人教A版选修1-11-3导数的几何意义（含答案）

人教A版选修1-11-3导数的几何意义（含答案）

§3．1．3 导数的几何意义 【学情分析】： 上一节课已经学习了导数定义，以及运用导数的定义来求导数。 【教学目标】： 1.了解曲线的切线的概念 2.掌握用割线的极限位置上的直线来定义切线的方法． 3.并会求一曲线在具体一点处的切线的斜率与切线方程 【教学重点】： 理解曲线在一点处的切线的定义，以及曲线在一点处的切线的斜率的定义.光滑曲线的切线斜率是了解 导数概念的实际背景．导数的几何意义及“数形结合，以直代曲”的思想方法. 【教学难点】： 发现、理解及应用导数的几何意义,会求一条具体的曲线在某一点处的切线斜率. 【教学过程设计】： 教学环节 教学活动 设计意 图 (1)复习引入 圆与圆锥曲线的切线定义:与曲线只有一个公共点并且位于曲线一边 的直线叫切线 曲线的切线 如图，设曲线 c 是函数 ( )y f x 的图象，点 0 0( , )P x y 是曲线 c 上 一点作割线 PQ 当点 Q 沿着曲线 c 无限地趋近于点 P，割线 PQ 无限地趋 近于某一极限位置 PT 我们就把极限位置上的直线 PT，叫做曲线 c 在点 P 处的切线 为课题 引入作 铺垫. 如图，设曲线 c 是函数 ( )y f x 的图象，点 0 0( , )P x y 是曲线 c 上一点 作割线 PQ 当点 Q 沿着曲线 c 无限地趋近于点 P，割线 PQ 无限地趋近于 某一极限位置 PT 我们就把极限位置上的直线 PT，叫做曲线 c 在点 P 处 的切线 y=f(x)   x  y Q M P x O y y=f(x)   x  y Q M P x O y （2）讲解导数 的几何意义 2.确定曲线 c 在点 0 0( , )P x y 处的切线斜率的方法： 因为曲线 c 是给定的，根据解析几何中直线的点斜是方程的知识， 只要求出切线的斜率就够了设割线 PQ 的倾斜角为  ，切线 PT 的倾斜角 为 ，既然割线 PQ 的极限位置上的直线 PT 是切线，所以割线 PQ 斜 率的极限就是切线 PQ 的斜率 tan ,即 tan = 0 limx   x y 0 limx 0( ) ( )f x x f x x     我们可以从运动的角度来得到切线，所以可以用极限来定义切线， 以及切线的斜率.那么以后如果我们碰到一些复杂的曲线，也可以求出它 在某一点处的切线了. 3．说明：(1) x y   是函数 )(xfy  对自变量 x 在 x 范围内的平均变 化 率 ， 它 的 几 何 意 义 是 过 曲 线 )(xfy  上 点 （ )(, 00 xfx ） 及 点 )(,( 00 xxfxx  ）的割线斜率. (2)导数 x xfxxfxf x    )()(lim)( 00 00 / 是函数 )(xfy  在点 0x 的 处瞬时变化率，它反映的函数 )(xfy  在点 0x 处变化的快慢程度.它的 几何意义是曲线 )(xfy  上点（ )(, 00 xfx ）处的切线的斜率因此，如 果 )(xfy  在点 0x 可导，则曲线 )(xfy  在点（ )(, 00 xfx ）处的切线 方程为 ))(()( 00 / 0 xxxfxfy  指导学 生理解 导数的 几何意 义，可 以讨论 (3) 讲解范例 例 1、曲线的方程为 y=x2+1，那么求此曲线在点 P(1，2)处的切线的 斜率，以及切线的方程. 解 ： k= x xfxxf x    )()(lim 00 0 2 2 0 0 (1 ) (1) (1 ) 1 (1 1)lim limx x f x f x x x              2 0 0 ( ) 2lim lim( 2) 2x x x x xx           通过例 子，更 深入理 解导数 的概念 ∴切线的斜率为 2. 切线的方程为 y－2=2(x－1)，即 y=2x. 例 2、求曲线 f(x)=x3+2x+1 在点(1，4)处的切线方程. 