黑龙江省东南联合体2018-2019学年高二下学期期末考试数学（理）试题 含解析

黑龙江省东南联合体2018-2019学年高二下学期期末考试数学（理）试题 含解析

www.ks5u.com ‎2018-2019学年度下学期龙东南联合体期末联考 高二数学（理）试题 一、选择题（每小题5分，共60分）‎ ‎1.已知复数,则的共轭复数()‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 对复数进行化简，然后得到，再求出共轭复数.‎ ‎【详解】因为，‎ 所以，‎ 所以的共轭复数 故选A项.‎ ‎【点睛】本题考查复数的四则运算，共轭复数的概念，属于简单题.‎ ‎2.已知集合，则（）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用对数函数的单调性对集合化简得x|0＜x＜1}，然后求出A∩B即可．‎ 详解】＝{x|0＜x＜2}，‎ ‎∴A∩B＝{1}，‎ 故选：C ‎【点睛】考查对数不等式的解法，以及集合的交集及其运算．‎ ‎3.指数函数是增函数，而是指数函数，所以是增函数，关于上面推理正确的说法是（ ）‎ A. 推理的形式错误 B. 大前提是错误的 C. 小前提是错误的 D. 结论是真确的 ‎【答案】B ‎【解析】‎ 分析: 指数函数是R上的增函数，这个说法是错误的，要根据所给的底数的取值不同分类说出函数的不同单调性，有演绎推理的定义可知，大前提错误。‎ 详解：指数函数是R上的增函数，这个说法是错误的，‎ 若,则是增函数，若,则是减函数 所以大前提是错误的。‎ 所以B选项是正确的。‎ 点睛：本题主要考查指数函数的单调性和演绎推理，意在考查三段论的推理形式和指数函数的图像性质，属于基础题。‎ ‎4.已知 ，，，则它们的大小关系是 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 由指数函数的性质可得 ，而，因此，即。选A。‎ ‎5.已知函数为奇函数,则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据奇函数性质,利用计算得到,再代入函数计算 ‎【详解】由函数表达式可知，函数在处有定义，则，，则，.故选A.‎ ‎【点睛】解决本题的关键是利用奇函数性质,简化了计算,快速得到答案.‎ ‎6.函数 的最小值为0，则m的取值范围是(　　)‎ A. (1，2) B. (－1，2)‎ C. [1，2) D. [－1，2)‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 化简函数为，根据函数单调性以及在时取得最小值0，求出的范围.‎ ‎【详解】函数在区间(－1，＋∞)上是减函数．‎ 当x＝2时，y＝0.‎ 根据题意x∈(m，n]时，.‎ 所以m的取值范围是－1＜m＜2，‎ 故选B.‎ ‎【点睛】该题所考查的是利用函数在某个区间上的最值，来确定区间对应的位置，涉及到的知识点有反比例型函数的单调性，确定最值在哪个点处取，从而求得对应的参数的取值范围，属于简单题目.‎ ‎7.若，，，则的大小关系为()‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用微积分基本定理，计算出的值，由此比较出三者大小关系.‎ ‎【详解】依题意，，故，所以选B.‎ ‎【点睛】本小题主要考查微积分基本定理计算定积分，属于基础题.‎ ‎8.若函数f（x）=（k-1）ax-a-x（a＞0，a≠1）在R上既是奇函数，又是减函数，则g（x）=loga（x+k）的图象是（　　）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据函数是一个奇函数，函数在原点处有定义，得到函数的图象一定过原点，求出k的值，根据函数是一个减函数，得出底数的范围，得到结果．‎ ‎【详解】∵函数f（x）＝（k﹣1）ax﹣a﹣x（a＞0，a≠1）在R上是奇函数，‎ ‎∴f（0）＝0‎ ‎∴k＝2，‎ 又∵f（x）＝ax﹣a﹣x为减函数，‎ 所以1＞a＞0，‎ 所以g（x）＝loga（x+2），‎ 定义域为，且递减，‎ 故选A.‎ ‎【点睛】本题考查函数奇偶性和单调性，即对数函数的性质，本题解题的关键是看出题目中所出现的两个函数性质的应用．‎ ‎9.若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【详解】试题分析：，∵函数在区间单调递增，∴在区间上恒成立．