山西省长治市长子县第一中学2020届高三下学期拓展练习数学（理）
函数、导数与不等式
一、选择题
1.(考点:集合与不等式,★)已知集合A={x|2x>x2},B=xx+1<53,则A∪B=( ).
A.0,23 B.(-∞,2) C.(0,+∞) D.23,2
【解析】因为A=(0,2),B=-∞,23,所以A∪B=(-∞,2).故选B.
【答案】B
2.(考点:函数的零点,★)下列函数中是奇函数且有零点的是( ).
A.f(x)=x+|x| B.f(x)=x-1+x
C.f(x)=1x+tan x D.f(x)=sinx+π2
【解析】依据函数的奇偶性可排除A、D,依据函数是否有零点可排除B,故选C.
【答案】C
3.(考点:定积分,★)已知汽车运动的速度v(单位:m/s)与时间t(单位:s)之间的关系式为v=3t+2,则汽车在第1 s至第2 s之间的1 s内经过的路程是( ).
A.5 m B.112 m C.6 m D.132 m
【解析】所求路程S=12 (3t+2)dt=3t22+2t 2 1=6+4-32-2=132(m),故选D.
【答案】D
4.(考点:线性规划,★★)已知实数x,y满足x≤1,y≤x+1,y≥1-x,则目标函数z=x2+y2的最大值与最小值之和为( ).
A.5 B.112 C.6 D.7
【解析】
画出实数x,y满足的可行域,如图所示,目标函数z=x2+y2的几何意义为坐标原点O与可行域内点的距离的平方.
由图可知,坐标原点O到直线x+y-1=0的距离为点O与可行域内点的距离的最小值,最小值为22,可行域内的点B(1,2)与坐标原点O的距离最大,最大值为22+12=5.
故目标函数z=x2+y2的最大值与最小值之和为5+12=112.故选B.
【答案】B
5.(考点:函数的奇偶性,★★)已知函数y=f(x)是奇函数,当x>0时,f(x)=log2x,则f(x-1)<0的解集是( ).
A.(-∞,0)∪(1,2) B.(-1,0)∪(0,1)
C.(1,2) D.(-∞,-1)∪(0,1)
【解析】由题意知,当x>0时,令f(x)<0,即log2x<0,解得0
b)的图象如图所示,则函数g(x)=loga(x-b)的图象大致是( ).
【解析】结合二次函数的图象可知,a>1,-1b>a B.c>a>b C.b>a>c D.a>b>c
【解析】a=log23>log22=1,b=log47>log44=1,0<0.74<1,故c是最小的.因为log47=12log27=log27-1时,f(t)min=f(a)=a2+3a+1,则a2+3a+1≥0,解得a≥5-32.
综上所述,实数a的取值范围为5-32,+∞.故选B.
【答案】B
9.(考点:函数的零点,★★★)若关于x的方程2019|x-1|+asin(x-1)+a=0只有一个实数解,则实数a的值为( ).
A.-1 B.0 C.1 D.2
【解析】令t=x-1,则关于x的方程2019|x-1|+asin(x-1)+a=0只有一个实数解,等价于关于t的方程2019|t|+asin t+a=0只有一个实数解.
若a≥0,则由sin t≥-1及y=2019t为增函数,得2019|t|+asin t+a≥20190-a+a=1>0,方程无解,故a<0.
令f(t)=2019|t|+a,g(t)=-asin t,则f(t)在t=0处取得最小值,最小值为1+a,函数y=g(t)的图象关于点(0,0)对称.
当a=-1时,两函数y=f(t),y=g(t)的图象有且只有一个交点,满足题意;
当a<-1时,两函数y=f(t),y=g(t)的图象有两个交点,不合题意;
当-10,x3=0,满足x1f(x)cos x,且f(x)+f(-x)=0,设a=2fπ6,b=2fπ4,c=-f-π2,则( ).
A.a0,所以函数g(x)在(0,π)上单调递增.因为f(x)+f(-x)=0,即f(x)=-f(-x),g(x)=f(x)sinx,所以g(-x)=f(-x)-sinx =f(x)sinx,所以函数g(x)是偶函数.因为函数g(x)在(0,π)上单调递增,所以gπ60,函数f(x)在(0,2)上单调递增;当x∈(2,+∞)时,f'(x)<0,函数f(x)在(2,+∞)上单调递减.
所以当x=2时,函数f(x)取得极大值,极大值为f(2)=4e2.
因为f(0)=0,当x→+∞时,f(x)→0,所以函数f(x)在(0,+∞)上的值域为0,4e2.
因为g(x)=-13x3+2x2-3x+c,所以g'(x)=-x2+4x-3,所以当x∈[1,3]时,g'(x)≥0,函数g(x)在[1,3]上单调递增,所以函数g(x)在[1,3]上的值域为c-43,c.
要使函数g(x)在x∈[1,3]上的值域包含函数f(x)在x∈(0,+∞)上的值域,
需满足4e2≤c,0≥-43+c,解得4e2≤c≤43.故选B.
【答案】B
二、填空题
13.(考点:导数与切线,★)若函数f(x)=ln x与g(x)=x2+ax的图象有一条与直线y=x平行的公共切线,则实数a= .
【解析】设在函数f(x)=ln x的图象上的切点为(x,y),根据导数的几何意义得到k=1x=1,则x=1,故切点为(1,0),可求出切线方程为y=x-1.又因为直线y=x-1与函数g(x)=x2+ax的图象也相切,所以方程x2+ax=x-1只有一个解,化简得到x2+(a-1)x+1=0,所以Δ=(a-1)2-4=0,解得a=-1或a=3.
【答案】3或-1
14.(考点:函数的单调性,★★)已知函数f(x)=ex-1+e1-x,则满足不等式f(x)0},B={x|a0}={x|x<3或x>5},B={x|a0,则sin xa2>a3”是“等比数列{an}是递减数列”的充要条件.
其中为真命题的是( ).
A.p1,p3 B.p2,p3 C.p2,p4 D.p3,p4
【解析】对于p1,当a=-1,b=1时,满足a0,则f(x)a2>a3,则a1>a1q>a1q2,若a1>0,则1>q>q2,得01,此时ana>c B.c>a>b C.a>b>c D.a>c>b
【解析】因为函数y=f(x-1)的图象关于点(1,0)对称,所以函数f(x)是奇函数.
构造函数g(x)=xf(x),则当x∈(0,+∞)时,g'(x)=f(x)+xf'(x)<0,故函数g(x)在(0,+∞)上单调递减.
a=20.2·f(20.2)=g(20.2),b=ln 2·f(ln 2)=g(ln 2),c=log124·flog124=-2f(-2)=-2×[-f(2)]=2f(2)=g(2).
因为2>20.2>ln 2>0,函数g(x)在(0,+∞)上单调递减,所以g(2)4 B.ab>4
C.(a-1)2+(b-1)2>2 D.a2+b2<8
【解析】由3a=5b=15,可得(3a)b=15b,(5b)a=15a,
∴3ab=15b,5ab=15a,∴3ab·5ab=15b·15a,即15ab=15a+b,∴a+b=ab.
又∵a,b为不相等的正数,∴a+b>2ab,
∴ab>2ab,即ab>4.故A,B正确.
(a-1)2+(b-1)2>2等价于a2+b2>2(a+b),又a2+b2>2ab,且a+b=ab,故C正确.
a2+b2>2ab,ab>4,∴a2+b2>8,故D错误.
故选D.
【答案】D
6.(考点:函数图象的对称性,★★)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)=x2+3,x∈[0,1),3-x2,x∈[-1,0),且f(x+2)=f(x),g(x)=3x+7x+2,则方程f(x)=g(x)在区间[-5,1]上的所有实数根之和为( ).
A.-10 B.-9 C.-8 D.-7
【解析】由题意知,f(x)是以2为最小正周期的周期函数,g(x)=3x+7x+2=3+1x+2.
作出函数f(x)与g(x)的图象,
如图所示,两个函数的图象都关于点(-2,3)对称,由图象可得y=f(x)和y=g(x)的图象在区间[-5,1]上有3个交点,各交点的横坐标之和为-3+(-2)×2=-7,即方程f(x)=g(x)在区间[-5,1]上的所有实数根之和为-7.故选D.
【答案】D
7.(考点:线性规划,★★)已知M(-4,0),N(0,4),设点P的坐标为(x,y),且x,y满足x≤0,y≥0,3x-4y+12≥0,则MP·NP的最小值为( ).
A.-19625 B.425 C.25 D.-5
【解析】
作出可行域,如图所示.
∵MP=(x+4,y),NP=(x,y-4),
∴MP·NP=x2+4x+y2-4y=(x+2)2+(y-2)2-8,∴MP·NP的最小值为点(-2,2)与可行域内点的距离的平方的最小值再减去8.
由图象可知,点A(-2,2)与可行域内点的最短距离为其到直线3x-4y+12=0的距离d,
且d=|3×(-2)-4×2+12|32+42=25,
∴(MP·NP)min=252-8=425-20025=-19625.
【答案】A
8.(考点:切线与最值问题,★★★)已知a>0,曲线f(x)=3x2-4ax与g(x)=2a2ln x-b有公共点,且在公共点处的切线相同,则实数b的最小值为( ).
A.0 B.-1e2 C.-2e2 D.-4e2
【解析】由f(x)=3x2-4ax,得f'(x)=6x-4a,由g(x)=2a2ln x-b,得g'(x)=2a2x.
设两曲线的公共点为P(x0,y0),x0>0,
因为两曲线在公共点处的切线相同,所以6x0-4a=2a2x0,y0=3x02-4ax0,y0=2a2ln x0-b,
由6x0-4a=2a2x0,解得x0=a或x0=-a3,又a>0,所以x0=a,消去y0得b=2a2ln a+a2.
设b=h(a)=2a2ln a+a2,则h'(a)=4aln a+4a,令h'(a)=0,解得a=1e.当a>1e时,h'(a)>0,故函数h(a)在1e,+∞上单调递增;当02;②ln 2>23;③ln ππ<1e;④ln22>lnππ.
A.1 B.2 C.3 D.4
【解析】对于①,设f(x)=eln x-x,x>0,则f'(x)=ex-1=e-xx.
当00,函数f(x)在(0,e)上单调递增,
当x>e时,f'(x)<0,函数f(x)在(e,+∞)上单调递减,
∴f(x)eln 2,∴e2e>2,故①正确.
对于②,∵8>e2,∴ln 8>ln e2,∴3ln 2>2,即ln 2>23,故②正确.
对于③,设g(x)=lnxx,则g'(x)=1-lnxx2,
当00,故函数g(x)在(0,e)上单调递增,
当x>e时,g'(x)<0,故函数g(x)在(e,+∞)上单调递减,
∵e<π,∴g(e)>g(π),即ln ππ<1e,故③正确.
对于④,∵2π<π2,∴ln 2π0;当x∈(6,+∞)时,g'(x)<0.所以函数g(x)在(0,6)上单调递增,在(6,+∞)上单调递减,所以g(x)max=g(6)=6+6ln 6.
所以实数b的取值范围是[6+6ln 6,+∞).故选B.
【答案】B
12.(考点:分段函数的零点,★★★)已知函数f(x)=ex,x<0,4x3-6x2+1,x≥0,其中e为自然对数的底数,则函数g(x)=3[f(x)]2-10f(x)+3的零点个数为( ).
A.4 B.5 C.6 D.3
【解析】
当x≥0时,f(x)=4x3-6x2+1的导函数为f'(x)=12x2-12x,
当01时,f'(x)>0,所以函数f(x)在(1,+∞)上单调递增.
可得f(x)在x=1处取得极小值,也为最小值,最小值为-1,且f(0)=1,
故可作出函数f(x)的图象,如图所示.
g(x)=3[f(x)]2-10f(x)+3,可令g(x)=0,t=f(x),
则3t2-10t+3=0,解得t=3或t=13.
当t=13,即f(x)=13时,函数g(x)有3个零点;
当t=3,即f(x)=3时,函数g(x)有1个零点.
综上所述,函数g(x)共有4个零点.故选A.
【答案】A
二、填空题
13.(考点:导数的几何意义,★★)设点P在曲线y=ln x上,点R在直线y=x上,则|PR|的最小值为 .
【解析】由题意知,函数y=ln x的导函数为y'=1x,设曲线y=ln x与直线y=x的平行线相切的切点为(m,n),则1m=1,即m=1,可得切点为(1,0),此时|PR|的最小值为|1-0|2=22.
【答案】22
14.(考点:函数的单调性与值域,★★)已知a∈Z,若∀m∈(0,e),∃x1,x2∈(0,e)且x1≠x2,使得(m-2)2+3=ax1-ln x1=ax2-ln x2,则满足条件的实数a的取值个数为 .
