2020版高中数学 第二章2.2.1 条件概率

2020版高中数学 第二章2.2.1 条件概率

‎2.2.1　‎条件概率 学习目标　1.理解条件概率的定义.2.掌握条件概率的计算方法.3.利用条件概率公式解决一些简单的实际问题．‎ 知识点一　条件概率 ‎100件产品中有93件产品的长度合格，90件产品的质量合格，85件产品的长度、质量都合格．‎ 令A＝{产品的长度合格}，B＝{产品的质量合格}，AB＝{产品的长度、质量都合格}．‎ 思考1　试求P(A)，P(B)，P(AB)．‎ 答案　P(A)＝，P(B)＝，P(AB)＝.‎ 思考2　任取一件产品，已知其质量合格(即B发生)，求它的长度(即A发生)也合格(记为A|B)的概率．‎ 答案　事件A|B发生，相当于从90件质量合格的产品中任取1件长度合格，其概率为P(A|B)＝.‎ 思考3　P(B)，P(AB)，P(A|B)间有怎样的关系．‎ 答案　P(A|B)＝.‎ 梳理　‎ 条件 设A，B为两个事件，且P(A)>0‎ 含义 在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率 记作 P(B|A)‎ 读作 A发生的条件下B发生的概率 计算公式 ‎①缩小样本空间法：P(B|A)＝ ‎②公式法：P(B|A)＝ 13‎ ‎知识点二　条件概率的性质 ‎1．任何事件的条件概率都在0和1之间，即0≤P(B|A)≤1.‎ ‎2．如果B和C是两个互斥事件，则 P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)．‎ ‎1．若事件A，B互斥，则P(B|A)＝1.(　×　)‎ ‎2．事件A发生的条件下，事件B发生，相当于A，B同时发生．(　√　)‎ 类型一　求条件概率 例1　现有6个节目准备参加比赛，其中4个舞蹈节目，2个语言类节目，如果不放回地依次抽取2个节目，求 ‎(1)第1次抽到舞蹈节目的概率；‎ ‎(2)第1次和第2次都抽到舞蹈节目的概率；‎ ‎(3)在第1次抽到舞蹈节目的条件下，第2次抽到舞蹈节目的概率．‎ 考点　条件概率的定义及计算公式 题点　直接利用公式求条件概率 解　设第1次抽到舞蹈节目为事件A，第2次抽到舞蹈节目为事件B，则第1次和第2次都抽到舞蹈节目为事件AB.‎ ‎(1)从6个节目中不放回地依次抽取2个，总的事件数n(Ω)＝A＝30.‎ 根据分步乘法计数原理，有n(A)＝AA＝20，‎ 所以P(A)＝＝＝.‎ ‎(2)因为n(AB)＝A＝12，所以P(AB)＝＝＝.‎ ‎(3)方法一　由(1)(2)，得在第1次抽到舞蹈节目的条件下，第2次抽到舞蹈节目的概率P(B|A)＝＝＝.‎ 方法二　因为n(AB)＝12，n(A)＝20，‎ 所以P(B|A)＝＝＝.‎ 13‎ ‎反思与感悟　利用定义计算条件概率的步骤 ‎(1)分别计算概率P(AB)和P(A)．‎ ‎(2)将它们相除得到条件概率P(B|A)＝，这个公式适用于一般情形，其中AB表示A，B同时发生．‎ 跟踪训练1　某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是(　　)‎ A．0.8 B．‎0.75 C．0.6 D．0.45‎ 考点　条件概率的定义及计算公式 题点　直接利用公式求条件概率 答案　A 解析　设某天的空气质量为优良是事件B，随后一天的空气质量为优良是事件A，故所求概率为P(A|B)＝＝＝0.8.‎ 例2　集合A＝{1,2,3,4,5,6}，甲、乙两人各从A中任取一个数，若甲先取(不放回)，乙后取，在甲抽到奇数的条件下，求乙抽到的数比甲抽到的数大的概率．‎ 考点　条件概率的定义及计算公式 题点　利用缩小基本事件空间求条件概率 解　将甲抽到数字a，乙抽到数字b，记作(a，b)，甲抽到奇数的情形有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(3,1)，(3,2)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,6)，共15个．