∴，而在区间上单调递减，∴．∴的取值范围是．故选：D．‎ 考点：利用导数研究函数的单调性.‎ ‎10.若函数是定义在R上的偶函数,在上是减函数,且,则使得的的取值范围是()‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由是定义在R上的偶函数，且在上是减函数，，得到在上是增函数，，从而根据单调性和零点，得到的解集.‎ ‎【详解】是定义在R上的偶函数，‎ 因为在上是减函数 所以在上是增函数，‎ 因为，‎ 所以 所以的解集为 故选B项。‎ ‎【点睛】本题考查函数的奇偶性，单调性，零点，根据函数的基本性质求不等式的解集，属于简单题.‎ ‎11.定义在上的偶函数满足，当时，，设函数，则函数与的图像所有交点的横坐标之和为（）‎ A. 2 B. 4 C. 6 D. 8‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据f（x）的周期和对称性得出函数图象，根据图象和对称轴得出交点个数．‎ ‎【详解】∵f（x+1）＝﹣f（x），‎ ‎∴f（x+2）＝﹣f（x+1）＝f（x），‎ ‎∴f（x）的周期为2．‎ ‎∴f（1﹣x）＝f（x﹣1）＝f（x+1），‎ 故f（x）的图象关于直线x＝1对称．‎ 又g（x）＝（）|x﹣1|（﹣1＜x＜3）的图象关于直线x＝1对称，‎ 作出f（x）的函数图象如图所示：‎ 由图象可知两函数图象在（﹣1，3）上共有4个交点，‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】本题考查了函数图象变换，考查了函数对称性、周期性的判断及应用，考查了函数与方程的思想及数形结合思想，属于中档题．‎ ‎12.如图，已知直线与曲线相切于两点，函数 ，则函数（ ）‎ A. 有极小值，没有极大值 B. 有极大值，没有极小值 C. 至少有两个极小值和一个极大值 D. 至少有一个极小值和两个极大值 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据导数的几何意义，讨论直线与曲线在切点两侧的导数与的大小关系，从而得出的单调区间，结合极值的定义，即可得出结论。‎ ‎【详解】‎ 如图，由图像可知，当时，单调递增，所以有且。‎ 对于=，‎ 有，所以在时单调递减；‎ 当时，单调递减，所以有且。‎ 有，所以在时单调递增；‎ 所以是的极小值点。‎ 同样的方法可以得到是的极小值点，是的极大值点。故答案选C。‎ ‎【点睛】本题主要考查函数导数的几何意义，函数导数与单调性，与函数极值之间的关系，属于基础题。‎ 二、填空题（每小题5分，共计20分）‎ ‎13.已知命题，，则为________.‎ ‎【答案】，‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据特称命题“∃x∈A，p（A）”的否定是“∀x∈A，非p（A）”求解 ‎【详解】命题，，为特称命题 故为，‎ 故答案为，‎ ‎【点睛】本题考查的知识点是命题的否定，其中熟练掌握特称命题的否定方法“∃x∈A，p（A）”的否定是“∀x∈A，非p（A）”，是解答本题的关键．‎ ‎14.幂函数的图像过点,则的减区间为__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设幂函数的解析式为，代入点，得到的值，得到的解析式和定义域，再写出的解析式，研究其定义域和单调区间，从而求出的减区间.‎ ‎【详解】设幂函数的解析式为 代入点，得，所以 所以幂函数为，定义域为，‎ 所以，则需要 即其定义域为或，‎ 而的对称轴为 所以其单调减区间为 所以的减区间为.‎ ‎【点睛】本题考查求幂函数的解析式，求具体函数的单调区间，属于简单题.‎ ‎15.极坐标系中，曲线上的点到直线的距离的最大值是 .‎ ‎【答案】7‎ ‎【解析】‎ 试题分析：由线方程化为：，即，化为：，圆心坐标为（－2,0），半径为r＝2，直线方程化为：－8＝0，圆心到直线的距离为：‎ ‎＝5，所以，最大距离为：5＋2＝7.‎ 考点：1、极坐标方程化为普通方程；2、点到直线的距离.‎ ‎16.函数，对任意，恒有，则的最小值为________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎∵，‎ ‎∴，‎ ‎∴当时，单调递减；当时，单调递增。‎ ‎∴当时，有最大值，且。‎ 又，‎ ‎∴。‎ 由题意得等价于。‎ ‎∴的最小值为。