【解析】因为m∈(0,e),所以y=(m-2)2+3∈[3,5).
由题意得函数f(x)=ax-ln x在(0,e)上不单调,
因为f'(x)=a-1x,令f'(x)=0,得x=1a,所以0<1a1e.
当x∈0,1a时,f'(x)<0,f(x)∈(1+ln a,+∞);当x∈1a,e时,f'(x)>0,f(x)∈(1+ln a,ae-1).
因此1+lna<3,ae-1≥5,解得6e≤af(x1)+f(x2)恒成立,则实数λ的取值范围是 .
【解析】f'(x)=2ax-2+1x=2ax2-2x+1x,令h(x)=2ax2-2x+1,x>0.
要使得f(x)存在两个不同的极值点x1,x2,则要求方程h(x)=0有两个不同的正实数根,则x1+x2=22a>0,x1x2=12a>0,Δ=4-8a>0,解得00,所以g(a)在0,12上单调递增,故g(a)0),若t<1,则f(t)=-t3+t2,由OA⊥OB,可得 OA·OB=0,即-t2+(t3+t2)(-t3+t2)=0,方程无解;若t=1,显然不满足OA⊥OB;若t>1,则f(t)=alntt(t+1),由OA·OB=0,得-t2+(t3+t2)·alntt(t+1)=0,即a=tlnt.令g(t)=tlnt(t>1),则g'(t)=lnt-1(lnt)2,所以函数g(t)在(1,e)上单调递减,在(e,+∞)上单调递增.故函数g(t)在t=e处取得极小值,也是最小值,最小值为elne=e,所以函数g(t)在(1,+∞)上的值域为[e,+∞),故a∈[e,+∞).
【答案】[e,+∞)
三角函数、平面向量
与解三角形(A)
一、选择题
1.(考点:三角函数值符号的判断,★)点A(sin 2020°,cos 2020°)在直角坐标平面上位于( ).
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
【解析】由2020°=360°×5+(180°+40°)可知,2020°角的终边在第三象限,所以sin 2020°<0,cos 2020°<0,即点A位于第三象限.
【答案】C
2.(考点:三角函数的图象变换,★)要得到函数y=cos(2x-1)的图象,只要将函数y=cos 2x的图象( ).
A.向左平移1个单位长度 B.向右平移1个单位长度
C.向左平移12个单位长度 D.向右平移12个单位长度
【解析】∵y=cos(2x-1)=cos2x-12,∴只要将函数y=cos 2x的图象向右平移12个单位长度即可.
【答案】D
3.(考点:解三角形,★)在锐角△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若2csin A=2a,则角C等于( ).
A.π12 B.π6 C.π4 D.π3
【解析】由已知及正弦定理得2sin Asin C=2sin A,因为sin A>0,所以sin C=22.又C∈0,π2,所以C=π4.
【答案】C
4.(考点:三角函数的周期与三角恒等变换,★)函数f(x)=cos x(cos x-sin x)的最小正周期是( ).
A.π4 B.π2 C.π D.2π
【解析】∵f(x)=cos x(cos x-sin x)=cos2x-sin xcos x=1+cos2x2-12sin 2x=12-12sin2x-cos2x=12-22sin2x-π4,∴最小正周期T=2π2=π.
【答案】C
5.(考点:向量共线与同角三角函数基本关系的综合,★)已知向量a=(cos α,-1),b=(sin α,1),且a∥b,则sin 2α等于( ).
A.1 B.-1 C.45 D.-45
【解析】由a∥b得cos α+sin α=0,∴sin2α+cos2α+2sin αcos α=0.又∵sin2α+cos2α=1,∴1+sin 2α=0,∴sin 2α=-1.
【答案】B
6.(考点:三角函数的单调区间,★)函数y=-cosx2+π3的单调递增区间是( ).
A.2kπ-23π,2kπ+43π(k∈Z) B.4kπ-43π,4kπ+23π(k∈Z)
C.2kπ+23π,2kπ+43π(k∈Z) D.4kπ-23π,4kπ+43π(k∈Z)
【解析】由2kπ≤x2+π3≤2kπ+π,k∈Z,得2kπ-π3≤x2≤2kπ+23π,k∈Z,即得4kπ-23π≤x≤4kπ+43π,k∈Z.
【答案】D
7.
(考点:解三角形,★★)如图所示,测量河对岸的塔高AB时可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D,测得∠BCD=75°,∠BDC=45°,CD=30,并在点C测得塔顶A的仰角为60°,则塔高AB等于( ).
A.102 B.306
C.106 D.302
【解析】在△BCD中,∠CBD=180°-75°-45°=60°.由正弦定理得BCsin45°=30sin60°,所以BC=106.在Rt△ABC中,AB=BC·tan∠ACB=106×3=302.
【答案】D
8.(考点:诱导公式及三角恒等变换,★★)若sinπ3-α=13,则cosπ3+2α=( ).
A.-79 B.-13 C.13 D.79
【解析】因为π3-α+π6+α=π2,所以sinπ3-α=sinπ2-π6+α=cosπ6+α=13,
所以cosπ3+2α=cos2π6+α=2cos2π6+α-1=-79.
【答案】A
9.(考点:解三角形,★★)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,若2cos2(A+B)+3cos(A+B)+1=0,且cb=3,则该三角形为( ).
A.等边三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.等腰直角三角形
【解析】由2cos2(A+B)+3cos(A+B)+1=0,得2cos2C-3cos C+1=0,
解得cos C=12或cos C=1(舍去),∴C=60°.
又∵cb=3,∴sinCsinB=3,∴sin B=33sin C=33×32=12,即B=30°.
故A=180°-C-B=90°.
【答案】B
10.(考点:解三角形、三角恒等变换与向量的综合应用,★★)设△ABC的三个内角为A,B,C,向量m=(2sin A,sin B),n=(cos B,2cos A),若m·n=2+2cos(A+B),则C等于( ).
A.π6 B.π3 C.2π3 D.π2
【解析】依题意得2sin Acos B+2cos Asin B=2+2cos(A+B),即2sin(A+B)=2+2cos(A+B),则2sin C+2cos C=2,则2sinC+π4=1,即sinC+π4=22.
又π40)在0,π3上单调递增,且在这个区间上的最大值是32,则ω= .
【解析】因为f(x)=sin ωx(ω>0)在0,π3上单调递增,且在这个区间上的最大值是32,所以sinπ3ω=32,且0<π3ω≤π2,所以π3ω=π3,即ω=1.
【答案】1
15.(考点:三角恒等变换及三角函数的值域,★★)已知函数f(x)=2-(3sin x-cos x)2,则函数f(x)在区间-π6,π3上的值域为 .
【解析】因为f(x)=2-(3sin x-cos x)2=2-(3sin2x+cos2x-23sin xcos x)
=1-2sin2x+3sin 2x=cos 2x+3sin 2x=2sin2x+π6,
当x∈-π6,π3时,2x+π6∈-π6,5π6,
所以当x=-π6时,函数f(x)取得最小值-1;
当x=π6时,函数f(x)取得最大值2.
所以f(x)在区间-π6,π3上的值域为-1,2.
【答案】-1,2
16.(考点:向量与解三角形的综合应用,★★★)已知锐角三角形ABC的三个内角为A,B,C,其对应的边分别为a,b,c,若b=23,m=(cos B,cos C),n=(c-a,b),且m·n=acos B,则a+c的取值范围为 .
【解析】∵m=(cos B,cos C),n=(c-a,b),∴m·n=(c-a)cos B+bcos C.
又∵m·n=acos B,∴ccos B-acos B+bcos C=acos B,
∴sin Ccos B+sin Bcos C=2sin Acos B,即sin(B+C)=2sin Acos B,∴sin A=2sin Acos B.
∵A是锐角,∴sin A≠0,∴cos B=12.
∵B是锐角,∴B=π3,∴A+C=π-B=2π3.
由正弦定理得asinA=csinC=bsinB=23sinπ3=4,
∴a+c=4sin A+4sin C=4sin A+4sin2π3-A
=4sin A+4sin2π3cosA-cos2π3sinA
=6sin A+23cos A=43sinA+π6.
∵三角形ABC是锐角三角形,∴C=2π3-A<π2,A<π2,∴π60,ω>0,|φ|<π2的部分图象如图所示,为了得到g(x)=sinωx+2π3的图象,可以将f(x)的图象( ).
A.向右平移π6个单位长度
B.向右平移π3个单位长度
C.向左平移π6个单位长度
D.向左平移π3个单位长度
【解析】由图象可得A=1,∵T4=7π12-π3=π4,∴T=π=2πω,∴ω=2.又∵fπ3=0,|φ|<π2,∴解得φ=π3,则f(x)=sin2x+π3,g(x)=sin2x+2π3=sin2x+π6+π3,故将f(x)的图象向左平移π6个单位长度,可以得到g(x)的图象.
【答案】C
8.(考点:平面向量数量积的应用,★★)已知非零向量m,n满足2|m|=|n|,cos=14.若n⊥(t m+n),则实数t的值为( ).
A.4 B.-4 C.8 D.-8
【解析】∵n⊥(t m+n),∴n·(t m+n)=0,即t m·n+n2=0,∴t|m||n|cos+|n|2=0.
由已知得t×12|n|2×14+|n|2=0,解得t=-8.
【答案】D
9.(考点:三角函数的图象及性质,★★)已知函数f(x)=sinx+π3-m+32在[0,π]上有两个零点,则实数m的取值范围为( ).
A.[-3,2] B.3,1+32 C.3,1+32 D.[3,2]
【解析】
画出y=sinx+π3在[0,π]上的图象,如图所示.因为直线y=m-32与其有两个交点,所以32≤m-32<1,得3≤m<1+32,所以m∈3,1+32.
【答案】B
10.(考点:三角函数与平面向量的综合应用,★★★)已知函数f(x)=2sin2x+π3,x∈R.在锐角△ABC中,若f(A)=1,AB·AC=2,则△ABC的面积为( ).
A.2 B.22 C.22 D.24
【解析】∵f(x)=2sin2x+π3,∴在锐角△ABC中,有f(A)=2sin2A+π3=1.
∵00,cos α<0,sin α-cos α>0.
又∵(sin α-cos α)2=1-2sin αcos α=1--79=169,∴sin α-cos α=43.
∴sin3π2-α+cos3π2+α=cos3α-sin3α=(cos α-sin α)(cos2α+cos αsin α+sin2α)
=-43×1-718=-2227.
【答案】-2227
15.(考点:平面向量与解三角形的综合应用,★★)已知△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,向量m=(1,-2),n=(2cos A,sin A).若m⊥n,且acos B+bcos A=csin C,则角B= .
【解析】由m⊥n可得2cos A-2sin A=0,所以tan A=1,解得A=π4.由正弦定理及已知得sin Acos B+sin Bcos A=sin Csin C,所以sin(A+B)=sin2C,即sin C=sin2C,解得sin C=1,C=π2,所以B=π4.
【答案】π4
16.(考点:三角函数性质的综合应用,★★★)已知x0,x0+π2是函数f(x)=cos2ωx-π6-sin2ωx(ω>0)的两个相邻的零点.若对任意x∈-7π12,0,都有|f(x)-m|≤1,则实数m的取值范围为.
【解析】f(x)=1+cos2ωx-π32-1-cos2ωx2=12cos2ωx-π3+cos2ωx
=1212cos2ωx+32sin2ωx+cos2ωx=1232sin2ωx+32cos2ωx=32sin2ωx+π3.
由题意可知,f(x)的最小正周期T=π,∴2π|2ω|=π,
又ω>0,∴ω=1,∴f(x)=32sin2x+π3.
∵对任意x∈-7π12,0,都有|f(x)-m|≤1,即f(x)-1≤m≤f(x)+1,
∴当x∈-7π12,0时,m≥f(x)max-1且m≤f(x)min+1.
∵-7π12≤x≤0,∴-1≤sin2x+π3≤32,∴-14≤m≤1-32.
故实数m的取值范围为-14,1-32.
【答案】-14,1-32
数列、推理与证明(A)
一、选择题
1.(考点:通项公式,★)数列16,13,12,23,…的一个通项公式为( ).
A.an=1n B.an=n6 C.an=n3 D.an=n4
【解析】数列16,13,12,23,…可化为16,26,36,46,…,所以该数列的一个通项公式为an=n6,故选B.
【答案】B
2.(考点:等比中项,★)在等比数列{an}中,若a4a5a6=8,且a6=1,则公比q=( ).
A.-12 B.12 C.2 D.-2
【解析】在等比数列{an}中,a4a5a6=a53=8,则a5=2,又a6=1,故q=a6a5=12,故选B.