在这15个中，乙抽到的数比甲抽到的数大的有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(5,6)，共9个，所以所求概率P＝＝.‎ 引申探究 ‎1．在本例条件下，求乙抽到偶数的概率．‎ 解　在甲抽到奇数的情形中，乙抽到偶数的有(1,2)，(1,4)，(1,6)，(3,2)，(3,4)，(3,6)，(5,2)，(5,4)，(5,6)，共9个，所以所求概率P＝＝.‎ ‎2．若甲先取(放回)，乙后取，若事件A：“甲抽到的数大于‎4”‎；事件B：“甲、乙抽到的两数之和等于‎7”‎，求P(B|A)．‎ 解　甲抽到的数大于4的情形有：(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)，共12个，其中甲、乙抽到的两数之和等于7的情形有：(5,2)，(6,1)，共2个．所以P(B|A)＝＝.‎ 13‎ 反思与感悟　将原来的基本事件全体Ω缩小为已知的条件事件A，原来的事件B缩小为AB.而A中仅包含有限个基本事件，每个基本事件发生的概率相等，从而可以在缩小的概率空间上利用古典概型公式计算条件概率，即P(B|A)＝，这里n(A)和n(AB)的计数是基于缩小的基本事件范围的．‎ 跟踪训练2　5个乒乓球，其中3个新的，2个旧的，每次取一个，不放回地取两次，则在第一次取到新球的条件下，第二次取到新球的概率为________．‎ 考点　条件概率的定义及计算公式 题点　利用缩小基本事件空间求条件概率 答案　 解析　设第1次取到新球为事件A，第2次取到新球为事件B，则P(B|A)＝＝＝.‎ 类型二　条件概率的性质及应用 例3　把外形相同的球分装在三个盒子中，每盒10个．其中，第一个盒子中有7个球标有字母A,3个球标有字母B；第二个盒子中有红球和白球各5个；第三个盒子中有红球8个，白球2个．试验按如下规则进行：先在第一个盒子中任取一个球，若取得标有字母A的球，则在第二个盒子中任取一个球；若第一次取得标有字母B的球，则在第三个盒子中任取一个球．如果第二次取出的是红球，则称试验成功，求试验成功的概率．‎ 考点　条件概率的性质及应用 题点　条件概率性质的简单应用 解　设A＝{从第一个盒子中取得标有字母A的球}，‎ B＝{从第一个盒子中取得标有字母B的球}，‎ R＝{第二次取出的球是红球}，‎ W＝{第二次取出的球是白球}，‎ 则容易求得P(A)＝，P(B)＝，P(R|A)＝，‎ P(W|A)＝，P(R|B)＝，P(W|B)＝.‎ 事件“试验成功”表示为AR∪BR，又事件AR与事件BR互斥，故由概率的加法公式，得 P(AR∪BR)＝P(AR)＋P(BR)‎ ‎＝P(R|A)P(A)＋P(R|B)P(B)‎ ‎＝×＋×＝0.59.‎ 13‎ 反思与感悟　当所求事件的概率相对较复杂时，往往把该事件分成两个(或多个)互不相容的较简单的事件之和，求出这些简单事件的概率，再利用P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)便可求得较复杂事件的概率．‎ 跟踪训练3　在某次考试中，要从20道题中随机抽出6道题，若考生至少能答对其中4道题即可通过，至少能答对其中5道题就获得优秀．已知某考生能答对其中10道题，并且知道他在这次考试中已经通过，求他获得优秀成绩的概率．