2019-2020学年甘肃省兰州第一中学高二上学期期末考试数学（文）试题

2019-2020学年甘肃省兰州第一中学高二上学期期末考试数学（文）试题

兰州一中2019-2020-1学期期末考试试题 高二数学（文科）‎ 命题人： 审题人： ‎ 说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.满分150分，考试时间120分钟.答案写在答题卡上，交卷时只交答题卡.‎ 第Ⅰ卷（选择题）‎ 一、选择题（本大题共12 小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案涂在答题卡上.）‎ ‎1．抛物线的焦点坐标是(　　)‎ A. B. C． D． ‎ ‎2．若命题“p∧(¬q)”为真命题，则 (　　)‎ A．p∨q为假命题 B．q为假命题 C．q为真命题 D．(¬p)∧(¬q)为真命题 ‎3．已知条件，条件，则¬p是¬q的（ ）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C． 充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎4．曲线与的关系是(　 )‎ A．有相等的焦距，相同的焦点 B．有相等的焦距，不同的焦点 C．有不等的焦距，不同的焦点 D．以上都不对 ‎5．为虚数单位，则= ( )‎ A． B． C． D．1‎ ‎6．复数 z 满足条件，则复数z 所对应的点Z的轨迹是（ ）‎ A.双曲线 B．双曲线的右支 C．线段　　　 D．一条射线 ‎7．下列说法错误的是 (　　)‎ A.回归直线过样本点的中心. ‎ B.对分类变量X与Y，随机变量K2的观测值k越大，则判断“X与Y有关系”的把握程度越小 C.两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数的绝对值就越接近于1‎ D.在回归直线方程＝0.2x＋0.8中，当解释变量x每增加1个单位时，预报变量平均增加0.2个单位 ‎8．对变量x，y有观测数据(xi，yi)(i＝1，2，…，10)，得散点图(1)；对变量u，v有观测数据(ui，vi)‎ ‎(i＝1，2，…，10)，得散点图(2).由这两个散点图可以判断(　　)‎ A.变量x与y正相关，u与v负相关 ‎ B.变量x与y正相关，u与v正相关 C.变量x与y负相关，u与v正相关 ‎ D.变量x与y负相关，u与v负相关 ‎9．过抛物线y2＝8x的焦点的直线l交抛物线于P(x1，y1)，Q(x2，y2)两点，如果x1＋x2＝6，则|PQ|＝( )‎ A.6 B‎.8 C.10 D.12‎ ‎10．对于实数x，规定表示不大于x的最大整数，那么不等式成立的充分不必要 是（ ）‎ A. B． C．　　 D．‎ ‎11．已知是双曲线：的一个焦点，则点到的一条渐近线的距离为（ ）‎ A. B‎.3 C. D.‎ ‎12．已知椭圆，的一条弦所在的直线方程是，弦的中点坐标是，则椭圆的离心率是（ ） ‎ A． B． C． D．‎ 第Ⅱ卷（非选择题，共90分）‎ 二、 填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.‎ ‎13．在复平面内，复数对应的点分别为A、B，若C为线段AB的中点，则点C对应的复数是 .‎ ‎14．若命题“∃x0∈R，使得x＋(a－1)x0＋1＜‎0”‎是真命题，则实数a的取值范围是________.‎ ‎15．已知是椭圆的左焦点，P是此椭圆上的动点，是一定点，则 ‎ 的最大值是__________．‎ ‎16．已知抛物线的焦点为F，F关于原点的对称点为P，过F作轴的垂线交抛物线于M，N两点，给出下列三个结论：①必为直角三角形；②直线必与抛物线相切；‎ ‎③的面积为．其中正确的结论是 ．‎ 三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ‎ ‎17. (本小题满分10分)‎ 已知，若是的必要不充分条件，求实 数的取值范围．‎ ‎18．(本小题满分12分)‎ 已知直线和椭圆相交于A，B两点，且a＝2b，若，‎ 求椭圆的方程.‎ ‎19. (本小题满分12分)‎ 某校在高二年级学生中，对自然科学类、社会科学类校本选修课程的选课意向进行调查. 现从高二 年级学生中随机抽取180名学生，其中男生105名；在这180名学生中选择社会科学类的男生、女生均为45名.‎ ‎(1)根据抽取的180名学生的调查结果，完成下面的2×2列联表.‎ ‎(2)判断能否在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为科类的选择与性别有关？