2020届高三模拟考试试卷南京数学(一)

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2020届高三模拟考试试卷南京数学(一)

‎2020届高三模拟考试试卷(一)‎ 数  学 ‎(满分160分,考试时间120分钟)‎ ‎2020.1‎ 参考公式:‎ 柱体体积公式:V=Sh,锥体体积公式:V=Sh,其中S为底面积,h为高.‎ 样本数据x1,x2,…,xn的方差s2=(xi-)2,其中=xi.‎ 一、 填空题:本大题共14小题,每小题5分,共70分.‎ ‎1. 已知集合A=(0,+∞),全集U=R,则∁UA=________.‎ ‎2. 设复数z=2+i,其中i为虚数单位,则z·=________.‎ ‎3. 学校准备从甲、乙、丙三位学生中随机选两位学生参加问卷调查,则甲被选中的概率为________.‎ ‎4. 命题“∀θ∈R,cos θ+sin θ>1”的否定是________(选填“真”或“假”)命题.‎ ‎5. 运行如图所示的伪代码,则输出I的值为________.‎ S←0‎ I←0‎ While S≤10‎ ‎  S←S+I ‎  I←I+1‎ End While Print I ‎  (第5题图)‎ ‎6. 已知样本7,8,9,x,y的平均数是9,且xy=110,则此样本的方差是________.‎ ‎7. 在平面直角坐标系xOy中,若抛物线y2=4x上的点P到其焦点的距离为3,则点P到点O的距离为________.‎ ‎8. 若数列{an}是公差不为0的等差数列,ln a1,ln a2,ln a5成等差数列,则的值为________.‎ 18‎ ‎9. 在三棱柱ABCA1B1C1中,点P是棱CC1上一点,记三棱柱ABCA1B1C1与四棱锥PABB1A1的体积分别为V1与V2,则 =________.‎ ‎10. 设函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,0<φ<)的图象与y轴交点的纵坐标为,y轴右侧第一个最低点的横坐标为,则ω的值为________.‎ ‎11. 已知H是△ABC的垂心(三角形三条高所在直线的交点),=+,则cos∠BAC的值为________.‎ ‎12. 若无穷数列{cos (ωn)}(ω∈R)是等差数列,则其前10项的和为________.‎ ‎13. 已知集合P={(x,y)|x|x|+y|y|=16},集合Q={(x,y)|kx+b1≤y≤kx+b2}.若P⊆Q,则的最小值为________.‎ ‎14. 若对任意实数x∈(-∞,1],都有||≤1成立,则实数a的值为________.‎ 二、 解答题:本大题共6小题,共90分. 解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎15. (本小题满分14分) ‎ 已知△ABC满足sin(B+)=2cos B.‎ ‎(1) 若cos C=,AC=3,求AB的值;‎ ‎(2) 若A∈(0,),且cos(B-A)=,求sin A.‎ ‎16. (本小题满分14分)‎ 18‎ 如图,在长方体ABCDA1B1C1D1中,已知底面ABCD是正方形,点P是侧棱CC1上的一点.‎ ‎(1) 若AC1∥平面PBD,求的值;‎ ‎(2) 求证:BD⊥A1P.‎ 18‎ ‎17. (本小题满分14分)‎ 如图是一块半径为4米的圆形铁皮,现打算利用这块铁皮做一个圆柱形油桶.具体做法是从圆O中裁剪出两块全等的圆形铁皮圆P与圆Q做圆柱的底面,裁剪出一个矩形ABCD做圆柱的侧面(接缝忽略不计),AB为圆柱的一条母线,点A,B在圆O上,点P,Q在圆O的一条直径上,AB∥PQ,圆P,圆Q分别与直线BC,AD相切,都与圆O内切.