【答案】B
3.(考点:等比数列的基本运算,★)设正项等比数列{an}的前n项和为Sn,若S2=3,a3+a4=12,则公比q=( ).
A.5 B.4 C.3 D.2
【解析】由题意得a3+a4=12,a1+a2=3,即a1q2+a1q3=12,a1+a1q=3,解得q2=4.
又因为q>0,所以q=2.故选D.
【答案】D
4.(考点:等差数列,★★)已知等差数列{an}的各项均为正数,a1+a2+a3=12,a1·a2·a3=48,则数列{an}的通项公式为( ).
A.an=2n B.an=3n+2 C.an=3n-2 D.an=-2n+8
【解析】设等差数列{an}的公差为d,
由a1+a2+a3=12,可得3a2=12,即a2=4.
∵a1·a2·a3=48,∴a1·a3=12.
又a1+a3=8,∴a1,a3是方程x2-8x+12=0的两个根.
又等差数列{an}的各项均为正数,∴a1=2,a3=6,∴d=2.
故数列{an}的通项公式为an=2+2(n-1)=2n.故选A.
【答案】A
5.(考点:等差数列的性质,★★)在等差数列{an}中,若a1+a4+a8+a12+a15=120,则a9-13a11的值是( ).
A.18 B.17 C.16 D.15
【解析】由a1+a4+a8+a12+a15=120,得5a8=120,即a8=24,
所以a9-13a11=13(3a9-a11)=13(a9+a7+a11-a11)=13(a9+a7)=23a8=23×24=16.
故选C.
【答案】C
6.(考点:等差数列的应用,★★)《周髀算经》中记录了一个问题:从冬至之日起,小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影长依次成等差数列,若冬至、立春、春分的日影长的和是37.5尺,芒种的日影长为4.5尺,则冬至的日影长为( ).
A.8.5尺 B.10.5尺 C.12.5尺 D.15.5尺
【解析】从冬至起,各节气的日影长依次记为a1,a2,a3,…,a12,根据题意,有a1+a4+a7=37.5,即3a4=37.5,解得a4=12.5.
又a12=4.5,设等差数列的公差为d,则有a1+3d=12.5,a1+11d=4.5,解得a1=15.5,d=-1,
所以冬至的日影长为15.5尺.故选D.
【答案】D
7.(考点:数列的综合应用,★★)设等差数列{an}的公差为d,若a1+1,a2+1,a4+1成以d为公比的等比数列,则d=( ).
A.2 B.4 C.6 D.8
【解析】将a1+1,a2+1,a4+1转化为a1+1,a1+1+d,a1+1+3d,
因为这三个数成以d为公比的等比数列,所以a1+1+da1+1=d,a1+1+3da1+1+d=d,且d≠0,
根据两式相等,化简得a1+1=d,代入a1+1+da1+1=d,得2dd=2=d.故选A.
【答案】A
8.(考点:数学归纳法,★★)用数学归纳法证明1+2+3+…+n2=n4+n22,则当n=k+1时,等式左端为( ).
A.1+2+…+k2+k2+1
B.1+2+…+k2+(k+1)2
C.1+2+…+k2+k2+1+k2+2+…+(k+1)2
D.1+2+…+k2+k2+1+(k+1)2
【解析】因为当n=k时,等式左端为1+2+…+k2,
所以当n=k+1时,等式左端为1+2+…+k2+(k2+1)+(k2+2)+…+(k+1)2.故选C.
【答案】C
9.(考点:等比数列的性质,★★)已知等比数列{an}的各项均为正数,向量a=(a4,a5),b=(a7,a6),且a·b=4,则log2a1+log2a2+…+log2a10=( ).
A.12 B.10 C.5 D.2+log25
【解析】∵a·b=4,∴a4a7+a5a6=4,由等比数列的性质,可得a4a7=a5a6=2,则log2a1+log2a2+…+log2a10=log2(a1·a2·…·a10)=log225=5.故选C.
【答案】C
10.(考点:数列求和,★★)已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,a2=2,且对于任意n≥2,n∈N*,满足Sn+1+Sn-1=2(Sn+1),则S10的值为( ).
A.91 B.93 C.96 D.100
【解析】∵对于任意n≥2,n∈N*,满足Sn+1+Sn-1=2(Sn+1),
∴Sn+1-Sn=Sn-Sn-1+2,∴an+1-an=2.
∴数列{an}从第二项起是公差为2的等差数列.
又∵a1=1,a2=2,
∴S10=1+9×2+9×82×2=91.故选A.
【答案】A
11.(考点:数列中的最值问题,★★★)设Sn为等差数列{an}的前n项和,若a7=5,S5=-55,则当nSn取得最小值时,n的值为( ).
A.7 B.6 C.5 D.4
【解析】设等差数列{an}的公差为d.∵a7=5,S5=-55,∴a1+6d=5,5(a1+2d)=-55,解得a1=-19,d=4,∴Sn=-19n+n(n-1)2×4=2n2-21n,∴nSn=2n3-21n2.设f(x)=2x3-21x2(x>0),则f'(x)=6x(x-7),当07时,f'(x)>0,f(x)单调递增.故当n=7时,nSn取得最小值.故选A.
【答案】A
12.(考点:类比推理,★★★)斐波纳契数列,又称黄金分割数列,指的是这样一个数列:1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,….在数学上,斐波纳契数列{an}定义为a1=1,a2=1,an+2=an+an+1.斐波纳契数列有种看起来很神奇的巧合,如根据an+2=an+an+1,可得an=an+2-an+1,所以a1+a2+…+an=(a3-a2)+(a4-a3)+…+(an+2-an+1)=an+2-a2=an+2-1.类比这一方法,可得a12+a22+…+a102=( ).
A.4896 B.4895 C.1870 D.2880
【解析】根据题意,数列{an}满足an=an+2-an+1,即an+1=an+2-an,
两边同乘以an+1,可得an+12=an+2an+1-an+1an,
则a12+a22+…+a102=a12+(a2a3-a2a1)+(a3a4-a2a3)+…+(a10a11-a9a10)=1-a2a1+a10a11=1-1×1+55×89=4895.故选B.
【答案】B
二、填空题
13.(考点:等差数列,★★)已知{an}为等差数列,a1+a3+a5=105,a2+a4+a6=99,则a20= .
【解析】∵a1+a3+a5=3a3=105,∴a3=35.∵a2+a4+a6=3a4=99,∴a4=33,∴d=a4-a3=33-35=-2,∴a20=a3+17d=35+17×(-2)=1.
【答案】1
14.(考点:合情推理,★★)甲、乙、丙三名同学同时做标号为A、B、C的三道题,甲做对了两道题,乙做对了两道题,丙做对了两道题,则下列说法正确的是 .
①三道题都有人做对;②至少有一道题三个人都做对;③至少有两道题有两个人都做对.
【解析】若甲做对A、B,乙做对A、B,丙做对A、B,则C无人做对,所以①错误.
若甲做对A、B,乙做对A、C,丙做对B、C,则没有一道题被三个人做对,所以②错误.
做对的情况可分为三种:三个人做对的都相同,三个人中有两个人做对的相同,三个人每个人做对的都不完全相同.分析可知三种情况都满足③的说法,所以③正确.
【答案】③
15.(考点:等比数列的性质,★★)设Sn是等比数列{an}的前n项和,若S2S4=14,则S4S6= .
【解析】设等比数列{an}的公比为q,
若S2S4=14,则S4=S2+q2S2=4S2,解得q2=3,
则S6=S2+q2S4=S2+12S2=13S2,
∴S4S6=4S213S2=413.
【答案】413
16.(考点:数列的应用,★★★)数列{an}满足anan+1an+2=an+an+1+an+2(anan+1≠1,n∈N*),且a1=1,a2=2.若an=Asin(ωn+φ)+cω>0,|φ|<π2,则实数c= .
【解析】由题意,数列{an}满足anan+1an+2=an+an+1+an+2,且a1=1,a2=2.
令n=1,可得a1a2a3=a1+a2+a3,即2a3=1+2+a3,解得a3=3,
令n=2,可得a2a3a4=a2+a3+a4,即6a4=2+3+a4,解得a4=1,
同理可得a5=2,a6=3,…,故数列{an}的周期为3.
因为an=Asin(ωn+φ)+c,所以2πω=3,所以ω=2π3,即an=Asin2π3n+φ+c,
所以a1=Asin2π3+φ+c=1,a2=Asin2π3×2+φ+c=2,a3=Asin2π3×3+φ+c=3,解得A=-233,φ=-π3,c=2.
【答案】2
数列、推理与证明(B)
一、选择题
1.(考点:等差数列,★)已知等差数列{an}中,a1=4,其前10项和S10=70,则其公差d=( ).
A.-29 B.29 C.-23 D.23
【解析】因为S10=10(a1+a10)2=10×(4+a10)2=70,所以a10=10.
又a10=a1+9d=10,所以d=23.故选D.
【答案】D
2.(考点:归纳推理,★)观察下列算式:21=2,22=4,23=8,24=16,25=32,26=64,27=128,28=256,….用你所发现的规律可得22020的末位数字是( ).
A.2 B.4 C.6 D.8
【解析】通过观察可知,末位数字构成以4为周期的周期数列.又2020=4×505,故22020的末位数字与24的末位数字相同,为6.故选C.
【答案】C
3.(考点:等比数列的性质,★★)已知正项等比数列{an}中,a1a5+2a3a7+a5a9=16,且a5与a9的等差中项为4,则数列{an}的公比是( ).
A.±22 B.±2 C.22 D.2
【解析】由a1a5+2a3a7+a5a9=16,可得a32+2a3a7+a72=(a3+a7)2=16,所以a3+a7=4.
因为a5与a9的等差中项为4,所以a5+a9=8.
设等比数列{an}的公比为q,则q2(a3+a7)=a5+a9,所以4q2=8,解得q=2或q=-2(舍去).
故选D.
【答案】D
4.(考点:反证法,★★)用反证法证明某命题时,对结论“自然数a,b,c,d,e中至多有两个偶数”的正确假设为( ).
A.自然数a,b,c,d,e中至少有两个偶数
B.自然数a,b,c,d,e中至少有三个偶数
C.自然数a,b,c,d,e都是奇数
D.自然数a,b,c,d,e都是偶数
【解析】用反证法证明数学命题时,应先假设待证命题的反面成立,即待证命题的否定成立,而“自然数a,b,c,d,e中至多有两个偶数”的否定为“自然数a,b,c,d,e中至少有三个偶数”.故选B.
【答案】B
5.(考点:等比数列前n项和的性质,★★)设等比数列{an}的前n项和为Sn,若S5=10,S10=30,则S20=( ).
A.150 B.140 C.130 D.120
【解析】等比数列{an}的前n项和为Sn,则S5,S10-S5,S15-S10,S20-S15成等比数列,
∴10,20,S15-30,S20-S15成等比数列,
∴202=10(S15-30),解得S15=70,∴S15-S10=40,402=20(S20-70),解得S20=150.故选A.
【答案】A
6.(考点:数列的综合应用,★★)已知{an}是等差数列,{bn}是正项等比数列,且b1=1,b3=b2+2,b4=a3+a5,b5=a4+2a6,则a2020+b10=( ).
A.2030 B.2050 C.2532 D.3044
【解析】设等差数列{an}的公差为d,正项等比数列{bn}的公比为q(q>0),
因为b1=1,b3=b2+2,b4=a3+a5,b5=a4+2a6,
所以q2=q+2,q3=2a1+6d,q4=3a1+13d,
解得q=2,a1=d=1.
所以a2020+b10=1+2019+29=2532.故选C.
【答案】C
7.(考点:数列的综合应用,★★)已知数列{an}的奇数项依次成等差数列,偶数项依次成等比数列,且a1=1,a2=2,a3+a4=7,a5+a6=13,则a7+a8=( ).
A.17 B.19 C.21 D.23
【解析】设奇数项的公差为d,偶数项的公比为q,
由a3+a4=7,a5+a6=13,得1+d+2q=7,1+2d+2q2=13,
解得d=2,q=2,所以a7+a8=1+3d+2q3=7+16=23.故选D.
【答案】D
8.(考点:错位相减,★★)在数列{an}中,若a1=-2,an+1=an+n·2n,则an=( ).
A.(n-2)·2n B.1-12n C.231-14n D.231-12n
【解析】∵an+1=an+n·2n,∴an+1-an=n·2n,
∴an-a1=an-an-1+an-1-an-2+…+a2-a1=(n-1)·2n-1+…+2·22+1·21, ①
∴2(an-a1)=(n-1)·2n+(n-2)·2n-1+…+2·23+1·22, ②
①-②得-(an-a1)=-(n-1)·2n+2n-1+2n-2+…+23+22+2
=-(n-1)·2n+2(1-2n-1)1-2=-(n-1)·2n-2+2n=-(n-2)·2n-2,
∴an-a1=(n-2)·2n+2,又a1=-2,∴an=(n-2)·2n.故选A.
