2020届二轮复习(文)直线与圆作业

2020届二轮复习(文)直线与圆作业

专题限时集训(九)　直线与圆 ‎[专题通关练]‎ ‎(建议用时：30分钟)‎ ‎1．(2019·长春模拟)过点P(0,1)的直线l与圆(x－1)2＋(y－1)2＝1相交于A，B两点，若|AB|＝，则该直线的斜率为(　　)‎ A．±1　　　　B．±　　　　C．±　　　　D．±2‎ A　[由题意，设直线l的方程为y＝kx＋1，‎ 因为圆(x－1)2＋(y－1)2＝1的圆心为(1,1)，半径为r＝1，‎ 又弦长|AB|＝，‎ 所以圆心到直线的距离为d＝＝＝.‎ 所以有＝，‎ 解得k＝±1.]‎ ‎2．已知圆M：x2＋y2－2ay＝0(a＞0)截直线x＋y＝0所得线段的长度是2，则圆M与圆N：(x－1)2＋(y－1)2＝1的位置关系是(　　)‎ A．内切 B．相交 C．外切 D．相离 B　[圆M：x2＋y2－2ay＝0(a＞0)可化为x2＋(y－a)2＝a2，由题意，M(0，a)到直线x＋y＝0的距离d＝，所以a2＝＋2，解得a＝2.所以圆M：x2＋(y－2)2＝4，所以两圆的圆心距为，半径和为3，半径差为1，故两圆相交．]‎ ‎3．(2019·江阴模拟)点P是直线x＋y－2＝0上的动点，点Q是圆x2＋y2＝1上的动点，则线段PQ长的最小值为(　　)‎ A.－1 B．‎1 C.＋1 D．2‎ A　[根据题意，圆x2＋y2＝1的圆心为(0,0)，半径r＝1，圆心(0,0)到直线x＋y－2＝0的距离d＝＝，‎ 则线段PQ长的最小值为－1，故选A.]‎ ‎4．[一题多解]在平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线x－ky＋1＝0与圆 C：x2＋y2＝4相交于A，B两点，＝＋，若点M在圆C上，则实数k的值为(　　)‎ A．－2 B．－‎1 C．0 D．1‎ C　[法一：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，‎ 由得(k2＋1)y2－2ky－3＝0，‎ 则Δ＝4k2＋12(k2＋1)＞0，y1＋y2＝，x1＋x2＝k(y1＋y2)－2＝－，因为＝＋，‎ 故M，又点M在圆C上，‎ 故＋＝4，解得k＝0.‎ 法二：由直线与圆相交于A，B两点，＝＋，且点M在圆C上，得圆心C(0,0)到直线x－ky＋1＝0的距离为半径的一半，为1，即d＝＝1，解得k＝0.]‎ ‎5．(2019·惠州模拟)已知直线4x＋3y＋1＝0被圆C：(x＋3)2＋(y－m)2＝13(m＜3)所截得的弦长为4，且P为圆C上任意一点，点A为定点(2,0)，则|PA|的最大值为(　　)‎ A.－ B．5＋ C．2＋ D.＋ D　[根据题意，圆C：(x＋3)2＋(y－m)2＝13的圆心C为(－3，m)，半径r＝，若直线4x＋3y＋1＝0被圆C：(x＋3)2＋(y－m)2＝13(m＜3)所截得的弦长为4，则圆心到直线的距离d＝＝1，‎ 则有＝1，解可得：m＝2或m＝(舍)，‎ 则m＝2.‎ 点A为定点(2,0)，则|AC|＝＝，‎ 则|PA|的最大值为|AC|＋r＝＋.‎ 故选D.]‎ ‎6．过点C(3,4)作圆x2＋y2＝5的两条切线，切点分别为A，B，则点C到直线AB的距离为________．‎ ‎4　[以OC为直径的圆的方程为2＋(y－2)2＝2，AB为圆C与圆O：x2＋y2＝5的公共弦，所以AB的方程为x2＋y2－＝5－，化简得3x＋4y－5＝0，‎ 所以点C到直线AB的距离 d＝＝4.]‎ ‎7．已知直线l：ax－3y＋12＝0与圆M：x2＋y2－4y＝0相交于A，B两点，且∠AMB＝，则实数a＝________.‎ ‎±　[直线l的方程可变形为y＝ax＋4，所以直线l过定点(0,4)，且该点在圆M上．圆的方程可变形为x2＋(y－2)2＝4，所以圆心为M(0,2)，半径为2.如图，因为∠AMB＝，所以△AMB是等边三角形，且边长为2，高为，即圆心M到直线l的距离为，所以＝，解得a＝±.]‎ ‎8．已知圆O：x2＋y2＝4上到直线l：x＋y＝a的距离等于1的点至少有2个，则实数a的取值范围为________．‎ ‎(－3，3)　[由圆的方程可知圆心为(0,0)，半径为2.因为圆O上到直线l的距离等于1的点至少有2个，所以圆心到直线l的距离d＜r＋1＝2＋1，即d＝＝＜3，解得a∈(－3，3)．]‎ ‎[能力提升练]‎ ‎(建议用时：15分钟)‎ ‎9．(2019·武汉模拟)已知圆C经过点A(0,0)，B(7,7)，圆心在直线y＝x上．‎ ‎(1)求圆C的标准方程；‎ ‎(2)若直线l与圆C相切且与x，y轴截距相等，求直线l的方程．