重庆市直属校（重庆市第八中学等）2020届高三下学期3月月考数学（文）试题 Word版含解析

重庆市直属校（重庆市第八中学等）2020届高三下学期3月月考数学（文）试题 Word版含解析

www.ks5u.com 高2020级高三（下）3月月考 文科数学试题 第Ⅰ卷（选择题，共60分）‎ 一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分）‎ ‎1.设集合，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 化简集合A，B，根据交集计算即可.‎ ‎【详解】,‎ 故选：C ‎【点睛】本题主要考查了集合的交集运算，属于容易题.‎ ‎2.在复平面内，复数对应的点位于 A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用复数的运算法则、几何意义即可得出．‎ ‎【详解】在复平面内，复数==1﹣i对应的点（1，﹣1）位于第四象限．‎ 故选D．‎ ‎【点睛】本题考查了复数的运算法则、几何意义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．‎ ‎3.古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米2016石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得270粒内夹谷30粒，则这批米内夹谷约为（ ）‎ A. 222石 B. 224石 C. 230石 D. 232石 - 21 -‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据270粒内夹谷30粒，可得2016石的夹谷约为石，即可得到答案．‎ ‎【详解】由题意可知，2016石的夹谷约为石．‎ 故选：B．‎ 点睛】本题主要考查了简单随机抽样，用样本估计总体，属于容易题．‎ ‎4.若实数满足，则最大值是（ ）‎ A. B. 0 C. D. 2‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，表示直线在轴上的截距，只需求出可行域直线在轴上的截距最大值即可．‎ ‎【详解】先根据约束条件画出可行域，如图：‎ 由得：，‎ 根据截距的几何意义可知，‎ 当直线过点时，‎ 有最大值，‎ - 21 -‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】本题主要考查线性规划问题，以及利用几何意义求最值，属于中档题．‎ ‎5.设为坐标原点，为抛物线的焦点，若点满足，则为（ ）‎ A. B. 2 C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由抛物线方程得到焦点坐标，根据向量的数量积运算即可求出a.‎ ‎【详解】由知，焦点，‎ 所以，‎ 解得，‎ 故选：C ‎【点睛】本题主要考查了抛物线简单几何性质，数量积的坐标运算，属于容易题.‎ ‎6.设等比数列的前项和为，若，则（ ）‎ A. B. 16 C. 12 D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由知，公比，由计算，代入求值即可.‎ ‎【详解】因为等比数列的前项和为，且，‎ 所以,且，‎ 解得：，‎ - 21 -‎ 所以 故选：D ‎【点睛】本题主要考查了等比数列求和公式，考查了运算能力，属于中档题.‎ ‎7.在中，，，则的最大值是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据余弦定理求出，利用基本不等式求的最值，即可求解.‎ ‎【详解】由余弦定理知，当且仅当时，取等号，‎ 因为,‎ 故A的最大值为，‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】本题主要考查余弦定理，均值不等式，余弦函数的单调性，属于中档题．‎ ‎8.函数的部分图象如下图所示，则函数的解析式为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ - 21 -‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由图象可得周期，求出可排除B、C，再利用过点区分选项A、D即可.‎ ‎【详解】由图象知, ,‎ 所以，得，故排除选项B、C，‎ 又图象过点，代入选项A不成立，代入选项D成立，‎ 故选：D ‎【点睛】本题主要考查了三角函数的图象与性质，由图象求解析式，属于中档题.