‎ 选择自然科学类 选择社会科学类 合计 男生 女生 合计 参考公式：，其中.‎ P(K2≥k0)‎ ‎0.500‎ ‎0.400‎ ‎0.250‎ ‎0.150‎ ‎0.100‎ ‎0.050‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎0.001‎ k0‎ ‎0.455‎ ‎0.708‎ ‎1.323‎ ‎2.072‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎10.828‎ ‎20． (本小题满分12分)‎ 已知双曲线的中心在原点，焦点F1，F2在坐标轴上，离心率为，且过点.‎ ‎(1)求双曲线的方程；‎ ‎(2)若点M(3，m)在双曲线上，试求的值.‎ ‎21． (本小题满分12分)‎ 设抛物线的顶点在原点，焦点在y轴上，开口向上，焦点到准线的距离为 ‎（1）求抛物线的标准方程；‎ ‎（2）已知抛物线过焦点的动直线l交抛物线于、两点,为坐标原点，求证：为 定值.‎ ‎22．(本小题满分12分)‎ 已知抛物线的焦点为，准线为，过焦点的 直线交于，两点，.‎ ‎(1)求抛物线方程；‎ ‎(2)点在准线上的投影为，是抛物线上一点，且，‎ 求面积的最小值及此时直线的方程.‎ 兰州一中2019-2020-1学期期末考试试题 高二数学（文科）‎ 说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.满分150分，考试时间120分钟.答案写在答题卡上，交卷时只交答题卡.‎ 第Ⅰ卷（选择题）‎ 一、选择题（本大题共12 小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案涂在答题卡上.）‎ ‎1．抛物线的焦点坐标是(　D　)‎ A. B. C． D． ‎ ‎2．若命题“p∧(¬q)”为真命题，则 (　B　)‎ A．p∨q为假命题 B．q为假命题 C．q为真命题 D．(¬p)∧(¬q)为真命题 ‎3．已知条件，条件，则¬p是¬q的（ A ）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C． 充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎4．曲线与的关系是(　B )‎ A．有相等的焦距，相同的焦点 B．有相等的焦距，不同的焦点 C．有不等的焦距，不同的焦点 D．以上都不对 ‎5．为虚数单位，则= ( A )‎ A． B． C． D．1‎ ‎6．复数 z 满足条件，则复数z 所对应的点 Z 的轨迹是（ D）‎ A.双曲线 B．双曲线的右支 C．线段　　　 D．一条射线 ‎7．下列说法错误的是(　B　)‎ A.回归直线过样本点的中心. ‎ B.对分类变量X与Y，随机变量K2的观测值k越大，则判断“X与Y有关系”的把握程度越小 C.两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数的绝对值就越接近于1‎ D.在回归直线方程＝0.2x＋0.8中，当解释变量x每增加1个单位时，预报变量平均增加0.2个单位 ‎8．对变量x，y有观测数据(xi，yi)(i＝1，2，…，10)，得散点图(1)；对变量u，v有观测数据(ui，vi)(i＝1，2，…，10)，得散点图(2).由这两个散点图可以判断(　C　)‎ A.变量x与y正相关，u与v负相关 ‎ B.变量x与y正相关，u与v正相关 C.变量x与y负相关，u与v正相关 ‎ D.变量x与y负相关，u与v负相关 ‎9．过抛物线y2＝8x的焦点的直线l交抛物线于P(x1，y1)，Q(x2，y2)两点，如果x1＋x2＝6，则|PQ|＝( C)‎ A.6 B‎.8 C.10 D.12‎ ‎10．对于实数x，规定表示不大于x的最大整数，那么不等式成立的充分不必要 是（ B ）‎ A. B． C．　　 D．‎ ‎11．已知是双曲线：的一个焦点，则点到的一条渐近线的距离为（ A ）‎ A. B‎.3 C. D.‎ ‎12．已知椭圆，的一条弦所在的直线方程是，弦的中点坐标是，则椭圆的离心率是（ C ） ‎ A． B． C． D．‎ 第Ⅱ卷（非选择题，共90分）‎ 二、 填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.‎ ‎13．在复平面内，复数对应的点分别为A、B，若C为线段AB的中点，则点C对应的复数 是 .‎ 答案：‎ ‎14．若命题“∃x0∈R，使得x＋(a－1)x0＋1＜‎0”‎是真命题，则实数a的取值范围是________.‎ ‎ 答案　(－∞，－1)∪(3，＋∞)‎ ‎15．