【答案】A
9.(考点:数列求和,★★)已知公差不为0的等差数列{an}的首项a1=3,且a2,a4,a7成等比数列,数列{bn}的前n项和Sn满足Sn=2n,n∈N*,数列{cn}满足cn=anbn,n∈N*,则数列{cn}的前3项和为( ).
A.31 B.34 C.37 D.40
【解析】设数列{an}的公差为d,则d≠0.因为a2,a4,a7成等比数列,所以a42=a2·a7,即(a1+3d)2=(a1+d)(a1+6d),解得d=13a1.
又a1=3,所以d=1,故an=n+2.
当n≥2时,bn=Sn-Sn-1=2n-2n-1=2n-1,
当n=1时,b1=S1=21=2,
故bn=2,n=1,2n-1,n≥2.
故数列{cn}的前3项和为a1b1+a2b2+a3b3=3×2+4×2+5×4=34.故选B.
【答案】B
10.(考点:等差数列,★★)已知等差数列{an},等差数列{bn}的前n项和分别为Sn,Tn,若SnT n=n+2n+1,则a7b8的值是( ).
A.1314 B.1115 C.1116 D.1516
【解析】由题意,SnT n=n+2n+1=n(n+2)n(n+1),不妨令Sn=n(n+2),Tn=n(n+1),
所以an=Sn-Sn-1=n(n+2)-(n-1)(n+1)=2n+1(n≥2),
bn=Tn-Tn-1=n(n+1)-(n-1)n=2n(n≥2),
所以a7b8=2×7+12×8=1516.故选D.
【答案】D
11.(考点:数列的函数特性,★★★)设{an}是各项均为正数的等比数列,q是其公比,Kn是其前n项的积,且K5K8,则下列结论错误的是( ).
A.0K5 D.K6与K7均为Kn的最大值
【解析】等比数列{an}的通项公式为an=a1qn-1,a1>0,q>0.
因为Kn是其前n项的积,所以Kn=a1nqn(n-1)2,
则K5K8⇒1>a1q7,
所以a7=a1q6=1,所以B正确.
由1=a1q6,1=AA1·n|AA1||n|=-2aa×22=-22,
设直线AA1与平面AB1D所成的角为θ,则sin θ=22,∴θ=45°.
∴直线AA1与平面AB1D所成的角为45°.
【答案】A
12.(考点:多面体的体积与函数的综合应用,★★★)若某四面体的六条棱中,有五条棱长都等于2a,则该四面体的体积的最大值为( ).
A.a32 B.a33 C.a38 D.a3
【解析】
如图,在四面体ABCD中,设AB=BC=CD=AC=BD=2a,AD=x,取AD的中点为P,BC的中点为E,连接BP、EP、CP,得到AD⊥平面BPC,
∴VA-BCD=VA-BPC+VD-BPC=13S△BPC·AP+13S△BPC·PD=13S△BPC·AD=13×12×2a×4a2-x24-a2×x=a612a2-x2x2≤a6×12a22=a3(当且仅当x=6a时取等号).∴该四面体的体积的最大值为a3.
【答案】D
二、填空题
13.(考点:圆台侧面积的计算,★)圆台的较小底面半径为1,母线长为2,一条母线和底面的一条半径有交点且成60°夹角,则该圆台的侧面积为 .
【解析】画出圆台(图略),则r1=1,r2=2,l=2,S圆台侧=π(r1+r2)l=6π.
【答案】6π
14.(考点:旋转体表面积的计算,★★)若直角梯形的一个底角为45°,上底长为2,下底长为3,则将这个梯形绕下底所在直线旋转一周所形成的旋转体的表面积是 .
【解析】
如图所示,在梯形ABCD中,AB∥CD,∠A=90°,∠B=45°,CD=2,AB=3,绕AB边旋转一周后形成一个圆柱和一个圆锥的组合体.
过点C作CE⊥AB于点E,则BE=AB-CD=1.
又∵∠B=45°,∴AD=CE=1,BC=2.
S表=S圆柱底+S圆柱侧+S圆锥侧=π·AD2+2π·CE·CD+π·CE·BC=π×12+2π×1×2+π×1×2=(5+2)π.
【答案】(5+2)π
15.(考点:异面直线所成的角,★★)已知正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AA1=2AB,E为AA1的中点,则异面直线BE与CD1所成角的余弦值为 .
【解析】
如图,取DD1的中点F,连接CF,则∠D1CF为所求的角,
设AB=a,则CD1=5a,CF=2a,D1F=a,cos∠D1CF=CD12+CF2-D1F22CD1·CF=(5a)2+(2a)2-a22×5a×2a=31010.
【答案】31010
16.(考点:平面与平面所成的角,★★★)如图,在矩形ABCD中,AB=2,AD=1,E为CD的中点.将△ADE沿AE折起,使平面ADE⊥平面ABCE,得到几何体D-ABCE.
则平面ABCE与平面CDE所成角的余弦值为 .
【解析】
如图,以B为坐标原点,BC,BA所在直线分别为x轴,y轴,过点B与平面ABCE垂直的直线为z轴,建立空间直角坐标系,
则B(0,0,0),C(1,0,0),A(0,2,0),E(1,1,0),D12,32,22.
设向量n=(x0,y0,1)为平面CDE的一个法向量,
则n⊥CE,n⊥DE,即n·CE=0,n·DE=0.
∵CE=(0,1,0),DE=12,-12,-22,∴x0=2,y0=0,即n=(2,0,1).
又平面ABCE的一个法向量为m=(0,0,1),∴cos=m·n|m||n|=2×0+0×0+1×11×2+0+1=33.
∴平面ABCE与平面CDE所成角的余弦值为33.
【答案】33
立体几何(B)
一、选择题
1.(考点:平面与平面的位置关系的判断,★)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G分别是棱BC,C1D1,B1C1的中点,则平面EFG与平面BB1D1D的位置关系是( ).
A.平行
B.相交
C.垂直
D.无法判断
【解析】由题意得GE∥BB1,GF∥B1D1,∴BB1∥平面EFG,B1D1∥平面EFG,
又∵BB1∩B1D1=B1,∴平面EFG∥平面BB1D1D.
【答案】A
2.(考点:三视图中的有关计算,★)如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某多面体的三视图,则在该多面体的各条棱中,最长的棱的长度为( ).
A.8
B.4
C.6
D.42
【解析】根据三视图可知,该多面体是棱长为4的正方体内的四面体D1ECC1(其中E为棱BB1的中点),易得最长棱为D1E=(42)2+22=6.
【答案】C
3.(考点:空间几何体的三视图,★)如图,水平放置的三棱柱的侧棱长和底边长均为2,且侧棱AA1⊥平面A1B1C1,正(主)视图是正方形,俯视图是正三角形,则该三棱柱的侧(左)视图的面积为( ).
A.23 B.3 C.22 D.4
【解析】
由题意可知,该三棱柱的侧(左)视图应为矩形,如图所示.
在该矩形中,MM1=CC1=2,CM=C1M1=3.
所以侧(左)视图的面积为S=23.
【答案】A
4.(考点:空间几何体的三视图,★★)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,设其棱长为a,点P是上底面A1B1C1D1内一动点,则三棱锥P-ABC的正(主)视图与侧(左)视图的面积之和为( ).
A.2a2
B.a2
C.a22
D.3a22
【解析】三棱锥P-ABC的正(主)视图与侧(左)视图都是底边长为a,高为a的三角形,所以面积都是a22,故面积之和为a2.
【答案】B
5.(考点:与体积有关的计算,★★)《九章算术》商功章有题:一圆柱形谷仓,高1丈3尺313寸,容纳米2000斛(1丈=10尺,1尺=10寸,斛为容积单位,1斛≈1.62立方尺,π≈3).则圆柱的底面半径约为( ).
A.8尺 B.9尺 C.7尺 D.10尺
【解析】设圆柱的底面半径为r尺,高为h尺,依题意,圆柱的体积V=πr2h=2000斛,则2000×1.62≈3×r2×13.33,所以r2≈81,即r≈9.
【答案】B
6.(考点:三视图与体积的计算,★★)某几何体的三视图(单位:cm)如图所示,则该几何体的体积是( ).
A.90 cm3 B.72 cm3 C.132 cm3 D.88 cm3
【解析】该几何体由三棱柱及长方体组合而成,故该几何体的体积为V=4×6×3+12×3×4×3=90 cm3.
【答案】A
7.(考点:空间中直线、平面的位置关系的判断,★★)设α,β,γ是三个互不重合的平面,m,n是两条不同的直线,则下列命题正确的是( ).
A.若m,n在γ内的射影互相垂直,则m⊥n
B.若m∥α,n∥β,α⊥β,则m⊥n
C.若m⊥α,m⊂β,则α⊥β
D.若m∥α,n⊂α,则m∥n
【解析】A项错误,不妨设这两条直线为正方体的两条体对角线,其在底面的射影为正方形的两条对角线,它们是互相垂直的,但正方体的两条体对角线不垂直;B项错误,m,n也可以不垂直;D项错误,由m∥α,n⊂α⇒m∥n或m与n异面;利用面面垂直的判定定理知C项正确.
【答案】C
8.(考点:外接球的表面积计算,★★)已知直三棱柱ABC-A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上,若AB=3,AC=4,AB⊥AC,AA1=12,则球O的表面积为( ).
A.144π B.12π C.169π D.13π
【解析】
已知AB=3,AC=4,AB⊥AC,所以BC=5.
如图所示,由球心作平面ABC的垂线,则垂足为BC的中点M.
又AM=12BC=52,OM=12AA1=6,
所以球O的半径R=OA=522+62=132.所以S表=4πR2=169π.
【答案】C
9.(考点:直线与平面所成的角,★★)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E是C1C的中点,则直线BE与平面B1BD所成角的正弦值为( ).
A.55 B.105 C.255 D.155
【解析】
建立如图所示的空间直角坐标系,设正方体的棱长为2,则D(0,0,0),B(2,2,0),B1(2,2,2),E(0,2,1).∴BD=(-2,-2,0),BB1=(0,0,2),BE=(-2,0,1).
设平面B1BD的法向量为n=(x,y,z).
∵n⊥BD,n⊥BB1,∴-2x-2y=0,2z=0,∴x=-y,z=0.
令y=1,则n=(-1,1,0).
∴cos=n·BE|n||BE|=105.
设直线BE与平面B1BD所成的角为θ,则sin θ=|cos|=105.
【答案】B
10.(考点:平面与平面所成的角,★★)如图,四棱柱ABCD-A1B1C1D1是正方体,E,F分别是AD,DD1的中点,则平面EFC1B和平面BCC1所成锐二面角的余弦值为( ).
A.13 B.12
C.25 D.23
【解析】设正方体的棱长为2,建立以D为坐标原点,DA、DC、DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴的空间直角坐标系,则E(1,0,0),F(0,0,1),B(2,2,0),EB=(1,2,0),EF=(-1,0,1).易知平面BCC1
的一个法向量为CD=(0,-2,0),设平面EFC1B的法向量为m=(x,y,z),则m·EB=x+2y=0,m·EF=-x+z=0,令y=-1,则m=(2,-1,2),故cos=m·CD|m||CD|=23×2=13.
【答案】A
11.(考点:球内接多面体的体积计算,★★★)已知三棱锥S-ABC的所有顶点都在球O的球面上,△ABC是边长为2的正三角形,SC为球O的直径,且SC=23,则此棱锥的体积为( ).
A.253 B.2153
C.453 D.4153
【解析】△ABC的外接圆的半径r=233,球O的半径R=12SC=3,故点O到平面ABC的距离d=R2-r2=153.又SC为球O的直径,所以点S到平面ABC的距离为2d=2153.故此棱锥的体积为V=13S△ABC×2d=13×12×2×2×32×2153=253.
【答案】A
12.(考点:点到平面的距离,★★★)已知正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,CC1=22,E为CC1的中点,则点A到平面BDE的距离为( ).
A.2 B.3 C.2 D.1
【解析】
以D为原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴,y轴,z轴,建立空间直角坐标系(如图),
则D(0,0,0),A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),C1(0,2,22),E(0,2,2).
设n=(x,y,z)是平面BDE的法向量,则n·DB=2x+2y=0,n·DE=2y+2z=0.
取y=1,则n=(-1,1,-2)为平面BDE的一个法向量.
又DA=(2,0,0),∴点A到平面BDE的距离是d=|n·DA||n|=|-1×2+0+0|(-1)2+12+(-2)2=1.