‎ ‎9.棱长为的正方体中，点分别为棱的中点，则过三点的平面截正方体所得截面面积为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意作出截面图形，截面为正六边形，求其面积即可.‎ ‎【详解】如图，作出过三点的平面截面图，‎ 由图可知，截面为正六边形，边长为，‎ 所以截面面积，‎ 故选：C - 21 -‎ ‎【点睛】本题主要考查了截面的性质，正六边形的面积，考查了空间想象力，属于中档题.‎ ‎10.若，，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 计算，根据正弦函数的单调性即可比较大小.‎ ‎【详解】,,‎ ‎,,‎ ‎,‎ ‎,‎ ‎,‎ ‎,‎ 故选：B ‎【点睛】本题主要考查了同角三角函数的基本关系，正弦的二倍角公式，正弦函数的单调性，属于中档题.‎ ‎11.已知双曲线右焦点为，过原点的直线与交于两点，若，，则双曲线的离心率为（ ）‎ A. B. 2 C. D. 3‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据条件求出，利用双曲线的对称性可知，建立关系，求解即可.‎ - 21 -‎ ‎【详解】连接,如图，‎ 由双曲线对称性可知，，‎ 所以，‎ 又，，‎ 代入双曲线方程可得：，‎ 由双曲线定义知，‎ 故，‎ 又在直角三角形中，，‎ 所以，‎ 整理可得：，‎ 所以，‎ 故选：C ‎【点睛】本题主要考查了双曲线的定义，简单几何性质，考查了运算能力，属于中档题.‎ ‎12.已知函数是定义在上的奇函数，且在单调递增.设，当时，恒有，则的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ - 21 -‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 结合奇函数的性质，函数为增函数，对分类讨论，即可求解.‎ ‎【详解】因为函数是定义在上的奇函数，且在单调递增，‎ 所以，在上为增函数，‎ 由题意得，，否则不成立，‎ 当时，，‎ ‎，且，‎ ‎，‎ 即时，恒成立，‎ 当时，，‎ ‎，且，‎ ‎，‎ 故当时，不成立.‎ 综上所述，‎ ‎【点睛】本题主要考查了函数奇偶性的性质，函数单调性的应用，属于中档题.‎ 第Ⅱ卷（非选择题，共90分）‎ 二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）‎ ‎13.已知向量与的夹角为120°，且，则_____.‎ ‎【答案】﹣5‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用向量模的坐标运算、向量数量积的运算公式，计算出.‎ ‎【详解】因为向量与夹角为120°，且，‎ - 21 -‎ 所以：||；‎ 则cos120°＝10×（）＝；‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本小题主要考查向量模的坐标运算，考查向量数量积的计算，属于基础题.‎ ‎14.古人认为，天下万物皆由金、木、水、火、土五类元素组成，如图，分别是金、木、水、火、土彼此之间存在的相生相克的关系.若从5类元素中任选2类元素，则2类元素相克的概率为________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 通过列举法可得所有的取法共有10种，而取出的两种相克的取法共有5种，由此即可求解．‎ ‎【详解】从5类元素中任选2类元素有的取法共有金，木，金，水，金，火，金，土，木，水，木，火，木，土，水，火，水，土，火，土，共10种，‎ 而取出的两类相克的取法有金，木，木，土，土，水，水，火，火，金，共5种，‎ 故取出的这2类元素相克的概率为，‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查古典概型及其概率计算公式的应用，属于中档题．‎ ‎15.分别是关于的方程和的根，则________.‎ ‎【答案】5‎ ‎【解析】‎ - 21 -‎ ‎【分析】‎ 根据题意得出是函数与与交点的横坐标，结合与的图像关于轴对称，即可求出结果．‎ ‎【详解】 分别是方程和的根，‎ 即分别是方程和的根，‎ ‎ 是函数与与，交点的横坐标，‎ 与的图像关于轴对称，‎ 与的交点与与交点关于对称，‎ 由得，‎ ‎ ，即 故答案为：．‎ ‎【点睛】本题考查函数的零点与方程根的关系，反函数图象间的关系，数形结合的思想，属于难题.‎ ‎16.