‎ ‎(1) 求圆形铁皮圆P半径的取值范围;‎ ‎(1) 请确定圆形铁皮圆P与圆Q半径的值,使得油桶的体积最大.(不取近似值)‎ 18‎ ‎18. (本小题满分16分)‎ 设椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,离心率是e,动点P(x0,y0)在椭圆C上运动.当PF2⊥x轴时,x0=1,y0=e.‎ ‎(1) 求椭圆C的方程;‎ ‎(2) 延长PF1,PF2分别交椭圆C于点A,B(A,B不重合).设=λ,=μ,求λ+μ的最小值.‎ 18‎ ‎19. (本小题满分16分)‎ 定义:若无穷数列{an}满足{an+1-an}是公比为q的等比数列,则称数列{an}为“M(q)数列”.设数列{bn}中b1=1,b3=7.‎ ‎(1) 若b2=4,且数列{bn}是“M(q)数列”,求数列{bn}的通项公式;‎ ‎(2) 设数列{bn}的前n项和为Sn,且bn+1=2Sn-n+λ,请判断数列{bn}是否为“M(q)数列”,并说明理由;‎ ‎(3) 若数列{bn}是“M(2)数列”,是否存在正整数m,n,使得<<?若存在,请求出所有满足条件的正整数m,n;若不存在,请说明理由.‎ 18‎ ‎20. (本小题满分16分)‎ 若函数f(x)=ex-ae-x-mx(m∈R)为奇函数,且x=x0时f(x)有极小值f(x0).‎ ‎(1) 求实数a的值;‎ ‎(2) 求实数m的取值范围;‎ ‎(3) 若f(x0)≥-,求实数m的取值范围.‎ 18‎ ‎2020届高三模拟考试试卷(一)‎ 数学附加题 ‎(满分40分,考试时间30分钟)‎ ‎21. 【选做题】 在A,B,C三小题中只能选做两题,每小题10分,共20分.若多做,则按作答的前两题计分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.‎ A. (选修4-2:矩阵与变换)‎ 已知圆C经矩阵M=变换后得到圆C′:x2+y2=13,求实数a的值.‎ B. (选修4-4:坐标系与参数方程)‎ 在极坐标系中,直线ρcos θ+2ρsin θ=m被曲线ρ=4sin θ截得的弦为AB,当AB是最长弦时,求实数m的值.‎ C. (选修4-5:不等式选讲)‎ 已知正实数a,b,c满足++=1,求a+2b+3c的最小值.‎ 18‎ ‎【必做题】 第22,23题,每小题10分,共20分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎22. 如图,AA1,BB1是圆柱的两条母线,A1B1,AB分别经过上下底面圆的圆心O1,O,CD是下底面与AB垂直的直径,CD=2.‎ ‎(1) 若AA1=3,求异面直线A1C与B1D所成角的余弦值;‎ ‎(2) 若二面角A1CDB1的大小为,求母线AA1的长.‎ ‎23. 设(1-2x)i=a0+a1x+a2x2+…+a2nx2n(n∈N*).记Sn=a0+a2+a4+…+a2n.‎ ‎(1) 求Sn;‎ ‎(2) 记Tn=-S1C+S2C-S3C+…+(-1)nSnC,求证:|Tn|≥6n3恒成立.‎ 18‎ ‎2020届高三模拟考试试卷(一)(南京、盐城)‎ 数学参考答案及评分标准 ‎1. (-∞,0] 2. 5 3.  4. 真 5. 6 6. 2 7. 2 8. 3 9.  10. 7 11.  12. 10 13. 4 14. - ‎15. 解:(1) 由sin(B+)=2cos B可知sin B+cos B=2cos B,‎ 移项可得tan B=.‎ 又B∈(0,π),故B=.