‎ 考点　条件概率的性质及应用 题点　条件概率性质的简单应用 解　记事件A为“该考生6道题全答对”，事件B为“该考生答对了其中5道题，另一道答错”，事件C为“该考生答对了其中4道题，另2道题答错”，事件D为“该考生在这次考试中通过”，事件E为“该考生在这次考试中获得优秀”，则A，B，C两两互斥，且D＝A∪B∪C，E＝A∪B，可知P(D)＝P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)‎ ‎＝＋＋＝，P(AD)＝P(A)，P(BD)＝P(B)，‎ P(E|D)＝P(A|D)＋P(B|D)‎ ‎＝＋＝＋＝.‎ 故获得优秀成绩的概率为.‎ ‎1．已知P(B|A)＝，P(AB)＝，则P(A)等于(　　)‎ A. B. C. D. 考点　条件概率的定义及计算公式 题点　直接利用公式求条件概率 答案　C 解析　因为P(B|A)＝，所以P(A)＝＝＝.‎ ‎2．市场上供应的灯泡中，甲厂产品占70%，乙厂产品占30%，甲厂产品的合格率是95%，乙厂产品的合格率是80%，则从市场上买到的一个甲厂的合格灯泡的概率是(　　)‎ A．0.665 B．‎0.564 C．0.245 D．0.285‎ 考点　条件概率的定义及计算公式 13‎ 题点　直接利用公式求条件概率 答案　A 解析　记事件A为“甲厂产品”，事件B为“合格产品”，则P(A)＝0.7，P(B|A)＝0.95，‎ ‎∴P(AB)＝P(A)·P(B|A)＝0.7×0.95＝0.665.‎ ‎3．从1,2,3,4,5中任取2个不同的数，事件A＝“取到的2个数之和为偶数”，事件B＝“取到的2个数均为偶数”，则P(B|A)等于(　　)‎ A. B. C. D. 考点　条件概率的定义及计算公式 题点　利用缩小基本事件空间求条件概率 答案　B 解析　P(A)＝＝，P(AB)＝＝，‎ P(B|A)＝＝.‎ ‎4．假定生男、生女是等可能的，一个家庭中有两个小孩，已知有一个是女孩，则另一个小孩是男孩的概率是________．‎ 考点　条件概率的定义及计算公式 题点　利用缩小基本事件空间求条件概率 答案　 解析　一个家庭的两个小孩只有4种可能：{男，男}，{男，女}，{女，男}，{女，女}，由题意可知这4个基本事件的发生是等可能的，所求概率P＝.‎ ‎5．抛掷红、蓝两枚骰子，记事件A为“蓝色骰子的点数为4或‎6”‎，事件B为“两枚骰子的点数之和大于‎8”‎，求：‎ ‎(1)事件A发生的条件下事件B发生的概率；‎ ‎(2)事件B发生的条件下事件A发生的概率．‎ 考点　条件概率的定义及计算公式 题点　直接利用公式求条件概率 解　抛掷红、蓝两枚骰子，事件总数为6×6＝36，事件A的基本事件数为6×2＝12，‎ 所以P(A)＝＝.‎ 由于3＋6＝6＋3＝4＋5＝5＋4>8,4＋6＝6＋4＝5＋5>8，5＋6＝6＋5>8,6＋6>8.‎ 所以事件B的基本事件数为4＋3＋2＋1＝10，‎ 所以P(B)＝＝.‎ 13‎ 事件AB的基本事件数为6.‎ 故P(AB)＝＝.‎ 由条件概率公式得 ‎(1)P(B|A)＝＝＝.‎ ‎(2)P(A|B)＝＝＝.‎ ‎1．条件概率：P(B|A)＝＝.‎ ‎2．概率P(B|A)与P(AB)的区别与联系：P(AB)表示在样本空间Ω中，计算AB发生的概率，而P(B|A)表示在缩小的样本空间ΩA中，计算B发生的概率．用古典概型公式，则P(B|A)＝，P(AB)＝.‎ 一、 选择题 ‎1．某班学生考试成绩中，数学不及格的占15%，语文不及格的占5%，两门都不及格的占3%.已知一学生数学不及格，则他语文也不及格的概率是(　　)‎ A．0.2 B．‎0.33 C．0.5 D．0.6‎ 考点　条件概率的定义及计算公式 题点　直接利用公式求条件概率 答案　A 解析　记“数学不及格”为事件A，“语文不及格”为事件B，P(B|A)＝＝＝0.2，‎ 所以数学不及格时，该生语文也不及格的概率为0.2.‎ ‎2．将两枚质地均匀的骰子各掷一次，设事件A＝{两个点数互不相同}，B＝{出现一个5点}，则P(B|A)等于(　　)‎ A. B. C. D. 