已知某圆柱轴截面的周长为12，当该圆柱体积最大时其侧面积为________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设圆柱底面半径为，高为，由题意知，利用导数求体积最大时等号成立的条件，计算此条件下圆柱侧面积即可.‎ ‎【详解】设圆柱底面半径为，高为，‎ 则，‎ ‎，‎ ‎，‎ 当时，，函数是增函数，‎ 当时，，函数为减函数 - 21 -‎ 所以当时，有极大值，也为最大值，‎ 此时侧面积，‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查了圆柱的轴截面性质、体积计算公式、侧面积公式，利用导数求最值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.‎ 三、解答题：（本大题共6小题共70分）‎ ‎17.已知数列满足，，，数列满足，，且数列是等差数列.‎ ‎（1）求数列和的通项公式；‎ ‎（2）令，求数列的前项和.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据等比数列定义求出，再利用是等差数列求出数列的通项公式；‎ ‎（2）写出，得，利用分组求和及裂项相消法即可求解.‎ ‎【详解】（1）由题意得，是以2为首项，2为公比的等比数列，，‎ ‎，，是等差数列，‎ ‎，‎ ‎（2），‎ 又 - 21 -‎ ‎【点睛】本题主要考查了等比数列，等差数列的定义、性质，分组求和，裂项相消法求和，属于中档题.‎ ‎18.如图，四边形为平行四边形，点在上，，且.以为折痕把折起，使点到达点的位置，且.‎ ‎（1）求证：平面平面；‎ ‎（2）若直线与平面所成角的正切值为，求点到平面的距离.‎ ‎【答案】（1）见解析（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）先证明面，得，再证，即可得面，得证；‎ ‎（2）找到并证明线面角为，求出，由利用等体积法求点到平面的距离.‎ ‎【详解】（1），，‎ 面，‎ 又，，，‎ ‎，，，‎ 面 又面，‎ 面面 ‎（2）面，‎ 直线与面的所成角为，‎ - 21 -‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，则 ‎【点睛】本题主要考查了线面垂直、面面垂直的证明，线面角，等体积法求高，属于中档题.‎ ‎19.某企业有甲、乙两套设备生产同一种产品，为了检测两套设备的生产质量情况，随机从两套设备生产的大量产品中各抽取了50件产品作为样本，检测一项质量指标值，若该项质量指标值落在内，则为合格品，否则为不合格品.现统计得到相关统计情况如下：‎ 甲套设备的样本的频率分布直方图 乙套设备的样本的频数分布表 质量指标值 频数 ‎1‎ ‎6‎ ‎19‎ ‎18‎ ‎5‎ ‎1‎ ‎（1）根据上述所得统计数据，计算产品合格率，并对两套设备的优劣进行比较；‎ ‎（2）填写下面列联表，并根据列联表判断是否有95%的把握认为该企业生产的这种产品的质量指标值与甲、乙两套设备的选择有关.‎ - 21 -‎ 甲套设备 乙套设备 合计 合格品 不合格品 合计 附：‎ ‎0.15‎ ‎0.10‎ ‎0.050‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎2.072‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ 参考公式：，其中 ‎【答案】（1）甲合格率0.86，乙的合格率0.96，乙套设备比甲套设备更优秀.（2）见解析，没有 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据频率分布直方图和频数分布表，计算合格率，即可得出结论;‎ ‎（2）填写联表，计算，比较临界值即可得出结论.‎ ‎【详解】（1）甲的合格率，乙的合格率，‎ 由合格率可以看出，乙套设备比甲套设备更优秀.‎ ‎（2）‎ 甲套设备 乙套设备 合计 合格品 ‎43‎ ‎48‎ ‎91‎ 不合格品 ‎7‎ ‎2‎ ‎9‎ - 21 -‎ 合计 ‎50‎ ‎50‎ ‎100‎ ‎，‎ 所以没有95%的把握认为该企业生产的这种产品的质量指标值与甲、乙两套设备的选择有关.‎ ‎【点睛】本题主要考查了统计与独立性检验的相关知识，也考查了对数据处理能力的应用问题，属于中档题.‎ ‎20.已知椭圆的左、右焦点分别为，过点的直线与交于两点.的周长为8，且的最小值为3.‎ ‎（1）求椭圆的标准方程；‎ ‎（2）设椭圆的右顶点为，直线分别交直线于两点，当的面积是面积的5倍时，求直线的方程.