已知是椭圆的左焦点，P是此椭圆上的动点，是一定点，则 的最大值是__________．‎ 答案：15‎ ‎16．已知抛物线的焦点为F，F关于原点的对称点为P，过F作轴的垂线交抛物线于M，N两点，给出下列三个结论：①必为直角三角形；②直线必与抛物线相切；③的面积为．其中正确的结论是 ．‎ 答案：①②③‎ 解析：对于①：由题意得抛物线的焦点为∴‎ 过F作轴的垂线交抛物线于M，N两点，则，‎ ‎∴F为MN的中点，且∴为等腰直角三角形，故①正确；‎ 对于②：直线PM的方程为，由消去整理得 ‎∴∴直线PM与抛物线相切，故②正确；‎ 对于③：由题意得，故③正确．‎ 综上可得正确结论的序号为①②③． 故答案为：①②③‎ 三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ‎ ‎17. (本小题满分10分)‎ 已知，若是的必要不充分条件，求实数 ‎ 的取值范围．‎ 解法一：即，‎ ‎∴, ‎ ‎∵是的必要不充分条件，‎ ‎∴BA 即m的取值范围是{m|m≥9}.‎ 解法二:∵p是q的必要不充分条件，∴q是p的必要不充分条件. ∴p是q的充分不必要条件.‎ 而，‎ ‎∴PQ,即 ∴的取值范围是 ‎18．已知直线和椭圆相交于A，B两点，且a＝2b，若，求椭圆的方程.‎ 解：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由,消去y并整理得x2－4x＋8－2b2＝0.‎ 则由根与系数的关系得x1＋x2＝4，x1x2＝8－2b2.‎ ‎∵，∴，‎ 即，解得b2＝4，故a2＝4b2＝16. ∴所求椭圆的方程为.‎ ‎19. (本小题满分12分)‎ 某校在高二年级学生中，对自然科学类、社会科学类校本选修课程的选课意向进行调查. 现从高二 年级学生中随机抽取180名学生，其中男生105名；在这180名学生中选择社会科学类的男生、女生均为45名.‎ ‎(1)根据抽取的180名学生的调查结果，完成下面的2×2列联表.‎ ‎(2)判断能否在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为科类的选择与性别有关？‎ 选择自然科学类 选择社会科学类 合计 男生 女生 合计 参考公式：，其中.‎ P(K2≥k0)‎ ‎0.500‎ ‎0.400‎ ‎0.250‎ ‎0.150‎ ‎0.100‎ ‎0.050‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎0.001‎ k0‎ ‎0.455‎ ‎0.708‎ ‎1.323‎ ‎2.072‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎10.828‎ 解析：(1)根据统计数据，可得2×2列联表如下：‎ 选择自然科学类 选择社会科学类 合计 男生 ‎60‎ ‎45‎ ‎105‎ 女生 ‎30‎ ‎45‎ ‎75‎ 合计 ‎90‎ ‎90‎ ‎180‎ ‎(2)则K2的观测值为，‎ 所以能在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为科类的选择与性别有关.‎ ‎20．已知双曲线的中心在原点，焦点F1，F2在坐标轴上，离心率为，且过点.‎ ‎(1)求双曲线的方程；‎ ‎(2)若点M(3，m)在双曲线上，试求的值.‎ 解析：(1)　∵e＝，∴可设双曲线的方程为x2－y2＝λ(λ≠0).‎ ‎∵双曲线过点，∴16－10＝λ，即λ＝6. ∴双曲线的方程为x2－y2＝6.‎ ‎(2)由(1)可知，a＝b＝，得c＝2，F1(－2，0)，F2(2，0)，‎ ‎，‎ 从而 由于点M(3，m)在双曲线上，∴9－m2＝6，即m2－3＝0， 故.‎ ‎21． (本小题满分12分)‎ 设抛物线的顶点在原点，焦点在y轴上，开口向上，焦点到准线的距离为 ‎（1）求抛物线的标准方程；‎ ‎（2）已知抛物线过焦点的动直线交抛物线于、两点,为坐标原点，求证：为定值.‎ 解析：（1）由题意知p=，2p=，抛物线的标准方程为.‎ ‎（2）设直线的方程为:,,. ‎ 由 得：，∴ ‎ 故为定值. ‎ ‎22．(本小题满分12分)‎ 已知抛物线的焦点为，准线为，过焦点的直线交于，两点，.‎ ‎(1)求抛物线方程；‎ ‎(2)点在准线上的投影为，是抛物线上一点，且，求面积的最小值及此时直线的方程.‎ 解析：（1）依题意，‎ 当直线的斜率不存在时，‎ 当直线的斜率存在时，设，由，化简得 由得，，所以抛物线方程.‎ ‎（2）设，，则，又由，可得 因为，，所以，故直线 由，化简得，所以.‎ 所以 设点到直线的距离为，‎ 所以，当且仅当，即 ‎,.‎