考点　条件概率的定义及计算公式 13‎ 题点　利用缩小基本事件空间求条件概率 答案　A 解析　出现点数互不相同的共有6×5＝30(种)，出现一个5点共有5×2＝10(种)，所以P(B|A)＝＝.‎ ‎3．7名同学站成一排，已知甲站在中间，则乙站在末尾的概率是(　　)‎ A. B. C. D. 考点　条件概率的定义及计算公式 题点　利用缩小基本事件空间求条件概率 答案　C 解析　记“甲站在中间”为事件A，“乙站在末尾”为事件B，‎ 则n(A)＝A，‎ n(AB)＝A，‎ 所以P(B|A)＝＝.‎ ‎4．盒中装有6件产品，其中4件一等品，2件二等品，从中不放回地取两次，每次取1件，已知第二次取得一等品，则第一次取得二等品的概率为(　　)‎ A. B. C. D. 考点　条件概率的定义及计算公式 题点　直接利用公式求条件概率 答案　D 解析　设“第二次取得一等品”为事件A，“第一次取得二等品”为事件B，则P(AB)＝＝，P(A)＝＝，所以P(B|A)＝＝×＝.‎ ‎5．在区间(0,1)内随机投掷一个点M(其坐标为x)，若A＝，B＝，则P(B|A)等于(　　)‎ A. B. C. D. 考点　条件概率的定义及计算公式 题点　直接利用公式求条件概率 答案　A 解析　P(A)＝＝.∵A∩B＝，‎ 13‎ ‎∴P(AB)＝＝，∴P(B|A)＝＝＝.‎ ‎6．甲、乙、丙三人到三个景点旅游，每人只去一个景点，设事件A为“三个人去的景点不相同”，B为“甲独自去一个景点”，则概率P(A|B)等于(　　)‎ A. B. C. D. 考点　条件概率的定义及计算公式 题点　利用缩小基本事件空间求条件概率 答案　C 解析　由题意可知．n(B)＝C22＝12，n(AB)＝A＝6.‎ 所以P(A|B)＝＝＝.‎ ‎7．已知盒中装有3只螺口灯泡与7只卡口灯泡，这些灯泡的外形与功率都相同且灯口向下放着，现需要一只卡口灯泡，电工师傅每次从中任取一只并不放回，则在他第1次抽到的是螺口灯泡的条件下，第2次抽到的是卡口灯泡的概率为(　　)‎ A. B. C. D. 答案　D 解析　方法一　设事件A为“第1次抽到的是螺口灯泡”，事件B为“第2次抽到的是卡口灯泡”，则P(A)＝，P(AB)＝×＝，则所求概率为P(B|A)＝＝＝.‎ 方法二　第1次抽到螺口灯泡后还剩余9只灯泡，其中有7只卡口灯泡，故第2次抽到卡口灯泡的概率为＝.‎ 二、填空题 ‎8．某种元件用满6 000小时未坏的概率是，用满10 000小时未坏的概率是，现有一个此种元件，已经用过6 000小时未坏，则它能用到10 000小时的概率为________．‎ 考点　条件概率的定义及计算公式 题点　直接利用公式求条件概率 答案　 解析　设“用满6 000小时未坏”为事件A，“用满10 000小时未坏”为事件B，则P(A)＝‎ 13‎ ，P(AB)＝P(B)＝，所以P(B|A)＝＝＝.‎ ‎9．如图，四边形EFGH是以O为圆心、1为半径的圆的内接正方形．将一颗豆子随机地扔到该圆内，用A表示事件“豆子落在正方形EFGH内”，B表示事件“豆子落在扇形OHE(阴影部分)内”， ‎ 则(1)P(A)＝________；‎ ‎(2)P(B|A)＝________.‎ 考点　条件概率的定义及计算公式 题点　直接利用公式求条件概率 答案　(1)　(2) 解析　正方形的面积为2，圆的面积为π.‎ ‎(1)∵A表示事件“豆子落在正方形EFGH内”，‎ ‎∴P(A)＝.‎ ‎(2)∵B表示事件“豆子落在扇形OHE(阴影部分)内”，‎ ‎∴P(AB)＝，∴P(B|A)＝＝.‎ ‎10．设某种动物由出生算起活到20岁的概率为0.8，活到25岁的概率 0.4，现有一个20岁的这种动物，则它能活到25岁的概率是________．‎ 考点　条件概率的定义及计算公式 题点　直接利用公式求条件概率 答案　0.5‎ 解析　设该动物活到20岁为事件A，活到25岁为事件B，则P(A)＝0.8，P(B)＝0.4，‎ 又P(AB)＝P(B)，‎ 所以P(B|A)＝＝＝＝0.5.