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ 分析】‎ ‎（1）根据过椭圆焦点弦的性质可知三角形周长为，垂直对称轴时最短为计算即可；‎ ‎（2）联立直线与椭圆方程，由韦达定理可得，，再由三点线得，，代入中化简即可求解.‎ ‎【详解】（1）由周长为8及的最小值为3，‎ - 21 -‎ 可得，‎ 解得 所以椭圆的方程为.‎ ‎（2）设，，，，‎ 联立 得：，‎ 即 ‎，‎ 由三点共线可得：，同理可得 ‎.‎ 解得.‎ 所以直线的方程为.‎ ‎【点睛】本题主要考查了椭圆的定义，椭圆的简单几何性质，直线与椭圆的位置关系，考查了推理与运算能力，属于中档题.‎ ‎21.已知函数.‎ ‎（1）当时，求证：；‎ ‎（2）若有两个零点，求的取值范围.‎ ‎【答案】（1）见解析（2）‎ ‎【解析】‎ - 21 -‎ ‎【分析】‎ ‎（1）原不等式可化为，构造函数，利用导数求其最大值即可求证；‎ ‎（2）求导，根据结合在上有两不等实根，分类讨论，两种情况，易知不符合题意，当时，由导数研究函数的极值判断函数是否有两个零点.‎ ‎【详解】（1）即证，令，‎ 当，，单调递增；‎ 当，，单调递减.‎ 而，故 ‎（2）‎ ‎①当，‎ ‎，，单调递增.至多一个零点，故不符合.‎ ‎②当时，‎ ‎，，单调递增.‎ ‎，，单调递减.‎ 令，，‎ ‎，，单调递减.‎ ‎，，单调递增.‎ - 21 -‎ 所以.‎ ‎（ⅰ）当时，，，有一个零点，故不符合 ‎（ⅱ）当时，‎ 由，‎ 记，由（1）知 此时有两个零点.‎ ‎（ⅲ）时，‎ 由，，，此时有两个零点.‎ 综上，当，有两个零点.‎ ‎【点睛】本题主要考查了利用函数的导数证明不等式，函数的极值，零点问题，分类讨论的思想，属于难题.‎ 请从下面所给的22、23两题中选定一题作答，并用2B铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号方框涂黑，按所涂题号进行评分；不涂、多涂均按所答第一题评分；多答按所答第一题评分.‎ ‎22.在平面直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ2（cos2θ+3sin2θ）＝12，直线l的参数方程为（t为参数），直线l与曲线C交于M，N两点.‎ ‎（1）若点P的极坐标为（2，π），求|PM|•|PN|的值；‎ ‎（2）求曲线C的内接矩形周长的最大值.‎ ‎【答案】（1）（2）16‎ ‎【解析】‎ - 21 -‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用极坐标转化为直角坐标的公式，求得曲线的直角坐标方程.求得的直角坐标，由此判断在直线上，求得直线的标准参数方程，代入曲线的直角坐标方程，化简后写出韦达定理，结合直线参数的几何意义，求得的值.‎ ‎（2）求得椭圆内接矩形周长的表达式，结合三角函数最值的求法，求得周长的最大值.‎ ‎【详解】（1）曲线C的极坐标方程为ρ2（cos2θ+3sin2θ）＝12，转换为直角坐标方程为.‎ 点P的极坐标为（2，π），转换为直角坐标为（﹣2，0）由于点P（﹣2，0）在直线l上，‎ 所以直线l的参数方程为（t为参数），转化为（t为参数），‎ 所以代入曲线的方程为，‎ 整理得，‎ 所以|PM|•|PN|＝|t1t2|＝4.‎ ‎（2）不妨设Q（），（），‎ 所以该矩形的周长为4（）＝16sin（）.‎ 当时，矩形的周长的最大值为16.‎ ‎【点睛】本小题主要考查极坐标方程化为直角坐标方程，考查直线参数的几何意义，考查椭圆参数方程的应用，考查三角函数最值的求法，属于中档题.‎ ‎23.已知函数，.‎ ‎（1）当时，求a的取值范围；‎ ‎（2）若，，，不等式恒成立，求a的取值范围.‎ ‎【答案】（1）；‎ ‎（2）‎ - 21 -‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）将原不等式化为关于a的不等式，由绝对值的意义，分类讨论去绝对值，解不等式，求并集即可；‎ ‎（2）原不等式等价于，运用绝对值不等式的性质和二次函数的最值求法，分别求得最值，解不等式可得所求范围.‎ ‎【详解】解：（1）由，得，‎ 即，‎ 则，或，或，‎ 解得，或，或，‎ 则的范围是；‎ ‎（2）恒成立，等价于，‎ 当，时，‎ ‎，‎ 当且仅当时取等号，‎ 而，时，‎ ‎，‎ 当且仅当时，取等号，‎ 则由，解得，‎ 故所求的范围是：.‎ ‎【点睛】本题考查了绝对值不等式的解法，注意运用分类讨论思想，考查不等式恒成立问题，注意运用转化思想和绝对值不等式的性质，以及二次函数的最值求法，考查运算能力和推理能力，属于中档题.‎ - 21 -‎ ‎ ‎ - 21 -‎