(2分)‎ 又由cos C=,C∈(0,π)可知sinC==,(4分)‎ 故在△ABC中,由正弦定理=可得 =,所以AB=2.(7分)‎ ‎(2) 由(1)知B=,所以A∈(0,)时,-A∈(0,).‎ 由cos (B-A)=即cos(-A)=可得sin(-A)== ,(10分)‎ 所以sin A=sin[-(-A)]=sincos(-A)-cossin(-A)=×-×=.(14分)‎ ‎16. (1) 解:连结AC交BD于点O,连结OP.‎ 因为AC1∥平面PBD,AC1⊂平面ACC1,‎ 平面ACC1∩平面BDP=OP,所以AC1∥OP.(3分)‎ 因为四边形ABCD是正方形,对角线AC交BD于点O ,‎ 所以点O是AC的中点,所以AO=OC,‎ 所以在△ACC1中,==1.(6分)‎ 18‎ ‎(2) 证明:连结A1C1.‎ 因为ABCDA1B1C1D1为直四棱柱,所以侧棱C1C垂直于底面ABCD.‎ 又BD⊂平面ABCD,所以CC1⊥BD.(8分)‎ 因为底面ABCD是正方形,所以AC⊥BD.(10分)‎ 又AC∩CC1=C,AC⊂平面ACC1A1, CC1⊂平面ACC1A1,‎ 所以BD⊥平面ACC1A1.(12分)‎ 因为P∈CC1,CC1⊂平面ACC1A1,所以P∈平面ACC1A1.‎ 又A1∈平面ACC1A1,所以A1P⊂平面ACC1A1,所以BD⊥A1P.(14分)‎ ‎17. 解:(1) 设圆P半径为r,则AB=4(2-r),‎ 所以圆P的周长2πr=BC≤2,(4分)‎ 解得 r≤,故圆P半径的取值范围是(0,].(6分)‎ ‎(2) 在(1)的条件下,油桶的体积V=πr2·AB=4πr2(2-r),(8分)‎ 设函数f(x)=x2(2-x),x∈(0,],所以f′(x)=4x-3x2.‎ 由于 <,所以f′(x)>0在定义域上恒成立,‎ 故f(x)在定义域上单调递增,即当圆P半径r=时,体积取到最大值.(14分)‎ ‎18. 解:(1) 由当PF2⊥x轴时x0=1,可知c=1,(2分)‎ 将x0=1,y0=e代入椭圆方程得+=1 (*).‎ 而e==,b2=a2-c2=a2-1,代入(*)式得+=1,解得a2=2,故b2=1,‎ ‎∴ 椭圆C的方程为+y2=1.(4分)‎ ‎(2) (解法1)设A(x1,y1),由=λ得故 代入椭圆的方程得+(-λy0)2=1 (**). (8分)‎ 又由+y=1得y=1-,代入(**)式得(λx0+λ+1)2+2λ2(1-x)=2,‎ 化简得3λ2+2λ-1+2λ(λ+1)x0=0,即(λ+1)(3λ-1+2λx0)=0,显然λ+1≠0,‎ ‎∴ 3λ-1+2λx0=0,故λ=.(12分)‎ 18‎ 同理可得u=,故λ+μ=+=≥,‎ 当且仅当x0=0时取等号,故λ+μ的最小值为.(16分)‎ ‎(解法2)由点A,B不重合可知直线PA与x轴不重合,故可设直线PA的方程为x=my-1,‎ 联立消去x得(m2+2)y2-2my-1=0 (***).‎ 设A(x1,y1),则y1与y0为方程(***)的两个实根,‎ 由求根公式可得y0,1=,故y0y1=,则y1=.(8分)‎ 将点P(x0,y0)代入椭圆的方程得+y=1,‎ 代入直线PA的方程得x0=my0-1,∴ m=.‎ 由=λ得-y1=λy0,故λ=-== ‎===.(12分)‎ 同理可得u=,故λ+μ=+=≥,‎ 当且仅当x0=0时取等号,故λ+μ的最小值为.(16分)‎ 注:(1) 也可设P(cos θ,sin θ)得λ=,其余同理.‎ ‎(2) 也可由+=6运用基本不等式求解λ+μ的最小值.‎ ‎19. 解:(1) ∵ b2=4,且数列{bn}是“M(q)数列”,‎ ‎∴ q===1,∴ =1,∴ bn+1-bn=bn-bn-1,(2分)‎ 故数列{bn}是等差数列,公差为b2-b1=3,‎ 故通项公式为bn=1+(n-1)×3,即bn=3n-2.