故点A到平面BDE的距离为1.
【答案】D
二、填空题
13.
(考点:几何体的体积计算,★★)如图,在△ABC中,AB=8,BC=10,AC=6,DB⊥平面ABC,且AE∥FC∥BD,BD=2,FC=3,AE=4,则此几何体的体积为 .
【解析】用“补形法”把原几何体补成一个直三棱柱,使AA'=BB'=CC'=6.由AB=8,BC=10,AC=6,得BC2=AB2+AC2,即AB⊥AC,所以S△ABC=12×6×8=24.所以V几何体=12V三棱柱=12S△ABC·AA'=12×24×6=72.
【答案】72
14.(考点:异面直线所成的角,★★)已知正四棱台ABCD-A1B1C1D1中,上底面A1B1C1D1的边长为1,下底面ABCD的边长为2,侧棱与底面所成的角为60°,则异面直线AD1与B1B所成角的余弦值为 .
【解析】
设上、下底面中心分别为O1、O,则OO1⊥平面ABCD,以O为原点,直线BD、AC、OO1分别为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系.
∵AB=2,A1B1=1,∴AC=BD=22,A1C1=B1D1=2.
∵平面BDD1B1⊥平面ABCD,∴∠B1BO为侧棱与底面所成的角,
∴∠B1BO=60°.
设棱台的高为h,则tan 60°=h2-22,∴h=62.
∴A(0,-2,0),D1-22,0,62,B122,0,62,B(2,0,0),
∴AD1=-22,2,62,B1B=22,0,-62,
∴cos=AD1·B1B|AD1||B1B|=-22,
故异面直线AD1与B1B所成角的余弦值为22.
【答案】22
15.(考点:球的表面积,★★)已知在三棱锥S-ABC中,侧棱SA⊥底面ABC,AB=5,BC=8,∠B=60°,SA=25,则该三棱锥的外接球的表面积为 .
【解析】在△ABC中,由余弦定理得AC2=AB2+BC2-2AB·BC·cos 60°=52+82-2×5×8×cos 60°=49,∴AC=7.
设△ABC的外接圆半径为r,则ACsin60°=2r,∴r=733.
由题意得,三棱锥S-ABC的外接球球心到△ABC的外接圆圆心的距离d=5,故球的半径R=5+493=643.
∴该三棱锥的外接球的表面积为4π×643=256π3.
【答案】256π3
16.
(考点:几何体的体积与函数的综合应用,★★★)如图,△ABC内接于圆O,AB是圆O的直径,四边形DCBE为平行四边形,DC⊥平面ABC,AB=2,EB=3.若AC=x,V(x)表示四棱锥A-BCDE的体积,则函数V(x)的最大值为 .
【解析】∵DC⊥平面ABC,∴DC⊥AC,又AC⊥BC,BC∩DC=C,∴AC⊥平面BCDE.
在Rt△ABC中,∵AC=x,AB=2,∴BC=4-x2(00,λ≠1)的点M的轨迹是圆.若两定点A,B的距离为3,动点M满足|MA|=2|MB|,则点M的轨迹所围成区域的面积为( ).
A.4π B.3π C.2π D.π
【解析】以A为原点,直线AB为x轴建立平面直角坐标系,则点B的坐标可以是(3,0),设M(x,y).
依题意,有x2+y2(x-3)2+y2=2,化简整理得x2+y2-8x+12=0,即(x-4)2+y2=4,则动点M的轨迹方程为(x-4)2+y2=4,它表示圆心为(4,0),半径为2的圆,其面积为4π.故选A.
【答案】A
8.(考点:内切圆,点到直线的距离,★★★)已知椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,过点F1作垂直于x轴的直线交椭圆E于A,B两点,点A在x轴上方.若|AB|=3,△ABF2的内切圆的面积为9π16,则直线AF2的方程是( ).
A.3x+2y-3=0 B.2x+3y-2=0 C.4x+3y-4=0 D.3x+4y-3=0
【解析】设内切圆的半径为r,则πr2=9π16,∴r=34.∵F1(-c,0),∴内切圆的圆心坐标为-c+34,0.
由|AB|=3知A-c,32,又F2(c,0),∴直线AF2的方程为3x+4cy-3c=0.
由内切圆圆心到直线AF2的距离为r,得3-c+34-3c32+(4c)2=34,解得c=1,
∴直线AF2的方程为3x+4y-3=0.故选D.
【答案】D
9.(考点:椭圆的定义,基本不等式,★★★)已知P为椭圆x29+y216=1上的任意一点,F1,F2分别为该椭圆的上、下焦点,设α=∠PF1F2,β=∠PF2F1,则sin α+sin β的最大值为( ).
A.32 B.477 C.98 D.377
【解析】设|PF1|=m,|PF2|=n,|F1F2|=2c,A,B分别为短轴的两个端点,
由正弦定理可得msinβ=nsinα=2csin(α+β),即有2csin(α+β)=m+nsinα+sinβ=2asinα+sinβ,
由椭圆的定义可得e=2c2a=sin(α+β)sinα+sinβ=74,∴sin α+sin β=47sin(α+β).
在△F2PF1中,由m+n=2a,得cos∠F2PF1=m2+n2-4c22mn=(m+n)2-2mn-4c22mn=4b22mn-1≥4b22×(m+n)24-1=4b22a2-1=18,当且仅当m=n,即P为短轴端点时,cos∠F2PF1的值最小,∠F2PF1最大,且0≤∠F2PF1<π2.
∴sin(α+β)=sin∠F2PF1≤sin∠F2AF1=378,∴sin α+sin β≤47×378=32.故选A.
【答案】A
10.
(考点:特殊化、对称性,★★★)如图所示,A1,A2是椭圆C:x29+y24=1的短轴端点,点M在椭圆上运动,且点M不与点A1,A2重合,点N满足NA1⊥MA1,NA2⊥MA2,则S△MA1A2S△NA1A2=( ).
A.32 B.23 C.94 D.49
【解析】
由题意以及选项的值可知S△MA1A2S△NA1A2是常数,所以可取M为椭圆的左顶点,
由椭圆的对称性可知,点N在x的正半轴上,如图.
则A1(0,2),A2(0,-2),M(-3,0).
由射影定理可得|OM|·|ON|=|OA1|2,可得|ON|=43,
则S△MA1A2S△NA1A2=12|A1A2|·|OM|12|A1A2|·|ON|=|OM||ON|=343=94.故选C.
【答案】C
11.(考点:椭圆的离心率,★★★)已知F1,F2是椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点,过左焦点F1的直线与椭圆交于A,B两点,且满足|AF1|=2|BF1|,|AB|=|BF2|,则该椭圆的离心率是( ).
A.12 B.33 C.32 D.53
【解析】
由椭圆的定义可得|BF1|+|BF2|=2a,由|AB|=|BF2|,|AF1|=2|BF1|,可得|AF1|=a,所以A为椭圆的短轴的一个端点,
所以|AF2|=a,|AB|=|BF2|=32a,|F1F2|=2c,
所以cos∠BAF2=a2+32a2-32a22×a×32a=13.
由sin∠OAF1=ca,∠BAF2=2∠OAF1,可得13=1-2ca2,解得e=ca=33.故选B.
【答案】B
12.(考点:圆锥曲线的定义与几何性质,★★★)椭圆P:x2a2+y2b2=1(a>b>0)与双曲线Ω:x2m2-y2n2=1(m>0,n>0)的焦点相同,F为左焦点,曲线P与Ω在第一象限、第三象限的交点分别为A、B,且∠AFB=2π3,则当这两条曲线的离心率之积最小时,双曲线的一条渐近线方程是( ).
A.x-2y=0 B.2x+y=0 C.x-2y=0 D.2x+y=0
【解析】设双曲线的右焦点为F1,由题意可知点A与点B关于原点对称,因此|AF|=|BF1|,|BF|=|AF1|,又∠AFB=2π3,所以∠FAF1=π3.
由椭圆与双曲线的定义可得|AF|+|AF1|=2a,|AF|-|AF1|=2m,所以|AF|=a+m,|AF1|=a-m,根据余弦定理可得|FF1|2=|AF|2+|AF1|2-2|AF||AF1|cos∠FAF1,即4c2=(a+m)2+(a-m)2-2(a+m)(a-m)cos π3,化简得4c2=3m2+a2≥23m2·a2=23ma,所以离心率的乘积为ca·cm=c2am≥32,当且仅当3m2=a2时,等号成立.
因为a2-b2=m2+n2=c2,所以4c2-3m2-b2=m2+n2,所以b2=3n2.将a2=3m2,b2=3n2代入a2-b2=m2+n2,可得m2=2n2,所以双曲线的渐近线方程为x-2y=0或x+2y=0.故选C.
【答案】C
二、填空题
13.(考点:双曲线的几何性质,★)已知双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的焦距为42,且两条渐近线互相垂直,则该双曲线的实轴长为 .
【解析】双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的两条渐近线为y=bax与y=-bax.
因为两条渐近线互相垂直,所以-ba2=-1,得a=b.
因为双曲线的焦距为42,所以c=22.
由c2=a2+b2可知2a2=8,所以a=2,所以实轴长为2a=4.
【答案】4
14.(考点:点到直线的距离,★★)平面上满足约束条件x≥2,x+y≤0,x-y-10≤0的点(x,y)形成的区域为D,区域D关于直线y=2x对称的区域为E,则区域D和E中距离最近的两点的距离为 .
【解析】
先根据约束条件画出可行域,如图所示.
作出区域D关于直线y=2x对称的区域,它们呈蝴蝶形,由图可知,可行域内点A(2,-2)到点A'的距离最小,最小值为点A到直线y=2x的距离的两倍,∴最小值为2×|4+2|5=1255.
【答案】1255
15.(考点:与抛物线有关的定值,★★★)已知抛物线x2=2py(p>0)的焦点为F,A,B为抛物线上的两个动点,且满足∠AFB=60°,过弦AB的中点C作该抛物线准线的垂线CD,垂足为D,则|AB||CD|的最小值为 .
【解析】
过点A,B分别作抛物线准线的垂线,垂足分别为Q,P,如图所示.
设|AF|=a,|BF|=b,由抛物线的定义,得|AF|=|AQ|,|BF|=|BP|.
在梯形ABPQ中,2|CD|=|AQ|+|BP|=a+b.
由余弦定理得|AB|2=a2+b2-2abcos 60°=a2+b2-ab=(a+b)2-3ab,
又∵ab≤a+b22,∴(a+b)2-3ab≥(a+b)2-34(a+b)2=14(a+b)2,
∴|AB|≥12(a+b)=|CD|,∴|AB||CD|≥1,当且仅当a=b时,等号成立,即|AB||CD|的最小值为1.
【答案】1
16.(考点:双曲线的几何性质的应用,重心,★★★)已知A,B分别是双曲线C:x2-y22=1的左、右顶点,P为C上一点,且点P在第一象限.记直线PA,PB的斜率分别为k1,k2,当2k1+k2取得最小值时,△PAB的重心坐标为 .
【解析】由题意知A(-1,0),B(1,0),设P(x,y),则k1=yx+1,k2=yx-1,
∴k1k2=y2x2-1=2,2k1+k2≥22k1k2=4,当且仅当2k1=k2时取等号,
此时k1=1,直线PA的方程为y=x+1;k2=2,直线PB的方程为y=2(x-1).
联立方程y=x+1,y=2(x-1),解得x=3,y=4,∴P(3,4),
∴△PAB的重心坐标为-1+1+33,0+0+43,即1,43.
【答案】1,43
解析几何(B)
一、选择题
1.(考点:两直线垂直,★)已知直线l1:xsin α+y-1=0,直线l2:x-3ycos α+1=0,若l1⊥l2,则sin 2α=( ).
A.-35 B.35 C.23 D.-23
【解析】直线l1:xsin α+y-1=0,直线l2:x-3ycos α+1=0,
若l1⊥l2,则sin α-3cos α=0,即tan α=sinαcosα=3.
所以sin 2α=2sin αcos α=2sinαcosαsin2α+cos2α=2tanαtan2α+1=610=35.故选B.
【答案】B
2.(考点:直线与圆的位置关系,★★)过点P(-1,-1)且不垂直于y轴的直线l与圆M:x2+y2-2x-3=0交于A,B两点,点C在圆M上,若△ABC是正三角形,则直线l的斜率是( ).
A.34 B.32 C.23 D.43
【解析】根据题意,圆M:x2+y2-2x-3=0即(x-1)2+y2=4,圆心M的坐标为(1,0),半径r=2.
设正△ABC的高为h,由题意知点M为正△ABC的中心,∴点M到直线l的距离d=13h.