‎ 答案：‎ 三、解答题（共六题70分）‎ ‎17.已知为实数．‎ ‎（1）若，求；‎ ‎（2）若，求，的值．‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 把代入计算的值，再求；第二步把代入，整理后利用复数相等列方程求出的值.‎ ‎【详解】（1） ‎ ‎，；‎ ‎（2）, ‎ ‎ ，‎ ‎ ‎ ‎， ‎ ‎，，‎ 故.‎ ‎18.如图，已知四边形ABCD与四边形BDEF均为菱形，，且 求证：平面BDEF；‎ 求二面角的余弦值．‎ ‎【答案】（1）见证明；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设AC、BD交于点O，连结OF、DF，推导出，，，由此能证明平面BDEF．‎ 以OA为x轴，OB为y轴，OF为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角的余弦值．‎ ‎【详解】设AC、BD交于点O，连结OF、DF，‎ 四边形ABCD与四边形BDEF均为菱形，，且，‎ ‎，，，‎ 四边形ABCD与四边形BDEF均为菱形，‎ ‎，‎ ‎，平面BDEF．‎ ‎，，平面ABCD，‎ 以OA为x轴，OB为y轴，OF为z轴，建立空间直角坐标系，‎ 设，则0，，0，，1，，0，，‎ ‎，1，，‎ ‎，‎ 设平面ABF的法向量y，，‎ 则，取，得，‎ 设平面BCF的法向量y，，‎ 则，取，得，‎ 设二面角的平面角为，由图可知为钝角 则．‎ 二面角的余弦值为．‎ ‎【点睛】本题考查线面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查二面角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．‎ ‎19.为了调查中学生每天玩游戏的时间是否与性别有关，随机抽取了男、女学生各50人进行调查，根据其日均玩游戏的时间绘制了如下的频率分布直方图.‎ ‎（1）求所调查学生日均玩游戏时间在分钟的人数；‎ ‎（2）将日均玩游戏时间不低于60分钟的学生称为“游戏迷”，已知“游戏迷”中女生有6人；‎ ‎①根据已知条件，完成下面的列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“游戏迷”和性别关系；‎ 非游戏迷 游戏迷 合计 男 女 合计 ‎②在所抽取的“游戏迷”中按照分层抽样的方法抽取10人，再在这10人中任取9人进行心理干预，求这9人中男生全被抽中的概率.‎ 附：（其中为样本容量）.‎ ‎0.15‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0025‎ ‎0.010‎ ‎2.072‎ ‎2706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎【答案】（1）人（2）①填表见解析，能在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“游戏迷”和性别有关.②‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）计算日均玩游戏时间在分钟的频率,再乘以总人数即可; （2）①计算 “游戏迷”有人，由于“游戏迷”中女生有6人，得男生有14人,即可列表,计算观测值，对照临界值得出结论；②利用古典概型求解即可 ‎【详解】（1）日均玩游戏时间在分钟的频率为，‎ 所以，所调查学生日均玩游戏时间在分钟的人数为.‎ ‎（2）“游戏迷”的频率为，‎ 共有“游戏迷”人，由于“游戏迷”中女生有6人，故男生有14人.‎ ‎①根据男、女学生各有50人，得列联表如下：‎ 非游戏迷 游戏迷 合计 男 ‎36‎ ‎14‎ ‎50‎ 女 ‎44‎ ‎6‎ ‎50‎ 合计 ‎80‎ ‎20‎ ‎100‎ ‎.‎ 故能在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“游戏迷”和性别有关.‎ ‎②“游戏迷”中女生有6人，男生有14人，按照分层抽样的方法抽取10人，则女生有3人，男生有7人.‎ 从中任取9人，只剩1人，则共有 10种基本情况，记这9人中男生全被抽中为事件A，则有两名女生被选中,共有种基本情况，‎ 因此所求事件A的概率.‎ ‎【点睛】本题考查了列联表与独立性检验的应用问题，也考查了频率分布直方图与古典概型的概率计算问题，是基础题．