2018-2019学年江苏省启东中学高二下学期期中考试数学试题 解析版

2018-2019学年江苏省启东中学高二下学期期中考试数学试题 解析版

绝密★启用前 江苏省启东中学2018-2019学年高二下学期期中考试数学试题 评卷人 得分 一、单选题 ‎1．函数的单调递减区间是_________．‎ ‎【答案】，‎ ‎【解析】 ，当且时，，故函数的单调递减区间是，。‎ ‎2．从3双鞋子中，任取4只，其中至少有两只鞋是一双，这个事件是________. (填“必然”，“不可能”或“随机”)事件．‎ ‎【答案】必然 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据必然事件定义即可作出判断.‎ ‎【详解】‎ 从3双鞋子中，任取4只，必有两只鞋是一双，‎ 所以这个事件是必然事件，‎ 故答案为：必然 ‎【点睛】‎ 本题考查必然事件的定义，属于基础题.‎ ‎3．当你到一个红绿灯路口时，红灯的时间为20秒，黄灯的时间为5秒，绿灯的时间为35秒，那么你看到红灯的概率是_________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 试验发生包含的事件是总的时间长度为20+5+35秒，满足条件的事件是红灯的时间为20秒，根据等可能事件的概率得到答案．‎ ‎【详解】‎ 解：由题意知本题是一个等可能事件的概率，‎ 试验发生包含的事件是总的时间长度为20+5+35＝60秒，‎ 设红灯为事件A，满足条件的事件是红灯的时间为20秒，‎ 根据等可能事件的概率得到 出现红灯的概率 ．‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查等可能事件的概率，是一个由时间长度之比确定概率的问题，这是几何概型中的一类题目，是最基础的题．‎ ‎4．将一枚质地均匀的硬币先后抛三次，恰好出现一次正面朝上的概率为____.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 每次硬币正面朝上的概率均为，则连续三次抛掷硬币每一次出现正面朝上的概率为，三次中出现正面朝上的次数符合二项分布，恰好出现一次正面朝上的概率： ‎ 故答案为：.‎ ‎5．从1，2，3，4这四个数中一次随机取两个数，则其中一个数是另一个的两倍的概率是______‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 答案：‎ 解析：简单考察古典概型的概率计算，容易题。‎ ‎6．函数的极小值为__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出导函数，明确函数的单调性，从而得到函数的极值.‎ ‎【详解】‎ 由可得：,‎ 令，则 ‎∴在上单调递减，在上单调递增，‎ ‎∴函数的极小值为，‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查利用导数求函数的极值，考查导数的运算，不等式的解法，属于基础题.‎ ‎7．设点是曲线上的任意一点，则到直线的距离的最小值为_________ .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出平行于直线x+y+2＝0且与曲线y＝x﹣2lnx相切的切点坐标，再利用点到直线的距离公式可得结论．‎ ‎【详解】‎ 解：设P（x，y），则y′＝1（x＞0）‎ 令11，解得x＝1，‎ ‎∴y＝1，即平行于直线y＝﹣x﹣2且与曲线y＝x﹣2lnx相切的切点坐标为（1，1）‎ 由点到直线的距离公式可得点P到直线x+y+2＝0的距离的最小值d2．‎ 故答案为：2．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查点到直线的距离公式的应用，函数的导数的求法及导数的几何意义，体现了转化的数学思想．‎ ‎8．某人向边长分别为5,12,13的三角形区域内随机丢一粒芝麻，假设芝麻落在区域内的任意一点是等可能的，则其恰落在离三个顶点距离都大于2的地方的概率为__　.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由题意可知，与三个顶点的距离都小于2的区域的面积恰好为一个半径为2的半圆的面积，即，所以与三个顶点的距离都大于2的区域的面积。‎ 由几何概型的概率公式知其恰落在与三个顶点的距离都大于2的地方的概率为．‎ 答案： ‎ 点睛：应用几何概型求概率的方法 建立相应的几何概型，将试验构成的总区域和所求事件构成的区域转化为几何图形，并加以度量．‎ ‎（1）一个连续变量可建立与长度有关的几何概型，只需把这个变量放在数轴上即可；‎ ‎（2）若一个随机事件需要用两个变量来描述，则可用这两个变量的有序实数对来表示它的基本事件，然后利用平面直角坐标系就能顺利地建立与面积有关的几何概型；‎ ‎（3）若一个随机事件需要用三个连续变量来描述，则可用这三个变量组成的有序数组来表示基本事件，利用空间直角坐标系即可建立与体积有关的几何概型．‎ ‎9．曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为___________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 欲切线与坐标轴所围成的三角形的面积，只须求出切线在坐标轴上的截距即可，故先利用导数求出在x＝0处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．