又h=32|AB|,∴d=36|AB|,∴由垂径定理可得|AB|24+d2=r2=4,解得|AB|=23,∴d=1.
由题意知直线l的斜率存在且不为0,设为k,则直线l的方程为y+1=k(x+1),即kx-y+k-1=0,
则有|2k-1|1+k2=1,解得k=43或k=0(舍去),故选D.
【答案】D
3.(考点:椭圆定义的应用,★★)已知点P在椭圆C1:x24+y23=1上,C1的右焦点为F,点Q在圆C2:x2+y2+6x-8y+21=0上,则|PQ|-|PF|的最小值为( ).
A.25-6 B.4-42 C.6-25 D.42-4
【解析】设椭圆的左焦点为F1(-1,0),则|PQ|-|PF|=|PQ|-(2a-|PF1|)=|PQ|+|PF1|-4,
故要求|PQ|-|PF|的最小值,即求|PQ|+|PF1|的最小值.
因为圆C2的半径r=2,圆心C2(-3,4),所以|PQ|+|PF1|的最小值等于|C2F1|-2=(-1+3)2+42-2=25-2,所以|PQ|-|PF|的最小值为25-6,故选A.
【答案】A
4.(考点:直线与抛物线的位置关系,★★)已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,过点F的直线交抛物线于A,B两点,且|AB|=8,点A关于x轴对称的点为A',线段A'B的中垂线交x轴于点D,则点D的坐标为( ).
A.(5,0) B.(3,0) C.(4,0) D.(2,0)
【解析】设A(x1,y1),B(x2,y2),A'(x1,-y1),由抛物线的定义知|AB|=x1+x2+2=8,则x1+x2=6.
∴线段A'B的中点坐标为x1+x22,y2-y12,即3,y2-y12,
直线BA'的斜率为kBA'=y2+y1x2-x1=y2+y1y224-y124=4y2-y1,
则线段A'B的中垂线斜率为k=-1kBA'=y1-y24,
∴线段BA'的中垂线方程为y=y1-y24(x-3)+y2-y12.
令y=0,得x=5,∴点D的坐标为(5,0).故选A.
【答案】A
5.(考点:椭圆中的对称问题,★★)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)上存在A,B两点恰好关于直线l:x-y-1=0对称,且直线AB与直线l的交点的横坐标为2,则椭圆C的离心率为( ).
A.13 B.33 C.22 D.12
【解析】由题意可得直线AB与直线l的交点为P(2,1),kAB=-1.
设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=4,y1+y2=2,
∵A,B是椭圆x2a2+y2b2=1上的点,∴x12a2+y12b2=1,x22a2+y22b2=1,
两式相减得(x1+x2)(x1-x2)a2+(y1+y2)(y1-y2)b2=0,∴2(x1-x2)a2=-y1-y2b2,
∴kAB=y1-y2x1-x2=-2b2a2=-1,∴a2=2b2,∴ca=1-b2a2=22.故选C.
【答案】C
6.(考点:直线与抛物线的综合,★★)已知直线l过抛物线C:x2=4y的焦点F且交抛物线C于A,B两点,则|AF|+2|BF|的最小值为( ).
A.3+22 B.2+32 C.6 D.4
【解析】设直线AB的方程为y=kx+1,A(x1,y1),B(x2,y2),将直线方程代入抛物线方程并消去x得y-1k2=4y,即y2-(2+4k2)y+1=0,所以y1+y2=2+4k2,y1·y2=1.
所以|AF|+2|BF|=y1+1+2(y2+1)=y1+2y2+3≥2y1·2y2+3=3+22.故选A.
【答案】A
7.(考点:椭圆的离心率,★★★)在平面直角坐标系xOy中,F是椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左焦点,A,B分别为椭圆C的左、右顶点,过点F作x轴的垂线交椭圆C于P,Q两点,连接PB交y轴于点E,连接AE交PQ于点M,若M是线段PF的中点,则椭圆C的离心率为( ).
A.22 B.12 C.14 D.13
【解析】
如图,连接BQ,则由椭圆的对称性易得∠PBF=∠QBF,∠EAB=∠EBA,所以∠EAB=∠QBF,所以ME∥BQ.
因为△PME∽△PQB,所以|PE||EB|=|PM||MQ|.
因为△PBF∽△EBO,所以|OF||OB|=|EP||EB|,从而有|PM||MQ|=|OF||OB|.
又因为M是线段PF的中点,所以e=ca=|OF||OB|=|PM||MQ|=13. 故选D.
【答案】D
8.(考点:新概念问题,★★★)在平面直角坐标系中,设点P(x,y),定义[OP]=|x|+|y|,其中O为坐标原点,对于下列结论:
①符合[OP]=2的点P的轨迹围成的图形面积为16;
②设P是直线3x+2y-2=0上任意一点,则[OP]min=1;
③设P是直线y=x+1上任意一点,则满足[OP]=1的点P有无数个;
④设P是圆x2+y2=2上任意一点,则[OP]max=2.
其中正确的结论序号为( ).
A.①②③ B.①③④ C.②③④ D.①②④
【解析】由[OP]=2,得|x|+|y|=2,该方程表示的图形关于x,y轴对称,且x+y=2(0≤x≤2,0≤y≤2),∴点P的轨迹是边长为22的正方形,其面积等于8,故①错误.
P(x,y)为直线3x+2y-2=0上任意一点,可得y=1-32x,
故[OP]=|x|+|y|=|x|+1-32x,
当x≤0时,[OP]=1-1+32x≥1;当00)的焦点为F,准线为l,过点F且斜率为3的直线l'与抛物线C交于点M(点M在x轴的上方),过M作MN⊥l于点N,连接NF交抛物线C于点Q,则|NQ||QF|=( ).
A.2 B.2 C.1 D.12
【解析】
如图所示,设直线l'与抛物线C的另一个交点为A.抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为Fp2,0,直线MF的解析式为y=3x-p2,
与抛物线的方程联立得3x2-5px+34p2=0,可得M3p2,3p,xA=p6.
因为MN⊥l,∠MFx=60°,所以∠NMF=60°,△NMF为等边三角形,
所以|MN|=|NF|=|MF|=xM+p2=2p.
因为∠NFO=∠OFA=60°,利用对称性可知xQ=p6,所以|QF|=p6+p2=2p3,|NQ|=4p3,
所以|NQ||QF|=2,故选A.
【答案】A
11.
(考点:椭圆的离心率,★★★)如图,已知抛物线y=14x2的焦点F是椭圆y2a2+x2b2=1(a>b>0)的一个焦点,且该抛物线的准线与椭圆交于A,B两点,若△FAB是正三角形,则椭圆的离心率为( ).
A.3-1 B.2-1
C.33 D.22
【解析】由题意知线段AB是椭圆的通径,线段AB与y轴的交点是椭圆的下焦点F1,且c=1,又∠FAB=60°,∴|AF1|=|FF1|tan60°=2c3=233,|AF|=|AB|=2|AF1|=433.
由椭圆的定义知|AF|+|AF1|=2a=23,∴a=3,e=ca=13=33.故选C.
【答案】C
12.(考点:最值问题,离心率,★★★)设椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右顶点分别为A,B,P是椭圆上不同于A,B的一点,直线AP,BP的斜率分别为m,n,则当ab3-23mn+2mn+3(ln|m|+ln|n|)取得最小值时,椭圆C的离心率为( ).
A.15 B.22 C.45 D.32
【解析】A(-a,0),B(a,0),设P(x0,y0),则y02=b2(a2-x02)a2,m=y0x0+a,n=y0x0-a,∴mn=y02x02-a2=-b2a2,∴ab3-23mn+2mn+3(ln|m|+ln|n|)=ab3-2-3b2a2+2-b2a2+6lnba=23ab3-2ab2+3·ab+6lnba.令ab=t>1,f(t)=23t3-2t2+3t-6ln t,则f'(t)=2t3-4t2+3t-6t=(t-2)(2t2+3)t,当t>2时,f'(t)>0;当10,b>0)右支上一点,F1、F2分别是双曲线的左、右焦点,M为△PF1F2的内心,若S△MPF1=S△MPF2+12S△MF1F2成立,则双曲线的离心率为 .
【解析】
如图,设圆M与△PF1F2的三边F1F2、PF1、PF2分别相切于点E、F、G,连接ME,MF,MG,则ME⊥F1F2,MF⊥PF1,MG⊥PF2,
∴S△MPF1=12×|PF1|×|MF|=r2|PF1|,
S△MPF2=12×|PF2|×|MG|=r2|PF2|,
S△MF1F2=12×|F1F2|×|ME|=r2|F1F2|,其中r是△PF1F2的内切圆的半径.
∵S△MPF1=S△MPF2+12S△MF1F2,
∴r2|PF1|=r2|PF2|+r4|F1F2|,两边同时除以r2得|PF1|=|PF2|+12|F1F2|,
∴|PF1|-|PF2|=12|F1F2|,
根据双曲线定义,得|PF1|-|PF2|=2a,|F1F2|=2c,
∴2a=c,故双曲线的离心率为e=ca=2.
【答案】2
16.(考点:圆锥曲线的最值和范围,★★★)已知P为椭圆x24+y23=1上的一个动点,过点P作圆(x+1)2+y2=1的两条切线,切点分别是A,B,则PA·PB的取值范围为 .
【解析】
如图,由题意设∠APB=2θ,椭圆的左焦点为F,则|PA|=|PB|=1tanθ,sin θ=1|PF|.∵1<|PF|≤3,∴sin θ∈13,1.
∴PA·PB=|PA||PB|cos 2θ=1tan2θ·cos 2θ=1+cos2θ1-cos2θ·cos 2θ.
设cos 2θ=t-10,解得1-21+2.
∴函数h(t)在(-1,1-2)上单调递减,在1-2,79上单调递增.
∴当t∈-1,79时,h(t)min=h(1-2)=22-3,h(t)max=h79=569.
∴PA·PB的取值范围是22-3,569.
【答案】 22-3,569
计数原理、概率
与统计(A)
一、选择题
1.(考点:分层抽样,★)某工厂生产A,B,C三种不同型号的产品,若某月生产的A,B,C三种产品的数量之比为m∶3∶2,现用分层抽样的方法抽取一个容量为120的样本,已知A种型号产品抽取了45件,则m=( ).
A.1 B.2 C.3 D.4
【解析】根据分层抽样的性质得mm+3+2=45120,解得m=3.故选C.
【答案】C
2.(考点:排列,★)六个人站成一排,甲、乙、丙三人必须站在一起,则满足要求的排列种数为( ).
A.18 B.72 C.36 D.144
【解析】根据题意,分两步进行分析.
①甲、乙、丙三人必须站在一起,将三人看作一个元素,考虑其顺序,有A33=6种情况;
②将这个元素与剩余的三个人进行全排列,有A44=24种情况.
则不同的排列种数为6×24=144.故选D.
【答案】D
3.(考点:互斥事件,★)口袋内装有一些大小相同的红球、白球和黑球,从中任意摸出1个球,摸出红球的概率是0.38,摸出白球的概率是0.32,那么摸出黑球的概率是( ).
A.0.42 B.0.28 C.0.3 D.0.7
【解析】∵摸出黑球是摸出红球或摸出白球的对立事件,
∴摸出黑球的概率是1-0.38-0.32=0.3.
故选C.
【答案】C
4.(考点:随机抽样与回归分析,★★)给出下列四个结论:
①在回归分析模型中,残差的平方和越大,说明模型的拟合效果越好;
②某学校有男教师60名、女教师40名,为了了解教师的体育爱好情况,在全体教师中抽取20名调查,则宜采用的抽样方法是分层抽样;
③线性相关系数r的绝对值越大,两个变量的线性相关性越弱,反之,线性相关性越强;
④在回归方程y＾=0.5x+2中,当解释变量x每增加一个单位时,预报变量y＾增加0.5个单位.
其中正确的结论是( ).
A.①② B.①④ C.②③ D.②④
【解析】根据残差的意义,可知残差的平方和越小,说明模型的拟合效果越好,所以①错误;
当个体差异明显时,选用分层抽样法抽样,所以②正确;
根据线性相关系数的特征,相关系数r的绝对值越大,两个变量的线性相关性越强,所以③错误;
因为回归方程的系数为0.5,所以当解释变量x每增加一个单位时,预报变量y＾增加0.5个单位,所以④正确.
综上所述,②④正确.故选D.
【答案】D
5.
(考点:样本的分布及数字特征,★★)某数学教师为了解A,B两个班级学生的数学竞赛成绩,将两个班级各10名参加竞赛选拔考试的学生的成绩绘成茎叶图,如图所示.设A,B两班的平均成绩分别为xA,xB,中位数分别为mA,mB,则( ).