‎ ‎11．有五瓶墨水，其中红色一瓶，蓝色、黑色各两瓶，某同学从中随机任取两瓶，若取得的两瓶中有一瓶是蓝色，则另一瓶是红色或黑色的概率为________．‎ 13‎ 考点　条件概率的性质及应用 题点　条件概率性质的简单应用 答案　 解析　设事件A为“其中一瓶是蓝色”，事件B为“另一瓶是红色”，事件C为“另一瓶是黑色”，事件D为“另一瓶是红色或黑色”，‎ 则D＝B∪C且B与C互斥．‎ 又P(A)＝＝，‎ P(AB)＝＝，‎ P(AC)＝＝，‎ 故P(D|A)＝P(B∪C|A)‎ ‎＝P(B|A)＋P(C|A)‎ ‎＝＋＝.‎ 三、解答题 ‎12．从1～100共100个正整数中，任取一数，已知取出的一个数不大于50，求此数是2或3的倍数的概率．‎ 考点　条件概率的性质及应用 题点　条件概率性质的简单应用 解　设事件C为“取出的数不大于‎50”‎，事件A为“取出的数是2的倍数”，事件B为“取出的数是3的倍数”．‎ 则P(C)＝，且所求概率为 P(A∪B|C)＝P(A|C)＋P(B|C)－P(AB|C)‎ ‎＝＋－ ‎＝2×＝.‎ ‎13．坛子里放着5个大小、形状都相同的咸鸭蛋，其中有3个是绿皮的，2个是白皮的．如果不放回地依次拿出2个鸭蛋，求：‎ ‎(1)第1次拿出绿皮鸭蛋的概率；‎ ‎(2)第1次和第2次都拿出绿皮鸭蛋的概率；‎ ‎(3)在第1次拿出绿皮鸭蛋的条件下，第2次拿出绿皮鸭蛋的概率．‎ 13‎ 考点　条件概率的定义及计算公式 题点　直接利用公式求条件概率 解　设“第1次拿出绿皮鸭蛋”为事件A，“第2次拿出绿皮鸭蛋”为事件B，则第1次和第2次都拿出绿皮鸭蛋为事件AB.‎ ‎(1)从5个鸭蛋中不放回地依次拿出2个鸭蛋的总基本事件数为n(Ω)＝A＝20.‎ 又n(A)＝A×A＝12，‎ 于是P(A)＝＝＝.‎ ‎(2)因为n(AB)＝3×2＝6，‎ 所以P(AB)＝＝＝.‎ ‎(3)由(1)(2)，可得在第1次拿出绿皮鸭蛋的条件下，第2次拿出绿皮鸭蛋的概率为P(B|A)＝＝＝.‎ 四、探究与拓展 ‎14．先后掷两次骰子(骰子的六个面上分别是1,2,3,4,5,6点)，落在水平桌面后，记正面朝上的点数分别为x，y，记事件A为“x＋y为偶数”，事件B为“x，y中有偶数且x≠y”，则概率P(B|A)＝________.‎ 考点　条件概率的定义及计算公式 题点　直接利用公式求条件概率 答案　 解析　根据题意，事件A为“x＋y为偶数”，则x，y两个数均为奇数或偶数，共有2×3×3＝18个基本事件．‎ ‎∴事件A发生的概率为P(A)＝＝，而A，B同时发生，基本事件有“2＋‎4”‎，“2＋‎6”‎，“4＋‎2”‎，“4＋‎6”‎，“6＋‎2”‎，“6＋‎4”‎，共6个，‎ ‎∴事件A，B同时发生的概率为P(AB)＝＝，‎ ‎∴P(B|A)＝＝＝.‎ ‎15．甲箱的产品中有5个正品和3个次品，乙箱的产品中有4个正品和3个次品．‎ ‎(1)从甲箱中任取2个产品，求这2个产品都是次品的概率；‎ 13‎ ‎(2)若从甲箱中任取2个产品放入乙箱中，然后再从乙箱中任取一个产品，求取出的这个产品是正品的概率．‎ 考点　条件概率的性质及应用 题点　条件概率性质的简单应用 解　(1)从甲箱中任取2个产品的事件数为C＝28，这2个产品都是次品的事件数为C＝3，所以这2个产品都是次品的概率为.‎ ‎(2)设事件A为“从乙箱中取一个正品”，事件B1为“从甲箱中取出2个产品都是正品”，事件B2为“从甲箱中取出1个正品，1个次品”，事件B3为“从甲箱中取出2个产品都是次品”，则事件B1，事件B2，事件B3彼此互斥．‎ P(B1)＝＝，P(B2)＝＝，‎ P(B3)＝＝，‎ 所以P(A|B1)＝，‎ P(A|B2)＝，P(A|B3)＝.‎ 所以P(A)＝P(B1)P(A|B1)＋P(B2)P(A|B2)＋P(B3)P(A|B3)＝×＋×＋×＝.‎ 13‎