‎ ‎20.已知椭圆的焦距为2，左右焦点分别为，以原点为圆心，以椭圆的短半轴长为半径的圆与直线相切．‎ ‎(1)求椭圆的方程；‎ ‎(2)设不过原点的直线与椭圆C交于两点,若直线与的斜率分别为，且，求证：直线过定点，并求出该定点的坐标；‎ ‎【答案】（1）（2）线恒过定点，详见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据焦距得到，根据圆心到直线的距离得到，由得到，从而得到椭圆方程；（2）直线，联立得到，然后表示，代入韦达定理，得到和的关系，从而得到直线过的定点.‎ ‎【详解】(1)由题意可得，即，‎ 由直线与圆相切，‎ 可得，解得，‎ 即有椭圆的方程为；‎ ‎(2)证明：设，‎ 将直线代入椭圆，‎ 可得，‎ 即有，‎ ‎，‎ 由，‎ 即有，‎ 代入韦达定理，可得，‎ 化简可得，‎ 则直线的方程为，即，‎ 故直线恒过定点；‎ ‎【点睛】本题考查求椭圆方程，直线与椭圆的关系，椭圆中的定点问题，属于中档题.‎ ‎21.已知，．‎ ‎（1）如果函数的单调递减区间为，求函数的解析式；‎ ‎（2）在（1）的条件下，求函数的图象在点处的切线方程；‎ ‎（3）若不等式恒成立，求实数a的取值范围．‎ ‎【答案】（1）（2）（3）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）求g（x）的导数，利用函数g（x）单调减区间为（，1），即是方程g'（x）＝0的两个根．然后解a即可．（2）利用导数的几何意义求切线方程．（3）将不等式2f（x）≥g′（x）+2成立，转化为含参问题恒成立，然后利用导数求函数的最值即可．‎ ‎【详解】（1）由题意的解集是：‎ 即的两根分别是，1．‎ 将或代入方程得．∴．‎ ‎（2）由（1）知：，∴，‎ ‎∴点处的切线斜率，‎ ‎∴函数的图象在点处的切线方程为：，即．‎ ‎（3）∵，即：对上恒成立 可得对上恒成立 设，则 令，得或（舍）‎ 当时，；当时，‎ ‎∴当时，取得最大值∴．的取值范围是．‎ ‎【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的性质，要求熟练掌握导数和函数单调性，最值之间的关系，考查学生的运算能力．对含有参数恒成立问题，则需要转化为最值恒成立．‎ 选修部分：二选一（本题10分）‎ ‎22.在平面直角坐标系xOy中，曲线M的参数方程为（t为参数，且t＞0），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为ρ＝4cosθ．‎ ‎（1）将曲线M的参数方程化为普通方程，并将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程；‎ ‎（2）求曲线M与曲线C交点的极坐标（ρ≥0，0≤θ＜2π）．‎ ‎【答案】（1）曲线的普通方程为（或）曲线的直角坐标方程为.（2）交点极坐标为.‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】（1）先求出，再代入消元将曲线的参数方程化为普通方程，根据将，，.曲线的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）先求曲线与曲线交点的直角坐标，再化为极坐标.‎ ‎（1）∵，∴，即，‎ 又，∴，∴或，‎ ‎∴曲线的普通方程为（或）.‎ ‎∵，∴，∴，即曲线的直角坐标方程为.‎ ‎（2）由得，‎ ‎∴（舍去），，‎ 则交点的直角坐标为，极坐标为.‎ ‎【点睛】本题考查曲线的普通方程、直角坐标方程的求法，考查两曲线交点的极坐标的求法，考查直角坐标方程、极坐标方程、参数方程的互化等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．‎ ‎23.已知 ‎(1)当时，求不等式解集；‎ ‎(2)若时，，求的取值范围.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）当时，对按和进行讨论，分别求出解集，再得到答案；（2）根据条件，对进行分类，按照和两种情况进行讨论，分别判断其是否成立，得到答案.‎ ‎【详解】(1).当时，.‎ 当时，，恒成立，所以 当时，，恒成立，所以 所以，不等式的解集为.‎ ‎(2)当时，时，‎ 当时，，，不满足题意.‎ 所以，的取值范围是.‎ ‎【点睛】本题考查绝对值不等式的解法，考查分类讨论的思想解决问题，属于中档题.‎ ‎ ‎