解 :k= x fxf x xfxxf xx     )1()1(lim)()(lim 0 00 0 3 3 0 (1 ) 2(1 ) 1 (1 2 1 1)limx x x x             2 3 0 5 3( ) ( )limx x x x x        2 0 lim[5 3 ( ) ] 5x x x        ∴切线的方程为 y－4=5(x－1)， 即 y=5x－1 例 3、求曲线 f(x)= 3 1 x3－x2+5 在 x=1 处的切线的倾斜角. 分析：要求切线的倾斜角，也要先求切线的斜率，再根据斜率 k=tana， 求出倾斜角 a. 解：∵tana= x fxf x xfxxf xx     )1()1(lim)()(lim 0 00 0 3 2 0 1 1(1 ) (1 ) 5 ( 1 5)3 3limx x x x             3 0 1 ( )3limx x x x       2 0 1lim[ ( ) 1] 13x x       ∵a∈［0，π ) ，∴a= 4 3 π. ∴切线的倾斜角为 4 3 π. (4)课堂小结 导数的几何意义，怎么求曲线的切线。 补充题目: 1．导数 )( 0 / xf 的本质是什么？请写数学表达式。导数的本质是函数 )(xf 在 处的 即： ２．函数 )(xf 平均变化率 x xfxxf   )()( 00 的几何意义是什么，请在函数图像中画出来。 y )( 0xf O 0x x 3．导数 )( 0 / xf 的几何意义是什么？导数 )( 0 / xf 的几何意义是 4．在函数 105.69.4)( 2  ttth 的图像上，（1）用图形来体现导数 3.3)1(/ h ， 6.1)5.0(/ h 的几何意义，并用数学语言表述出来。（2）请描述、比较曲线 )(th 在 210 ,, ttt . 附近增（减）以及增（减）快慢的情况。在 43 ,tt 附近呢？ )(xf 1）平均变化率 x xfxxf   )()( 00 的几何意义： 2）当 0x 时，观察图形变化。 （说明：要求学生动脑（审题），动手（画切线），动口（讨论、描述运动员的运动状态），体 会利用导数的几何意义解释实际问题，渗透“数形结合”、“以直代曲”的思想方法。） 5．如图表示人体血管中的药物浓度 )(tfc  （单位： mLmg / ）随时间t （单位： min ）变 化的函数图像，根据图像，估计 8.0,6.0,4.0,2.0t （min）时，血管中药物浓度的瞬时变化 率，把数据用表格的形式列出。(精确到 0.1) t 0.2 0.4 0. 6 0.8 药物浓度的 瞬时变化率 （说明：要求学生动脑（审题），动手（画切线），动口（说出如何估计切线斜率），进一步体 会利用导数的几何意义解释实际问题，渗透“数形结合”、“以直代曲”的思想方法。） (以上几题可以让学生在课堂上完成) 6. 求下列曲线在指定点处的切线斜率. (1)y=－ 3x +2, x＝２处 （２）y＝ 1 1 x ，x＝０处． 答案：(1)k=－１２，（２）k=－１ h tO 3t 4t 0t 1t 2t 7．已知曲线 y=2x2 上一点 A(1，2)，求(1)点 A 处的切线的斜率.(2)点 A 处的切线方程. 解：(1)k= x x x fxf xx     22 00 12)1(2lim)1()1(lim 4)24(lim)(24lim 0 2 0    xx xx xx ∴点 A 处的切线的斜率为 4. (2)点 A 处的切线方程是 y－2=4(x－1)即 y=4x－2 8.求曲线 y=x2+1 在点 P(－2，5)处的切线方程. 解：k= x x x fxf xx     1)2(1)2(lim)2()2(lim 22 00 4)4(lim)(4lim 0 2 0    xx xx xx ∴切线方程是 y－5=－4(x+2)，即 y=－4x－3.