(4分)‎ ‎(2) 由bn+1=2Sn-n+λ得b2=+λ,b3=4+3λ=7,故λ=1.‎ ‎(解法1)由bn+1=2Sn-n+1得bn+2=2Sn+1-(n+1)+1,‎ 18‎ 两式作差得bn+2-bn+1=2bn+1-,即bn+2=3bn+1-.‎ 又b2=,∴ b2=3b1-,∴ bn+1=3bn-对n∈N*恒成立,(6分)‎ 则bn+1-=3(bn-),而b1-=≠0,∴ bn-≠0,∴ =3,‎ ‎∴ {bn-}是等比数列,(8分)‎ ‎∴ bn-=(1-)×3n-1=×3n,‎ ‎∴ bn=×3n+,∴ ==3,‎ ‎∴ {bn+1-bn}是公比为3的等比数列,故数列{bn}是“M(q)数列”.(10分)‎ ‎(解法2)同解法1得bn+1=3bn-对n∈N*恒成立,‎ 则bn+2=3bn+1-,两式作差得bn+2-bn+1=3(bn+1-bn).‎ 而b2-b1=≠0,∴ bn+1-bn≠0,∴ =3,以下同解法1.(10分)‎ ‎(3) 由数列{bn}是“M(2)数列”得bn+1-bn=(b2-b1)×2n-1,‎ 又=2,∴ =2,∴ b2=3,∴ b2-b1=2,∴ bn+1-bn=2n,‎ ‎∴ 当n≥2时,bn=(bn-bn-1)+(bn-1-bn-2)+…+(b2-b1)+b1‎ ‎=2n-1+2n-2+…+2+1=2n-1,‎ 当n=1时上式也成立,故bn=2n-1.(12分)‎ 假设存在正整数m,n使得<<,则<<.‎ 由>>1可知2m-1>2n-1,∴ m>n.又m,n为正整数,∴ m-n≥1.‎ 又==2m-n+<,‎ ‎∴ 2m-n<<3,∴ m-n=1,∴ =2+,∴ <2+<,‎ ‎∴ <2n<2 020,∴ n=10,∴ m=11,‎ 18‎ 故存在满足条件的正整数m,n,m=11,n=10.(16分)‎ ‎20. 解:(1) 由函数f(x)为奇函数,得f(x)+f(-x)=0在定义域上恒成立,‎ 所以 ex-ae-x-mx+e-x-aex+mx=0,化简可得 (1-a)·(ex+e-x)=0,所以a=1.(3分)‎ ‎(2) (解法1)由(1)可得f(x)=ex-e-x-mx,所以f′(x)=ex+e-x-m=,‎ 其中当m≤2时,由于e2x-mex+1≥0恒成立,即f′(x)≥0恒成立,故不存在极小值.(5分)‎ 当m>2时,方程t2-mt+1=0有两个不等的正根t1,t2(t12,取t=ln m,则g(t)=>0.‎ 又函数g(x)的图象在区间[0,t]上连续不间断,故由函数零点存在性定理知在区间(0,t)上,存在x0为函数g(x)的零点,f(x0)为f(x)极小值.‎ 所以m的取值范围是(2,+∞).(9分)‎ ‎(3) 由x0满足ex0+e-x0=m,代入f(x)=ex-e-x-mx, ‎ 消去m可得f(x0)=(1-x0)ex0-(1+x0)e-x0,(11分)‎ 构造函数h(x)=(1-x)ex-(1+x)e-x,‎ 所以h′(x)=x(e-x-ex),当x≥0时,e-x-ex=≤0,‎ 所以当x≥0时,h′(x)≤0恒成立,故h(x)在[0,+∞)上为单调减函数,其中h(1)=-,(13分)‎ 则f(x0)≥-可转化为h(x0)≥h(1),‎ 故x0≤1,由ex0+e-x0=m,设y=ex+e-x,‎ 可得当x≥0时,y′=ex-e-x≥0,y=ex+e-x在(0,1]上递增,故m≤e+.‎ 18‎ 综上,m的取值范围是(2,e+] .(16分)‎ 18‎ ‎2020届高三模拟考试试卷(一)(南京、盐城)‎ 数学附加题参考答案及评分标准 ‎21. A. 