A.xA>xB,mA>mB B.xAmB
C.xA>xB,mAmB.故选B.
【答案】B
6.(考点:频率分布直方图,★★)某市举行“中学生诗词大赛”,分初赛和复赛两个阶段进行,规定初赛成绩大于90分的参赛选手具有复赛资格.某校有1000名学生参加了初赛,所有学生的成绩均在区间(30,150]内,其频率分布直方图如图所示,则获得复赛资格的人数为( ).
A.650 B.660 C.680 D.700
【解析】由频率分布直方图可知,获得复赛资格的人数为1000×(1-0.0025×20-2×0.0075×20)=650.故选A.
【答案】A
7.(考点:二项式定理,★★)x-2x6的展开式中x32的系数为( ).
A.-12 B.12 C.-30 D.30
【解析】二项式x-2x6的展开式的通项公式为Tr+1=C6r·(-2)r·x3-3r2,
令3-3r2=32,解得r=1,可得展开式中x32的系数为-12.故选A.
【答案】A
8.(考点:古典概型,★★)六个学习小组依次编号为1,2,3,4,5,6,每组3人.现从中任选3人组成一个新的学习小组,则3人来自不同学习小组的概率为( ).
A.5204 B.4568 C.1568 D.568
【解析】由题意,从18个人中任选3人共包含C183个基本事件,
3人来自不同学习小组共包含C63C31C31C31个基本事件,
所以3人来自不同学习小组的概率为P=C63C31C31C31C183=4568.故选B.
【答案】B
9.(考点:古典概型,★★)从1,2,3,4,5这五个数字中随机选择两个不同的数字,则它们之和为偶数的概率为( ).
A.15 B.25 C.35 D.45
【解析】从1,2,3,4,5这五个数字中,随机抽取两个不同的数字,基本事件总数n=C52=10,
这两个数字的和为偶数包含的基本事件个数m=C22+C32=4,
故这两个数字的和为偶数的概率为P=mn=410=25.故选B.
【答案】B
10.(考点:排列组合,★★)有4名学生要到某公司实践学习,该公司共有5个科室,由公司人事部门安排他们到其中任意3个科室实践学习,每个科室至少安排一人,则不同的安排方案种数为( ).
A.120 B.240 C.360 D.480
【解析】先从5个科室中任选3个,有C53=10种方案,再从4人中选2人作为一个元素,和另外2人分配到3个科室,故共有C53·C42·A33=360种不同的安排方案.故选C.
【答案】C
11.(考点:分布列与数学期望,★★★)有8名学生,其中有5名男生.从这8名学生中选出4名代表,选出的代表中男生人数为X,则其数学期望E(X)=( ).
A.2 B.2.5 C.3 D.3.5
【解析】随机变量X的所有可能取值为1,2,3,4.P(X=k)=C5kC34-kC84(k=1,2,3,4).
所以随机变量X的分布列为
X
1
2
3
4
P
114
37
37
114
随机变量X的数学期望E(X)=1×114+2×37+3×37+4×114=52.故选B.
【答案】B
12.
(考点:几何概型,★★★)割补法在我国古代数学著作中被称为“出入相补”,刘徽称之为“以盈补虚”,即以多余补不足,是数量的平均思想在几何上的体现.下图揭示了刘徽推导三角形面积公式的方法,在△ABC内任取一点,则该点落在标记“盈”的区域的概率为( ).
A.12 B.13 C.14 D.15
【解析】由题意得S△ABC=12ah,S矩形=a2h,所以S△ABC=S矩形.
所以标记“盈”的区域的面积等于标记“虚”的区域的面积.
而标记“虚”的区域的面积占矩形区域的面积的14,
所以标记“盈”的区域的面积为三角形面积的14.
故该点落在标记“盈”的区域的概率为14.故选C.
【答案】C
二、填空题
13.(考点:正态分布,★★)已知随机变量ξ服从正态分布N(1,2),则D(2ξ+3)= .
【解析】∵随机变量ξ服从正态分布N(1,2),∴D(ξ)=2,
∴D(2ξ+3)=22×D(ξ)=8.
【答案】8
14.(考点:条件概率,★★)若8件产品中包含6件一等品,从中任取2件,则在取出的2件产品中有1件不是一等品的条件下,另1件是一等品的概率为 .
【解析】设“取出的2件产品中有1件不是一等品”为事件A,“取出的2件产品中有1件是一等品”为事件B,则P(A)=C22+C21C61C82,P(AB)=C21C61C82,故P(B|A)=P(AB)P(A)=C21C61C22+C21C61=1213.
【答案】1213
15.(考点:独立性检验,★★)微信支付诞生于微信红包,现已被越来越多的人接受.现从某市市民中随机抽取300人,对他们是否使用微信支付进行调查,得到下面的2×2列联表:
年轻人
非年轻人
总计
经常使用微信支付
165
225
不常使用微信支付
总计
90
300
根据表中数据,有 的把握认为“是否使用微信支付与年龄有关”.
附:
P(K2≥k0)
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
k0
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
其中K2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d),n=a+b+c+d.
【解析】由条件可得2×2列联表为:
年轻人
非年轻人
总计
经常使用微信支付
165
60
225
不常使用微信支付
45
30
75
总计
210
90
300
∴K2=300×(165×30-45×60)2210×90×75×225=10021≈4.762>3.841,
∴有95%的把握认为“是否使用微信支付与年龄有关”.
【答案】95%
16.(考点:几何概型,★★★)谢尔宾斯基三角形是由波兰数学家谢尔宾斯基在1915年提出的.如图,先作一个三角形,挖去一个“中心三角形”(即以原三角形各边的中点为顶点的三角形),然后在剩下的小三角形中又挖去一个“中心三角形”,我们用白色三角形代表挖去的面积,那么灰色三角形为剩下的面积(我们称灰色部分为谢尔宾斯基三角形).若通过该种方法把一个三角形挖3次,然后在原三角形内部随机取一点,则该点取自谢尔宾斯基三角形的概率为 .
【解析】由图可知每次挖去的三角形的面积为上一次剩下的面积的14,
故每次剩下的面积为上一次剩下的面积的34.
设最初的面积为1,则挖3次后剩下的面积为343=2764,
故该点取自谢尔宾斯基三角形的概率为2764.
【答案】2764
计数原理、概率
与统计(B)
一、选择题
1.
(考点:分层抽样,★)已知我市某居民小区户主人数如图所示,为了了解该小区户主对户型结构的满意程度,用分层抽样的方法抽取30%的户主进行调查,则样本容量和抽取的四居室户主人数分别为( ).
A.240和45 B.200和45
C.240和30 D.200和30
【解析】样本容量为(150+250+400)×30%=240,
∴抽取的四居室户主人数为240×150150+250+400=45.故选A.
【答案】A
2.(考点:频数与频率,★)一个频数分布表(样本容量为30)不小心被损坏了一部分,若样本中数据在[20,60)内的频率为0.6,则样本中数据在[40,60)内的频数为( ).
A.1 B.9 C.12 D.18
【解析】因为样本数据在[20,60)内的频率为0.6,所以样本数据在[20,60)内的频数为30×0.6=18.又因为样本数据在[20,40)内的频数为4+5=9,所以样本数据在[40,60)内的频数为18-9=9,故选B.
【答案】B
3.(考点:平均数与方差,★★)甲、乙两人进行射击比赛,各射击4局,每局射击10次,射击命中目标得1分,未命中目标得0分.两人4局的得分情况如表所示.在4局比赛中,若甲、乙两人的平均得分相同,且乙的发挥更稳定,则x的取值不可能是( ).
甲
6
6
9
9
乙
7
9
x
y
A.6 B.7 C.8 D.9
【解析】由题意,甲、乙两人的平均数相同,即6+6+9+94=7+9+x+y4,解得x+y=14,即y=14-x.
因为乙的发挥更稳定,所以甲的方差大于乙的方差,
所以14[(6-7.5)2+(6-7.5)2+(9-7.5)2+(9-7.5)2]>14[(7-7.5)2+(9-7.5)2+(x-7.5)2+(y-7.5)2],即6.5>(x-7.5)2+(y-7.5)2=(x-7.5)2+(6.5-x)2.
代入验证,可得x=6,7,8符合上述不等式,x=9不符合上述不等式,所以x的值不可能为9.故选D.
【答案】D
4.(考点:独立性检验,★★)针对“中学生追星问题”,某校团委对“学生性别和中学生追星是否有关”做了一次调查,其中接受调查的女生人数是男生人数的12.调查发现,男生追星的人数占男生人数的16,女生追星的人数占女生人数的23.若有95%的把握认为是否追星和性别有关,则接受调查的男生人数至少为( ).
参考数据及公式如下:
P(K2≥k0)
0.050
0.010
0.001
k0
3.841
6.635
10.828
其中K2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d),n=a+b+c+d.
A.12 B.11 C.10 D.9
【解析】设接受调查的男生人数为x,依题意可得2×2列联表如下:
追星
不追星
总计
男生
x6
5x6
x
女生
x3
x6
x2
总计
x2
x
3x2
若有95%的把握认为是否追星和性别有关,
则K2>3.841,由K2=3x2x236-5x2182x2·x·x·x2=3x8>3.841,解得x>10.24,
∵x2,x6为整数,∴x的最小值为12.
则接受调查的男生至少有12人.故选A.
【答案】A
5.(考点:排列组合,★★)近期20所高校要来某中学进行高考招生政策宣讲,学校办公室要从小郑、小赵、小李、小汤、小王5名工作人员中选派4人分别从事接待、礼仪、保卫、司机四项不同的工作,若小郑和小赵只能从事前两项工作,其余3人均能从事这四项工作,则不同的选派方案共有( ).
A.48种 B.36种 C.18种 D.12种
【解析】若小郑和小赵只有一人被选派,则共有C21C21A33=24种方案.
若小郑和小赵都被选派,则共有A22A32=12种方案.
综上所述,共有24+12=36种不同的选派方案.故选B.
【答案】B
6.(考点:二项式定理,★★)设a为函数y=sin x+3cos x(x∈R)的最大值,则二项式ax-1x6的展开式中x2的系数是( ).
A.192 B.182 C.-192 D.-182
【解析】y=sin x+3cos x=2sinx+π3,则ymax=2,即a=2.
二项式ax-1x6=2x-1x6的展开式的通项公式为Tr+1=C6r·(2x)6-r·-1xr=C6r·26-r·(-1)r·x3-r.
当3-r=2,即r=1时,T2=C61×25×(-1)·x2=-192x2.
故x2的系数为-192.故选C.
【答案】C
7.(考点:古典概型,★★)某区要从参加扶贫攻坚项目的5名干部A,B,C,D,E中随机选取2人,赴区属的某贫困村进行驻村扶贫工作,则A或B被选中的概率是( ).
A.15 B.25 C.35 D.710
【解析】由题意,基本事件总数n=C52=10.
A或B被选中的对立事件是A和B都没有被选中,故A或B被选中的概率是P=1-C32C52=710.
故选D.
【答案】D
8.
(考点:几何概型,★★)如图所示的2个游戏盘中(图①是半径分别为2和4的两个同心圆,点O为圆心;图②是正六边形,点P为其中心)各有一个玻璃小球,依次摇动2个游戏盘后,将它们水平放置,就完成了一局游戏,则一局游戏后,这2个盘中的小球都停在阴影部分的概率是( ).
A.116 B.18 C.16 D.14
【解析】一局游戏后,这2个盘中的小球停在阴影部分分别记为事件A1,A2,
由题意知,A1,A2相互独立,且P(A1)=14π(42-22)π·42=316,PA2=13,
所以一局游戏后,这2个盘中的小球都停在阴影部分的概率为P(A1A2)=P(A1)P(A2)=316×13=116.故选A.
【答案】A
9.(考点:方差,★★)从装有除颜色外完全相同的3个白球和m个黑球的布袋中随机摸取1个球,有放回地摸取5次,设摸得白球的次数为X,已知E(X)=3,则D(X)=( ).
A.35 B.65 C.45 D.25
【解析】由题意知,X~B5,3m+3,∴E(X)=5×3m+3=3,解得m=2.
∴X~B5,35,∴D(X)=5×35×1-35=65.故选B.
【答案】B
10.(考点:正态分布与数学期望,★★)某面粉供应商供应的某种袋装面粉的质量(单位:kg)服从正态分布N(10,0.12),现抽取500袋样本,X表示抽取的面粉质量在(10,10.2)的袋数,则X的数学期望约为( ).
附:若Z~N(μ,σ2),则P(μ-σb>0)的右焦点为F(c,0),直线y=k(x-c)与双曲线的右支有两个交点,则( ).
