2018年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学（北京卷）精校版（含答案）

2018年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学（北京卷）精校版（含答案）

此卷只装订不密封 班级 姓名 准考证号 考场号 座位号 ‎ ‎2018年普通高等学校招生全国统一考试(北京卷)‎ 理 科 数 学 注意事项：‎ ‎1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。‎ ‎2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。‎ ‎3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。‎ ‎4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。‎ 第I卷 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，每小题5分，共40分．‎ ‎1．已知集合，，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2．在复平面内，复数的共轭复数对应的点位于（ ）‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎3．执行如图所示的程序框图，输出的值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎4．“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献．十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于．若第一个单音的频率，则第八个单音频率为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎5．某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为（ ）‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎6．设，均为单位向量，则“”是“”的（ ）‎ A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎7．在平面直角坐标系中，记为点到直线的距离，当，变化时，的最大值为（ ）‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎8．设集合，则（ ）‎ A．对任意实数，‎ B．对任意实数，‎ C．当且仅当时，‎ D．当且仅当时，‎ 第II卷 二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．‎ ‎9．设是等差数列，且，，则的通项公式为__________．‎ ‎10．在极坐标系中，直线与圆相切，则___．‎ ‎11．设函数，若对任意的实数都成立，则的最小值为_________．‎ ‎12．若，满足，则的最小值是__________．‎ ‎13．能说明“若对任意的都成立，则在上是增函数”为假命题的一个函数是__________．‎ ‎14．已知椭圆，双曲线．若双曲线的两条渐近线与椭圆的四个交点及椭圆的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆的离心率为__________；双曲线的离心率为__________．‎ 三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．‎ ‎15．（本小题13分）在中，，，．‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）求边上的高．‎ ‎16．（本小题14分）如图，在三棱柱中，平面，，，，分别为，，，的中点，，．‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）求二面角的余弦值；‎ ‎（3）证明：直线与平面相交．‎ ‎17．（本小题12分）电影公司随机收集了电影的有关数据，经分类整理得到下表：‎ 电影类型 第一类 第二类 第三类 第四类 第五类 第六类 电影部数 ‎140‎ ‎50‎ ‎300‎ ‎200‎ ‎800‎ ‎510‎ 好评率 好评率是指：一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值．‎ 假设所有电影是否获得好评相互独立．