最后求出切线的方程，从而问题解决．‎ ‎【详解】‎ 解：依题意得y′＝ex+1，‎ 因此曲线在点处的切线的斜率等于，‎ 相应的切线方程是y﹣3＝2（x﹣0），‎ 当x＝0时，y＝3‎ 即y＝0时，x＝，‎ ‎∴切线与坐标轴所围成的三角形的面积为：‎ S3×＝．‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查直线的方程、三角形的面积、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程等基础知识，考查运算求解能力．属于基础题．‎ ‎10．已知，函数和存在相同的极值点，则 ‎_______.‎ ‎【答案】3‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)求出函数的导数，可得极值点,通过与有相同的极值点，列方程求的值.‎ ‎【详解】‎ ‎，‎ 则，‎ 令，得或， ‎ 可得在上递增；‎ 可得在递减，极大值点为，极小值点为，‎ 因为函数和存在相同的极值点，‎ 而在处有极大值，‎ 所以，所以 ，故答案为3.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查利用导数判断函数的单调性以及函数的极值，属于中档题.求函数极值的步骤：(1) 确定函数的定义域；(2) 求导数；(3) 解方程求出函数定义域内的所有根；(4) 列表检查在的根左右两侧值的符号，如果左正右负（左增右减），那么在处取极大值，如果左负右正（左减右增），那么在处取极小值. （5）如果只有一个极值点，则在该处即是极值也是最值.‎ ‎11．若函数，则等于___________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用导数的运算法则求出，令x＝1可得，明确原函数与导函数，即可得到结果.‎ ‎【详解】‎ 解：∵‎ ‎∴＝2+2x，‎ 令x＝1得＝2+2，‎ ‎∴＝﹣2，即，＝+2x，‎ ‎∴5，‎ ‎∴‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查导数的运算，考查赋值法，考查计算能力，属于基础题.‎ ‎12．已知函数，若，则实数的取值范围是_________；‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先判断函数是增函数且为奇函数，利用单调性和奇偶性将不等式转化为，解不等式求得的取值范围.‎ ‎【详解】‎ 因函数为增函数，且为奇函数，，，解得.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查函数的单调性，考查函数的奇偶性，考查利用单调性和奇偶性解抽象函数不等式，属于基础题.‎ ‎13．已知定义在上的函数满足，其中是函数的导函数，若，则实数的取值范围为___________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 令h（x），x∈（0，+∞），求出函数的导数，根据函数的单调性求出m的范围即可．‎ ‎【详解】‎ 令，‎ 则，‎ ‎∵，∴，‎ 函数在递减，‎ ‎∴，‎ ‎∴，，‎ ‎∴，即，‎ 故，解得：，‎ ‎∴.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用以及转化思想，是一道中档题．‎ ‎14．已知，若关于的方程恰好有4个不相等的实数解，则实数的取值范围为___________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由十字相乘法得到f（x）＝1或f（x）＝﹣1﹣m，研究函数f（x）的图象，先得到f（x）＝1时，方程只有一个解，则f（x）＝﹣1﹣m恰好有3个不相等的实数解，利用数形结合进行求解即可．‎ ‎【详解】‎ 方程得，‎ 或；‎ 解得，‎ 故方程有3个不是0的根；‎ 当时，‎ ‎，；‎ 故在上单调递增，在上单调递减；‎ ‎，，且时，；‎ 当时，‎ 在上是减函数；故的大致图像如下：‎ 故若使方程有3个不是0的根，‎ 则；‎ 即；所以实数的取值范围为.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查函数与方程的应用，利用十字相乘法进行分解，研究函数f（x）的图象，利用数形结合是解决本题的关键．‎ 评卷人 得分 三、解答题 ‎15．袋中有7个球，其中4个白球，3个红球，从袋中任意取出2个球，求下列事件的概率： ‎ ‎(1) 取出的2个球都是白球； ‎ ‎(2)取出的2个球中1个是白球，另1个是红球．‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）用列举法可得从袋中7个球中一次任意取出2‎ 个球的基本事件的个数，其中取出的2个球均为白球的个数，再利用古典概型的概率计算公式即可得出；‎ ‎（2）用列举法得到取出的2个球中1个是白球，另1个是红球基本事件个数，再利用古典概型的概率计算公式即可得．