a+ b)2=a+b+2 ab,所以( a b + b a )2 -( a+ b)2=a2 b +b2 a +2 ab-(a+b+2 ab)=a3+b3-ab(a+b) ab =(a+b)(a-b)2 ab ,因为 a, b 为正实数,所以(a+b)(a-b)2 ab ≥0,所以( a b + b a )2≥( a+ b)2.又因为 a b + b a >0, a + b>0,所以 a b + b a ≥ a+ b,当且仅当 a=b 时,等号成立. 【例 3】解:变好了.理由:设住宅的窗户面积、地板面积分别为 a,b,同时增加的面 积为 m,根据问题的要求可知 a<b 且a b ≥10%. 由于a+m b+m -a b =m(b-a) b(b+m) >0, 于是a+m b+m >a b .又a b ≥10%, 因此a+m b+m >a b ≥10%. 所以,同时增加相等的窗户面积和地板面积后,住宅的采光条件变好了. 【例 4】正解:∵-π 2 <α<π 2 ,-π 2 <β<π 2 , ∴-π 2 <-β<π 2 . ∴-π<α-β<π. 又∵β<α,∴α-β>0, ∴0<α-β<π, ∴-π 2 <2α-β<3 2 π. 随堂练习·巩固 1.B ∵c2≥0,a≥b,∴ac2≥bc2. 2.D 可取特殊值,令 a=-1,b=-2 代入验证知选项 D 不正确. 3.D 本题可以根据不等式的性质来解,由于-1<b<0,所以 0<b2<1.所以 a<ab2 <0,且 ab>0,易得答案 D.本题也可以根据 a,b 的取值范围取特殊值,比如令 a=-1,b =-1 2 ,也容易得到正确答案. 4.正 ∵a+b+c=0, ∴b=-(a+c), ∴b2=a2+c2+2ac. ∴b2-4ac=a2+c2-2ac=(a-c)2. ∵a>c,∴(a-c)2>0. ∴b2-4ac>0,即 b2-4ac 的符号为正. 5.b>d>c>a 由③可得,d-b<c-a;由②可得,c-a=b-d,于是有 d-b<b-d, a-c<c-a,∴d<b,a<c.再由①d>c 可得:b>d>c>a.
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