‎ ‎（1）从电影公司收集的电影中随机选取1部，求这部电影是获得好评的第四类电影的概率；‎ ‎（2）从第四类电影和第五类电影中各随机选取1部，估计恰有1部获得好评的概率；‎ ‎（3）假设每类电影得到人们喜欢的概率与表格中该类电影的好评率相等，用“”表示第类电影得到人们喜欢，“”表示第类电影没有得到人们喜欢（，2，3，4，5，6）．写出方差，，，，，的大小关系．‎ ‎18．（本小题13分）设函数．‎ ‎（1）若曲线在点处的切线与轴平行，求；‎ ‎（2）若在处取得极小值，求的取值范围．‎ ‎19．（本小题14分）已知抛物线经过点．过点的直线与抛物线有两个不同的交点，，且直线交轴于，直线交轴于．‎ ‎（1）求直线的斜率的取值范围；‎ ‎（2）设为原点，，，求证：为定值．‎ ‎20．（本小题14分）设n为正整数，集合．‎ 对于集合中的任意元素和，‎ 记．‎ ‎（1）当时，若，，求和的值；‎ ‎（2）当时，设是的子集，且满足：对于中的任意元素，当相同时，是奇数；当不同时，是偶数．求集合中元素个数的最大值；‎ ‎（3）给定不小于2的，设是的子集，且满足：对于中的任意两个不同的元素，．写出一个集合，使其元素个数最多，并说明理由．‎ ‎2018年普通高等学校招生全国统一考试(北京卷)‎ 理 科 数 学 答 案 第I卷 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，每小题5分，共40分．‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ 答案 A D B D C C C D 第II卷 二、填空题：本大题共6小题，每题5分，共30分．‎ ‎9．【答案】‎ ‎10．【答案】‎ ‎11．【答案】‎ ‎12．【答案】3‎ ‎13．【答案】（答案不唯一）‎ ‎14．【答案】；2‎ 三、解答题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．‎ ‎15．【答案】（1）；(2)边上的高为．‎ ‎【解析】（1）在中，，，．‎ 由正弦定理得，．‎ ‎，，．‎ ‎（2）在中，．‎ 如图所示，在中，，，‎ 边上的高为．‎ ‎16．【答案】（1）证明见解析；（2）的余弦值为；（3）证明过程见解析．‎ ‎【解析】（1）在三棱柱中，平面，‎ 四边形为矩形．又，分别为，的中点，‎ ‎，，，‎ 平面．‎ ‎（2）由（1）知，，．‎ 又平面，平面．‎ 平面，．‎ 如图建立空间直角坐称系．‎ 由题意得，，，，，‎ ‎，，设平面的法向量为，‎ ‎，，‎ 令，则，，平面的法向量，‎ 又平面的法向量为，．‎ 由图可得二面角为钝角，所以二面角的余弦值为．‎ ‎（3）平面的法向量为，，，‎ ‎，，与不垂直，‎ 与平面不平行且不在平面内，与平面相交．‎ ‎17．【答案】（1）概率为；（2）概率估计为；（3）．‎ ‎【解析】（1）由题知，样本中电影的总部数是，‎ 第四类电影中获得好评的电影部数是．故所求概率为．‎ ‎（2）设事件为“从第四类电影中随机选出的电影获得好评”，‎ 事件为“从第五类电影中随机选出的电影获得好评”．‎ 故所求概率为．‎ 由题意知，估计为，估计为．‎ 故所求概率估计为．‎ ‎（3）．‎ ‎18．【答案】（1）的值为1；（2）的取值范围是．‎ ‎【解析】（1）因为，‎ 所以 ‎，‎ ‎，由题设知，即，解得．‎ 此时，所以的值为1．‎ ‎（2）由（1）得．‎ 若，则当时，；‎ 当时，，所以在处取得极小值．‎ 若，则当时，，，所以，‎ 所以2不是的极小值点．‎ 综上可知，的取值范围是．‎ ‎19．【答案】（1）取值范围是；（2）证明过程见解析．‎ ‎【解析】（1）因为抛物线经过点，‎ 所以，解得，所以抛物线的方程为．‎ 由题意可知直线的斜率存在且不为0，‎ 设直线的方程为．‎ 由得．‎ 依题意，解得或．‎ 又，与轴相交，故直线不过点，从而，‎ 所以直线斜率的取值范围是．‎ ‎（2）设，．‎ 由（1）知，，直线的方程为．‎ 令，得点的纵坐标为．‎ 同理得点的纵坐标为．‎ 由，得，．‎ ‎，‎ 所以为定值．‎ ‎20．【答案】（1）；（2）最大值为4；（3）答案见解析．‎ ‎【解析】（1）因为，，所以，‎ ‎．‎ ‎（2）设，则．‎ 由题意知，且为奇数，‎ 所以，，，中1的个数为1或3．‎ 所以．‎ 将上述集合中的元素分成如下四组：，；，；，；，．‎ 经验证，对于每组中两个元素，均有．‎ 所以每组中的两个元素不可能同时是集合的元素．‎ 所以集合中元素的个数不超过4．‎ 又集合满足条件，‎ 所以集合中元素个数的最大值为4．‎ ‎（3）设，‎ ‎，则，‎ 对于中的不同元素，经验证，，‎ 所以中的两个元素不可能同时是集合的元素，‎ 所以中元素的个数不超过，‎ 取且，‎ 令，则集合的元素个数为，且满足条件．‎ 故是一个满足条件且元素个数最多的集合．‎