‎ ‎【详解】‎ 设4个白球的编号为1,2,3,4,3个红球的编号为5,6，7，从袋中的7个小球中任取2个的方法为(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(1,7) ，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(2,7) ，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(3,7) ，(4,5)，(4,6)，(4,7) ，(5,6)， (5,7) ，(6,7) ，共21种．‎ ‎(1)从袋中的7个球中任取2个，所取的2个球全是白球的方法总数，即是从4个白球中任取2个的方法总数，共有6种，即为(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)．∴取出的2个球全是白球的概率为 ‎ ‎(2)从袋中的7个球中任取2个，其中1个为红球，而另1个为白球，其取法包括(1,5)，(1,6)，(1,7) ，(2,5)，(2,6)，(2,7) ，(3,5)，(3,6)，(3,7) ，(4,5)，(4,6) ，(4,7) ，共12种．‎ ‎∴取出的2个球中1个是白球，另1个是红球的概率为.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了古典概型的概率计算方法，考查枚举法，属于基础题．‎ ‎16．已知函数 ，曲线在点处的切线方程为 ，处有极值．‎ ‎（1）求的解析式．‎ ‎（2）求在上的最小值．‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意得到关于a，b的方程组，求解方程组即可确定函数的解析式；‎ 结合中求得的函数解析式研究函数的极值和函数在端点处的函数值确定函数的最小值即可．‎ ‎【详解】‎ ‎，．‎ ‎  ‎ 曲线在点P处的切线方程为，‎ 即 ‎  ‎ 在处有极值，所以，‎ ‎   ‎ 由得，，，‎ 所以 由知．‎ 令，得，．‎ 当时，，单调递增；‎ 当时，；单调递减；‎ 当时，，单调递增.‎ ‎．‎ 又因，所以在区间上的最小值为．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查由函数的切线方程确定函数解析式的方法，利用导数研究函数的最值等，属于中等题．‎ ‎17．已知函数.‎ ‎（1）当时，若方程的有1个实根，求的值；‎ ‎（2）当时，若在上为增函数，求实数 的取值范围．‎ ‎【答案】（1）或；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）易得，考查的图象与直线的位置关系即可；‎ ‎（2）在上为增函数，即在上恒成立，参变分离求最值即可.‎ ‎【详解】‎ ‎(1) ‎ ‎∴ ‎ 当时，‎ 当时，‎ ‎∴在递增，在递减，‎ 又，‎ ‎∵有1个实根，‎ ‎∴或 ‎（2）当时，，‎ ‎∴‎ 又在上为增函数，‎ ‎∴，又 ‎∴，而 ‎ 即 ‎∴‎ 故的取值范围是.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查函数的零点与单调性问题，考查函数与方程的联系，考查不等式恒成立，考查转化能力与计算能力．‎ ‎18．已知函数．‎ ‎（1）若是的极值点， 求函数的单调性；‎ ‎（2）若时，，求的取值范围．‎ ‎【答案】（1）在上单调递减，在上单调递增；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）求出原函数的导函数，结合 f′（1）＝0求得a＝1，代入导函数，得到f′（x），再由y＝x2+ln x﹣1 在（0，+∞）上单调递增，且x＝1时y＝0，可得当0＜x＜1 时，f′（x）＜0，f （x）单调递减；当x＞1 时，f′（x）＞0，f （x）单调递增；‎ ‎（2）由 f （x）≤0，得axa≤0，可得a，令g（x），利用二次求导可得其最小值，则a的范围可求．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）‎ 因为是的极值点，‎ 所以，可得．‎ 所以，. ‎ 因为在上单调递增，且时，，‎ 所以时，，，单调递减；‎ 时， ，，单调递增．‎ 故在上单调递减，在上单调递增． ‎ ‎（2）由得，‎ 因为，所以.‎ 设，‎ 则. ‎ 令，‎ 则，‎ 显然在内单调递减，且，‎ 所以时，，单调递减，‎ ‎ 则，即，‎ 所以在内单减，从而.‎ 所以.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查利用导数研究函数的单调性，考查利用导数求函数的最值，考查数学转化思想方法，是中档题．‎ ‎19．如图是一个半径为2千米，圆心角为的扇形游览区的平面示意图是半径上一点，是圆弧上一点，且.现在线段，线段及圆弧 三段所示位置设立广告位，经测算广告位出租收入是：线段处每千米为元，线段及圆弧处每千米均为元．设弧度，广告位出租的总收入为元．‎ ‎(1)求关于的函数解析式，并指出该函数的定义域；‎ ‎(2)试问：为何值时，广告位出租的总收入最大？并求出其最大值．‎ ‎【答案】（1）；（2）当时，广告位出租的总收入最大，最大值为元.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据题意，利用正弦定理求得OC的值，再求弧长DB，求出函数y的解析式，写出x的取值范围；‎ ‎（2）求函数y的导数，利用导数判断函数的单调性，求出函数的最值和对应x的值．‎ ‎【详解】‎ ‎(1)因为，所以.‎ 在中，，，.‎ 由正弦定理，得，‎ 得，. ‎ 又圆弧长为，‎ 所以 ‎.