A.|k|>ba B.|k|ca D.|k|<ca
【解析】双曲线x2a2-y2b2=1(a>b>0)的渐近线方程为y=±bax,直线y=k(x-c)经过焦点F(c,0),且直线y=k(x-c)与双曲线的右支有两个交点,所以当k>0时,可得k>ba;当k<0时,k<-ba.故|k|>ba.
【答案】A
6.(考点:传统文化,★★)在数学历史上有很多公式都是数学家欧拉发现的,它们都叫作欧拉公式,分散在各个数学分支之中.任意一个凸多面体的顶点数V、棱数E、面数F之间,都满足关系式V-E+F=2,这个等式就是立体几何中的“欧拉公式”.若一个凸二十面体的每个面均为三角形,则由欧拉公式可得该多面体的顶点数为( ).
A.10 B.12 C.15 D.20
【解析】每个面都是三角形,每1个面对应3条棱,又每1条棱被2个三角形面共用,所以共有3×202=30条棱.由欧拉公式可知,V+F-E=2,即V+20-30=2,得V=12.
【答案】B
7.(考点:三视图,★★)已知下图为某几何体的三视图,则其体积为( ).
A.π+23 B.π+13 C.π+43 D.π+34
【解析】
几何体为半圆柱与四棱锥的组合体,其中半圆柱的底面半径为1,高为2,四棱锥的底面为边长为2的正方形,高为1,故几何体的体积V=12×π×12×2+13×22×1=π+43.
【答案】C
8.(考点:函数图象的判断,★★)函数y=1x-ln(x+1)的图象大致为( ).
【解析】由于函数y=1x-ln(x+1)在(-1,0),(0,+∞)上单调递减,故排除B,D;当x=1时,y=1-ln 2>0,故排除C.
【答案】A
9.(考点:线性规划,★★)若x,y满足约束条件2x-y≤1,x+2y≤1,3x+y≥1,则z=3x-y的取值范围为( ).
A.-85,-15 B.-75,-15 C.15,75 D.15,85
【解析】
x,y满足约束条件2x-y≤1,x+2y≤1,3x+y≥1的可行域如图所示,目标函数为z=3x-y,分析可知,z在点A15,25处取得最小值,zmin=3×15-25=15;z在点B35,15处取得最大值,zmax=3×35-15=85.∴15≤z≤85.
【答案】D
10.(考点:数列的综合运用,★★★)已知数列{an}的通项公式为an=log2n+1n(n∈N+),设其前n项和为Sn,则使Sn>5成立的正整数n有( ).
A.最小值64 B.最大值64 C.最小值32 D.最大值32
【解析】由题意可知an=log2n+1n(n∈N+),设{an}的前n项和为Sn,则Sn=log221+log232+…+log2n+1n=log221×32×…×n+1n=log2(n+1)>5=log232,∴n+1>32,即n>31.∴使Sn>5成立的正整数n有最小值32.
【答案】C
11.(考点:抛物线,★★★)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,且F到准线l的距离为2,直线l1:x-my-5=0与抛物线C交于P,Q两点(点P在x轴上方),与准线l交于点R,若|QF|=3,则S△QRFS△PRF=( ).
A.57 B.37 C.67 D.97
【解析】∵抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,且F到准线l的距离为2,∴p=2.∴y2=4x.由|QF|=3=xQ+1,解得xQ=2.联立x-my-5=0,y2=4x,得x2-(4m2+25)x+5=0,∴2xP=5,解得xP=52,
则S△QRFS△PRF=|QR||PR|=xQ+1xP+1=2+152+1=67.
【答案】C
12.
(考点:立体几何的综合运用,★★★)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,棱长为1,点P为线段A1C上的动点(包含线段端点),则下列结论错误的是( ).
A.当A1C=3A1P时,D1P∥平面BDC1
B.当P为A1C的中点时,四棱锥P-AA1D1D的外接球表面为94π
C.AP+PD1的最小值为6
D.当A1P=33时,A1P⊥平面D1AP
【解析】
对于A,连接AB1,B1D1,AD1,则VA-A1B1D1=13×12×12×1=16,S△AB1D1=12×2×2×sin 60°=32,设A1到平面AB1D1的距离为h,则13×32×h=16,解得h=33,又A1C=3,∴h=13A1C.∴当A1C=3A1P时,P为A1C与平面AB1D1的交点.
∵平面AB1D1∥平面BDC1,D1P⊂平面AB1D1,∴D1P∥平面BDC1,∴A正确.又由以上分析可得,当A1P=33时,A1P为三棱锥A1-D1AP的高,∴A1P⊥平面D1AP,∴D正确.
对于B,当P为A1C的中点时,四棱锥P-AA1D1D为正四棱锥,设平面AA1D1D的中心为O,四棱锥P-AA1D1D的外接球半径为R,∴R-122+222=R2,解得R=34,故四棱锥P-AA1D1D的外接球表面积为94π,∴B正确.
对于C,连接AC,D1C,则Rt△A1AC≌Rt△A1D1C,∴AP=D1P,由等面积法得AP的最小值为AA1·ACA1C=63,∴AP+PD1的最小值为263.∴C不正确.
【答案】C
二、填空题
13.(考点:二项式定理,★)在(2-x)6的展开式中,x2的系数是 .(用数字作答)
【解析】在(2-x)6的展开式中,通项公式为 Tr+1=C6r·(-1)r·(2)6-r·xr,令r=2,
求得x2的系数是C62·(2)4=60.
【答案】60
14.(考点:程序框图,★★)阅读下面的程序框图,若输入N的值为26,则输出N的值为 .
【解析】若输入N的值为26,则N是偶数,N=13,N≤2不成立,N=13不是偶数,N=13-12=6,N≤2不成立,N=6是偶数,N=3,N≤2不成立,N=3不是偶数,N=3-12=1,N≤2成立,输出N=1.
【答案】1
15.(考点:解三角形,★★)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知(a+b-c)(a+b+c)=3ab,且c=4,则△ABC面积的最大值为 .
【解析】由题意得(a+b-c)(a+b+c)=3ab,则a2+b2-c2=ab,整理得cos C=a2+b2-c22ab=12.由于01} D.{x|x≥0}
【解析】∵集合M={x|x2-2x≤0}={x|0≤x≤2},N={x|y=log2(x-1)}={x|x>1},∴M∪N={x|x≥0}.
【答案】D
2.(考点:充分必要条件,★)已知直线m,n和平面α,n⊂α,则“m∥n”是“m∥α”的( ).
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
【解析】直线m,n和平面α,n⊂α,则“m∥n”与“m∥α”相互推不出.∴“m∥n”是“m∥α”的既不充分也不必要条件.
【答案】D
3.(考点:直线和圆的综合运用,★)直线ax+y-1=0平分圆x2+y2-2x+4y-13=0的面积,则a=( ).
A.1 B.3 C.3 D.2
【解析】根据题意,圆的方程为x2+y2-2x+4y-13=0,其圆心为(1,-2),若直线ax+y-1=0平分圆x2+y2-2x+4y-13=0的面积,则圆心在直线ax+y-1=0上,则有a-2-1=0,解得a=3.
【答案】B
4.(考点:函数,★)已知函数f(x)=2x+a,x<0,3x,x≥0,若f(f(-1))=9,则a=( ).
A.2 B.4 C.133 D.4或133
【解析】由题意得f(a-2)=9.若a-2<0,即a<2,则2(a-2)+a=9,解得a=133(舍去);若a-2≥0,即a≥2,则3a-2=9,解得a=4.综上,a的值为4.
【答案】B
5.(考点:三角函数图象,★)将函数y=cos2x-π6的图象向左平移φ(0<φ<π)个单位长度后,得到函数y=cos2x+π3的图象,则φ等于( ).
A.π3 B.π6 C.π2 D.π4
【解析】将函数y=cos2x-π6的图象向左平移φ(0<φ<π)个单位长度后,可得y=cos2x+2φ-π6的图象,即函数y=cos2x+π3的图象,根据题意,知2φ-π6=π3,解得φ=π4.
【答案】D
6.(考点:古典概型,★★)某省在高考改革新方案中规定:每位考生的高考成绩是按照“语文、数学、英语”+“6选3”的模式设置的,其中,“6选3”是指从物理、化学、生物、思想政治、历史、地理6科中任选3科.某考生已经确定选一科物理,现在他还要从剩余的5科中再选2科,则在历史与地理两科中至少选一科的概率为( ).
A.310 B.35 C.710 D.45
【解析】5选2共有n=C52=10种结果,历史和地理至少选一科有两种情况:第一种情况为选一科的,共有C21C31=6种结果;第二种情况为两科都选的,结果有C22=1种结果.∴在历史与地理两科中至少选一科的概率为P=6+110=710.
【答案】C
7.(考点:传统文化,★★)田忌赛马是中国古代对策论与运筹思想的著名范例.故事中齐将田忌与齐王赛马,孙膑献策以下马对齐王上马,以上马对齐王中马,以中马对齐王下马,结果田忌一负两胜从而获胜.该故事中以局部的牺牲换取全局的胜利成为军事上一条重要的用兵规律.在比大小游戏中(大者为胜),已知我方的三个数为a=cos θ,b=sin θ+cos θ,c=cos θ-sin θ,对方的三个数以及排序如表:
第一局
第二局
第三局
对方
2
tan θ
sin θ
当0<θ<π4时,则我方必胜的排序是( ).
A.a,b,c B.b,c,a C.c,a,b D.c,b,a
【解析】因为当0<θ<π4时,cos θ-sin θ0},由f(x)=0得ln x2=0即2ln x=0,解得x=1,即函数只有一个零点1,排除B,D.函数f(x)的导数f'(x)=2lnxx'=2-lnxxx,令f'(x)>0得2-ln x>0,即ln x<2,则当02,则当x>e2时,函数f(x)为减函数,排除C.
【答案】A
11.
(考点:点线面的位置关系,★★★)已知圆锥的母线长为2r,底面圆半径长为r,圆心为O,点M是母线PA的中点,AB是底面圆的直径.若点C是底面圆周上一点,且OC与母线PB所成的角为60°,则直线MC与底面所成的角的正弦值为( ).
A.12 B.22或32
C.32 D.12或32
【解析】
连接MO,则MO∥PB,过点M作MD⊥AO,交AO于点D,连接DC,则MD⊥底面AOC,
∴∠MCD是直线MC与底面所成角,又PO=4r2-r2=3r,∴MD=3r2.
∵MO∥PB,∴∠MOC是异面直线OC与PB所成角(或其补角),∴∠MOC=60°或∠MOC=120°.
∵OC=r,OM=r,∴MC=OM2+OC2-2·OM·OC·cos∠MOC,解得MC=r或MC=3r,
∴sin∠MCD=MDMC=32rr=32或sin∠MCD=32r3r=12.故直线MC与底面所成的角的正弦值为32或12.
【答案】D
12.(考点:椭圆,★★★)已知平行四边形ABCD内接于椭圆Ω:x2a2+y2b2=1(a>b>0),且AB,AD斜率之积的范围为-34,-23,则椭圆Ω离心率的取值范围是( ).
A.12,33 B.33,22 C.14,33 D.14,13
【解析】
设点C的坐标为(x1,y1),点D的坐标为(x2,y2),由对称性可得A(-x1,-y1),B(-x2,-y2),则x12a2+y12b2=1,x22a2+y22b2=1,两式相减可得y22-y12x22-x12=-b2a2.
∵AB,AD斜率之积的范围为-34,-23,∴y2-y1x2-x1·y2+y1x2+x1=y22-y12x22-x12=-b2a2∈-34,-23,∴e=ca=1-b2a2∈12,33.
【答案】A
二、填空题
13.(考点:二项式定理,★)若2x2-1xn展开式的二项式系数之和为64,则展开式中的常数项是 .
【解析】若2x2-1xn展开式的二项式系数之和为64,则 2n=64,∴n=6.故展开式中的通项公式为Tr+1=C6r·(-1)r26-r·x12-3r,令12-3r=0,解得r=4,可得常数项为C64·22=60.
【答案】60
14.(考点:平面向量,★★)已知向量a=(1,x),b=(x,x+1),则a·b的最小值为 .
【解析】由题意知a·b=x+x2+x=x2+2x=(x+1)2-1,当x=-1时,a·b取最小值,最小值为-1.
【答案】-1
15.(考点:函数与导数的综合运用,★★★)函数f(x)=12x2-4ln x在[a,a+1]上单调递减,则实数a的取值范围为 .
【解析】由f(x)=12x2-4ln x,得f'(x)=x-4x(x>0),则函数f'(x)在(0,+∞)上为增函数.要使函数f(x)=12x2-4ln x在[a,a+1]上单调递减,则a>0,f'(a+1)=a+1-4a+1≤0,解得0
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