解:设圆C上一点(x,y),经矩阵M变换后得到圆C′上一点(x′,y′),‎ 所以=,所以(5分)‎ 又圆C′:x2+y2=13,所以圆C的方程为(ax+3y)2+(3x-2y)2=13,‎ 化简得(a2+9)x2+(6a-12)xy+13y2=13,‎ 所以解得a=2.(10分)‎ B. 解:以极点为原点,极轴为x轴的正半轴(单位长度相同)建立平面直角坐标系,‎ 由直线ρcos θ+2ρsin θ=m,可得直角坐标方程为x+2y-m=0.‎ 又曲线ρ=4sin θ,所以ρ2=4ρsin θ,其直角坐标方程为x2+(y-2)2=4, (5分)‎ 所以曲线ρ=4sin θ是以(0,2)为圆心,2为半径的圆.‎ 为使直线被曲线(圆)截得的弦AB最长,所以直线过圆心(0,2),‎ 于是0+2×2-m=0,解得m=4.(10分)‎ C. 解:因为++=1,所以++=1.‎ 由柯西不等式得a+2b+3c=(a+2b+3c)(++)≥(1+2+3)2,‎ 即a+2b+3c≥36, (5分)‎ 当且仅当==,即a=b=c时取等号,解得a=b=c=6,‎ 所以当且仅当a=b=c=6时,a+2b+3c取最小值36.(10分)‎ ‎22. 解:(1) (1) 以CD,AB,OO1所在直线建立如图所示空间直角坐标系Oxyz. ‎ 由CD=2,AA1=3,所以A(0,-1,0),B(0,1,0),C(-1,0,0),D(1,0,0),A1(0,-1,3),B1(0,1,3),从而=(-1,1,-3),=(1,-1,-3),‎ 18‎ 所以cos〈,〉==,‎ 所以异面直线A1C与B1D所成角的余弦值为.(4分)‎ ‎(2) 设AA1=m>0,则A1(0,-1,m),B1(0,1,m),‎ 所以=(-1,1,-m),=(1,-1,-m),=(2,0,0).‎ 设平面A1CD的一个法向量n1=(x1,y1,z1),‎ 所以 所以x1=0,令z1=1,则y1=m,‎ 所以平面A1CD的一个法向量n1=(0,m,1),‎ 同理可得平面B1CD的一个法向量n2=(0,-m,1).‎ 因为二面角A1CDB1的大小为,‎ 所以=||=,解得m=或m=,‎ 由图形可知当二面角A1CDB1的大小为时, m=.(10分)‎ 注:用传统方法也可,请参照评分.‎ ‎23. (1) 解:令x=1得a0+a1+a2+…+a2n=0.‎ 令x=-1得a0-a1+a2-a3+…-a2n-1+a2n=31+32+…+32n=(9n-1),‎ 两式相加得2(a0+a2+a4+…+a2n)=(9n-1),∴ Sn=(9n-1).(3分)‎ ‎(2) 证明:Tn=-S1C+S2C-S3C+…+(-1)nSnC ‎={[-91C+92C-93C+…+(-1)n9nC]-[-C+C-C+…+(-1)nC]}‎ ‎={[90C-91C+92C-93C+…+(-1)n9nC]-[C-C+C-C+…+(-1)nC]}‎ ‎=[90C-91C+92C-93C+…+(-1)n9nC]‎ ‎=[C(-9)0+C(-9)1+C(-9)2+…+C(-9)n]‎ ‎=[1+(-9)]n=×(-8)n(7分)‎ 18‎ 要证|Tn|≥6n3,即证×8n≥6n3,只需证明8n-1≥n3,即证2n-1≥n,‎ 当n=1,2时,2n-1≥n显然成立;‎ 当n≥3时,2n-1=C+C+…+C≥C+C=1+(n-1)=n,即2n-1≥n,‎ ‎∴ 2n-1≥n对n∈N*恒成立.‎ 综上,|Tn|≥6n3恒成立.(10分)‎ 注:用数学归纳法或数列的单调性也可证明2n-1≥n恒成立,请参照评分.‎ 18‎
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