‎ ‎(2)记，‎ 则，‎ 令，得. ‎ 当变化时，，的变化如下表：‎ 所以在处取得极大值，这个极大值就是最大值，即.‎ 故当时，广告位出租的总收入最大，最大值为元．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了三角函数模型的应用问题，考查利用导数知识处理最值问题，考查函数与方程思想，是中档题．‎ ‎20．已知函数， (为常数)．‎ ‎(1)若函数与函数在处有相同的切线，求实数的值；‎ ‎(2)若，且，求证：；‎ ‎(3)若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】（1）；（2）见解析；（3）.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）由导数几何意义得，因此先求导，再代入得：，，可得结果；（2）构造差函数，证明不等式转化为求其最小值小于零，利用导数求其最大值：，，所以，；（3）不等式恒成立问题，一般利用变量分离转化为对应函数最值问题，也可直接构造差函数，分类讨论最值进行求解.‎ 试题解析：（1），则且． ‎ 所以函数在处的切线方程为：，从而，即． ‎ ‎（2）由题意知：设函数，则． ‎ 设，从而对任意恒成立，‎ 所以，即，因此函数在 上单调递减，于是，所以当时，成立． ‎ ‎（3）设，从而对任意，不等式恒成立． ‎ 当时，恒成立，此时函数单调递增． 于是，不等式对任意恒成立，不符合题意。‎ ‎2）当，即恒成立时，单调递减． ‎ 设，则，，即，符合题意。‎ ‎3）当时，设，则 当时，，单调递增，‎ 所以，故当时，函数单调递增．‎ 于是当时，成立，不符合题意。‎ 综上所述，实数的取值范围为． ‎ ‎21．求下列函数的导函数 ‎（1）； ‎ ‎（2）.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由基本初等函数的导数公式结合简单的复合函数的导数求解；‎ ‎（2）利用基本初等函数的导数公式结合简单的复合函数的导数求解．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）. ‎ ‎（2）.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了导数公式，考查了简单的复合函数的导数，是基础的计算题．‎ ‎22．有4个不同的球，4个不同的盒子，现在要把球全部放入盒内．‎ ‎(1)共有几种放法？‎ ‎(2)恰有一个盒不放球，共有几种放法？‎ ‎【答案】（1）256（2）144‎ ‎【解析】(1)一个球一个球地放到盒子里，每个球都可有4种独立的放法．‎ 由分步计数原理，放法共有44＝256种．‎ ‎(2)为保证“恰有一个盒子不放球”，先从4个盒子中任意拿出去1个；将4个球分为2,1,1三组，有种分法；然后再从三个盒子中选一个放两个球，其余两个各放一个球，两个盒子全排列即可．‎ 由分步计数原理，共有···＝144种放法．‎ 视频 ‎23．在“五四青年节”到来之际，启东中学将开展一系列的读书教育活动.为了解高二学生读书教育情况，决定采用分层抽样的方法从高二年级四个社团中随机抽取12名学生参加问卷调査.已知各社团人数统计如下：‎ ‎ ‎ ‎（1）若从参加问卷调查的12名学生中随机抽取2名，求这2名学生来自同一个社团的概率；‎ ‎（2）在参加问卷调查的12名学生中，从来自三个社团的学生中随机抽取3名，用表示从社团抽得学生的人数，求的分布列和数学期望.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）从四个社团中抽取的人数分别为3，4，2，3，从参加问卷调查的12名学生中随机抽取两名的取法共有种，这两名学生来自同一社团的取法共有，由此能求出这两名学生来自同一个社团的概率；‎ ‎（2）12名学生中来自三个社团的学生共有10名，若从中任取3名，抽取社团的人数服从超几何分布，的取值为由此能求出X的分布列和数学期望．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）社团共有学生名，‎ 抽取12名学生，抽取比例为.‎ 则抽取的12名学生中，社团3名，社团4名，社团2名，社团3名.‎ 则12名学生抽取2名学生，来自同一个社团的概率为 ：.‎ ‎（2）12名学生中来自三个社团的学生共有10名，若从中任取3名，抽取社团的人数服从超几何分布，的取值为 ‎，‎ ‎,‎ ‎，‎ ‎，‎ 则的分布列为 ‎ ‎ 在该超几何分布中，‎ 所以数学期望.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．‎ ‎24．已知二项式.‎ ‎（1）若它的二项式系数之和为，求展开式中系数最大的项；‎ ‎（2）若，求二项式的值被除的余数.‎ ‎【答案】（1）；（2）1.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据二项式系数之和为2n＝128 求得n的值，利用，可得展开式中系数最大的项；‎ ‎（2）利用二项展开式即可得到结果.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）‎ ‎,‎ 展开式中系数最大的项为第项 ‎.‎ ‎（2）‎ 转化为被除的余数，，即余数为.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，系数最大的项，属于中档题．‎