‎ ‎[解]　(1)根据题意，设圆C的圆心为(a，b)，半径为r，则其标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，‎ 因为圆C经过点A(0,0)，B(7,7)，圆心在直线y＝x上，‎ 则有解得 则圆C的标准方程为(x－3)2＋(y－4)2＝25.‎ ‎(2)若直线l与圆C相切且与x，y轴截距相等，‎ 分2种情况讨论：‎ ‎①直线l经过原点，设直线l的方程为y＝kx，则有＝5，‎ 解得k＝－，此时直线l的方程为y＝－x；‎ ‎②直线l不经过原点，设直线l的方程为x＋y－m＝0，则有＝5，解得m＝7＋5或7－5，‎ 此时直线l的方程为x＋y＋5－7＝0或x＋y－5－7＝0.‎ 综上可得：直线l的方程为y＝－x或x＋y＋5－7＝0或x＋y－5－7＝0.‎ ‎10．(2019·南昌模拟)如图，已知圆O的圆心在坐标原点，点M(，1)是圆O上的一点．‎ ‎(1)求圆O的方程；‎ ‎(2)若过点P(0,1)的动直线l与圆O相交于A，B两点．在平面直角坐标系xOy内，是否存在与点P不同的定点Q，使得＝恒成立？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎[解]　(1)点M(，1)是圆O上的一点，可得圆O的半径为＝2，‎ 则圆O的方程为x2＋y2＝4.‎ ‎(2)若直线l的斜率为0，可得直线方程为y＝1，A(，1)，B(－，1)，‎ 由|PA|＝|PB|，可得|QA|＝|QB|，即Q在y轴上，设Q(0，m)，‎ 若过点P(0,1)的动直线l的斜率不存在，设直线方程为x＝0，‎ 则A(0,2)，B(0，－2)，由＝可得 ＝，解得m＝1或4，由Q与P不重合，可得Q(0,4)，‎ 下证斜率存在且不为0的直线与圆的交点，也满足＝成立．‎ 若直线的斜率存在且不为0，可设直线方程为y＝kx＋1，‎ 联立圆x2＋y2＝4，可得(1＋k2)x2＋2kx－3＝0，‎ 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，‎ 可得x1＋x2＝－，x1x2＝－，‎ 由kQA＋kQB＝＋＝＋ ‎＝2k－3＝2k－3·＝2k－3·＝0，‎ 可得QA和QB关于y轴对称，即＝成立．‎ 综上可得，存在定点Q，点Q的坐标为(0,4).‎ 题号 内容 押题依据 ‎1‎ 圆与圆的位置关系、圆的切线 高考对圆与圆的位置关系及切线的考查属于冷考点内容，多年没直接考查，今年考查的可能性较大，本题以两圆的位置关系为背景，借助平面几何的基础知识，考查了数形结合思想，考查了考生的数学运算、直观想象、逻辑推理核心素养 ‎2‎ 圆的方程、轨迹方程、直线与圆的位置关系、平面向量、直线与椭圆的位置关系 圆与椭圆的综合问题，是近几年高考的一个热点．本题以圆为背景，综合考查椭圆的定义及标准方程、直线与圆锥曲线的位置关系，考查逻辑推理和数学运算核心素养，综合性强 ‎【押题1】　若⊙O1：(x－1)2＋(y＋2)2＝1与⊙O2：(x－a)2＋(y＋2)2＝4(a∈R)相交于A，B两点，且两圆在点A处的切线互相垂直，则线段AB的长度是________．‎ 　[由两圆在点A处的切线互相垂直，可知两切线分别过另一圆的圆心，即AO1⊥AO2.‎ 连接O1O2(图略)，在Rt△AO1O2中，AO1＝1，AO2＝2，AO1⊥AO2，‎ 所以O1O2＝＝，所以△AO1O2斜边上的高h＝，所以AB＝2h＝.‎ 所以线段AB的长度是.]‎ ‎【押题2】　已知圆(x＋1)2＋y2＝16的圆心为M，点P是圆M上的动点，点N(1,0)，点G在线段MP上，且满足(＋)⊥(－)．‎ ‎(1)求点G的轨迹C的方程；‎ ‎(2)过点D(0,2)的直线l与曲线C交于A，B两点，若以AB为直径的圆恰好过原点O，求直线l的方程．‎ ‎[解]　(1)因为(＋)⊥(－)，所以(＋)·(－)＝0，即2－2＝0，所以||＝||，所以|GM|＋|GN|＝|GM|＋|GP|＝|MP|＝4＞2＝|MN|，‎ 所以点G在以M，N为焦点，长轴长为4的椭圆上．‎ 可设椭圆方程为＋＝1(a＞b＞0)，则‎2a＝4,‎2c＝2，即a＝2，c＝1，则b2＝3，‎ 所以点G的轨迹C的方程为＋＝1.‎ ‎(2)由题意知，直线l的斜率必存在，设直线l的方程为y＝kx＋2，‎ 由消去y可得(3＋4k2)x2＋16kx＋4＝0，‎ 由Δ＞0得k2＞.(*)‎ 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝－，x1x2＝，‎ 因为以AB为直径的圆恰好过原点O，所以OA⊥OB，即·＝0，则有x1x2＋y1y2＝0，‎ 所以x1x2＋(kx1＋2)(kx2＋2)＝0，(1＋k2)x1x2＋2k(x1＋x2)＋4＝0，得－＋4＝0，即4(1＋k2)－32k2＋4(3＋4k2)＝0，‎ 解得k2＝，满足(*)式，所以k＝±.‎ 故直线l的方程为y＝±x＋2.‎