2020高中数学 课时分层作业12 等差数列前n项和的综合应用 新人教A版必修5
课时分层作业(十二) 等差数列前n项和的综合应用
(建议用时：40分钟)
[学业达标练]
一、选择题
1．数列{an}为等差数列，它的前n项和为Sn，若Sn＝(n＋1)2＋λ，则λ的值是( )
A．－2 B．－1
C．0 D．1
B [等差数列前n项和Sn的形式为Sn＝an2＋bn，∴λ＝－1.]
2．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若＝a1＋a200，且A，B，C三点共线(该直线不过点O)，则S200等于( )
【导学号：91432182】
A．100 B．101
C．200 D．201
A [A、B、C三点共线⇔a1＋a200＝1，
∴S200＝(a1＋a200)＝100.]
3．若数列{an}的前n项和是Sn＝n2－4n＋2，则|a1|＋|a2|＋…＋|a10|等于( )
A．15 B．35
C．66 D．100
C [易得an＝
|a1|＝1，|a2|＝1，|a3|＝1，
令an>0则2n－5>0，∴n≥3.
∴|a1|＋|a2|＋…＋|a10|
＝1＋1＋a3＋…＋a10
＝2＋(S10－S2)
＝2＋[(102－4×10＋2)－(22－4×2＋2)]＝66.]
4．设数列{an}是等差数列，若a1＋a3＋a5＝105，a2＋a4＋a6＝99，以Sn表示{an}的前n项和，则使Sn达到最大值的n是( )
【导学号：91432183】
A．18 B．19
C．20 D．21
C [a1＋a3＋a5＝105＝3a3，
∴a3＝35，
a2＋a4＋a6＝99＝3a4，
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∴a4＝33，
∴d＝＝－2，
∴an＝a3＋(n－3)d＝41－2n，
令an>0，∴41－2n>0，
∴n<，
∴n≤20.]
5.＋＋＋＋…＋等于( )
A.
B.
C.
D.
C [通项an＝＝，
∴原式＝
＝
＝.]
二、填空题
6．已知等差数列{an}中，Sn为其前n项和，已知S3＝9，a4＋a5＋a6＝7，则S9－S6＝________.
【导学号：91432184】
5 [∵S3，S6－S3，S9－S6成等差数列，而S3＝9，S6－S3＝a4＋a5＋a6＝7，∴S9－S6＝5.]
7．已知数列{an}的前n项和Sn＝n2－9n，第k项满足5
0，
∴a1>a2>a3>a4>a5>a6＝0，a7<0.
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故当n＝5或6时，Sn最大．]
三、解答题
9．已知等差数列{an}中，a1＝9，a4＋a7＝0.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)当n为何值时，数列{an}的前n项和取得最大值？
[解] (1)由a1＝9，a4＋a7＝0，
得a1＋3d＋a1＋6d＝0，解得d＝－2，
∴an＝a1＋(n－1)·d＝11－2n.
(2)法一：a1＝9，d＝－2，
Sn＝9n＋·(－2)＝－n2＋10n
＝－(n－5)2＋25，
∴当n＝5时，Sn取得最大值．
法二：由(1)知a1＝9，d＝－2<0，∴{an}是递减数列．
令an≥0，则11－2n≥0，解得n≤.
∵n∈N*，∴n≤5时，an>0，n≥6时，an<0.
∴当n＝5时，Sn取得最大值．
10．若等差数列{an}的首项a1＝13，d＝－4，记Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|，求Tn.
【导学号：91432186】
[解] ∵a1＝13，d＝－4，∴an＝17－4n.
当n≤4时，Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝a1＋a2＋…＋an
＝na1＋d＝13n＋×(－4)
＝15n－2n2；
当n≥5时，Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|
＝(a1＋a2＋a3＋a4)－(a5＋a6＋…＋an)
＝S4－(Sn－S4)＝2S4－Sn
＝2×－(15n－2n2)
＝2n2－15n＋56.
∴Tn＝
[冲A挑战练]
1．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，S4＝40，Sn＝210，Sn－4＝130，则n＝( )
A．12 B．14
C．16 D．18
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B [Sn－Sn－4＝an＋an－1＋an－2＋an－3＝80，
S4＝a1＋a2＋a3＋a4＝40，
所以4(a1＋an)＝120，a1＋an＝30，
由Sn＝＝210，得n＝14.]
2．设等差数列{an}的前n项和为Sn，Sm－1＝－2，Sm＝0，Sm＋1＝3，则m等于( )
【导学号：91432187】
A．3 B．4
C．5 D．6
C [am＝Sm－Sm－1＝2，am＋1＝Sm＋1－Sm＝3，所以公差d＝am＋1－am＝1，由Sm＝＝0，得a1＝－2，所以am＝－2＋(m－1)·1＝2，解得m＝5，故选C.]
3．已知数列：1，，，…，，…，则其前n项和等于________．
[通项an＝＝
＝2，
∴所求的和为
2
＝2＝.]
4．设项数为奇数的等差数列，奇数项之和为44，偶数项之和为33，则这个数列的中间项是________，项数是________.
【导学号：91432188】
11 7 [设等差数列{an}的项数为2n＋1，
S奇＝a1＋a3＋…＋a2n＋1
＝＝(n＋1)an＋1，
S偶＝a2＋a4＋a6＋…＋a2n＝＝nan＋1，
所以＝＝，解得n＝3，所以项数2n＋1＝7，
S奇－S偶＝an＋1，即a4＝44－33＝11为所求中间项．]
5．已知数列{an}的前n项和为Sn，数列{an}为等差数列，a1＝12，d＝－2.
(1)求Sn，并画出{Sn}(1≤n≤13)的图象；
(2)分别求{Sn}单调递增、单调递减的n的取值范围，并求{Sn}的最大(或最小)的项；
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(3){Sn}有多少项大于零？
[解] (1)Sn＝na1＋d＝12n＋×(－2)＝－n2＋13n.图象如图．
(2)Sn＝－n2＋13n＝－2＋，n∈N*，
∴当n＝6或7时，Sn最大；当1≤n≤6时，{Sn}单调递增；当n≥7时，{Sn}单调递减．
{Sn}有最大值，最大项是S6，S7，S6＝S7＝42.
(3)由图象得{Sn}中有12项大于零．
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