【数学】2019届一轮复习北师大版利用导数证明不等式学案（文）学案

【数学】2019届一轮复习北师大版利用导数证明不等式学案（文）学案

第27题 利用导数证明不等式 I．题 探究·黄金母题 ‎【例1】利用函数的单调性，证明下列不等式 ‎ ‎（1），；‎ ‎（2），；‎ ‎（3），；‎ ‎（4），．‎ ‎【解析】（1）证明 设，．因为，，所以在内单调递减，因此，，即，．‎ ‎（2）证明 设，．因为，‎ 所以当时，，单调递增，；当时，，单调递减，；又．因此，，．‎ ‎（3）证明 设，．‎ 因为，，所以，当时，，单调递增，‎ 精彩解读 ‎【试题 】人教版A版选修1-1P31习题1．3B组第1题 ‎【母题评析】不等式证明是高中数中常见的一类典型问题，本题考查了如何通过构造函数结合函数的单调性去证明不等式．‎ ‎【思路方法】不等式证明常用的基本方法有 综合法、比较法（作差法、作商法）、分析法，本题之后又添一法——构造函数法，要注意所构造函数的定义域．‎ ‎；‎ 当时，，单调递减，；‎ 综上，，．‎ ‎（4）证明 设，．‎ 因为，，所以当时，，单调递增，；‎ 当时，，单调递减，；‎ 当时，显然． 因此，．‎ 由（3）可知，，．‎ 综上，，．‎ II．考场精彩·真题回放 ‎【例1】【2017全国III文21】已知函数．‎ ‎（I）讨论的单调性；‎ ‎（II）当时，证明．‎ ‎【答案】（I）当时，在单调递增；当时，则在单调递增，在单调递减；（II）详见解析 ‎【解析】试题分析 （I）先求函数导数，再根据导函数符号变化情况讨论单调性 当时，，则在 ‎【命题意图】本类题通常主要考查利用导数求单调性，利用导数证不等式．‎ ‎【考试方向】这类试题在考查题型上，主要是解答题，难度中等；若为压轴题，则难度大．‎ 作为压轴题，基本上含有参数．含有参数的函数导数试题，主要有两个方面 ‎ 单调递增，当时，则在单调递增，在单调递减．（II）证明，即证，而，所以目标函数为，即 （），利用导数易得，即得证．‎ 试题解析 （I），‎ 当时，，则在单调递增，‎ 当时，则在单调递增，在单调递减．‎ ‎（II）由（I）知，当时，，‎ ‎，令 （），则，解得，∴在单调递增，在单调递减，∴，∴，即，∴．‎ ‎【例2】【2017全国II】已知函数，且．‎ ‎（I）求；‎ ‎（II）证明 存在唯一的极大值点，且．‎ ‎【答案】（I）；（II）证明略．‎ ‎【解析】‎ 一是根据给出的某些条件求出这些参数值，基本思想方法为方程的思想；二是在确定参数的范围（或取值）使得函数具有某些性质，基本解题思想是函数与方程的思想、分类讨论的思想．含有参数的函数导数试题是高考考查函数方程思想、分类讨论思想的主要题型之一．‎ ‎【难点中心】利用导数证明不等式常见类型及解题策略 ‎ ‎（1）构造差函数．‎ 根据差函数导函数符号，确定差函数单调性，利用单调性得不等量关系，进而证明不等式；‎ ‎（2）根据条件，寻找目标函数．一般思路为利用条件将求和问题转化为对应项之间大小关系，或利用放缩、等量代换将多元函数转化为一元函数．‎ 试题分析 （I）利用题意结合导函数与原函数的关系可求得，注意验证结果的正确性；（II）结合（I）的结论构造函数，结合的单调性和的解析式即可证得题中的不等式．‎ 试题解析 （I）的定义域为．设，则，等价于．‎ 因为，因，而，得．‎ 若，则．当时，，单调递减；当时，，单调递增．所以是的极小值点，故．‎ 综上，．‎ ‎（II）由（I）知 ，．‎ 设，则．‎ 当 时，；当 时，，‎ 所以 在 单调递减，在 单调递增．‎ 又，，，所以 在 有唯一零点，在 有唯一零点1，且当 ‎ 时，；当 时，，当 时，．‎ 因为，所以是的唯一极大值点．‎ 由得，故．‎ 由 得 ．‎ 因为是在（0，1）的最大值点，由， 得，所以．‎ ‎【例3】【2017天津20】设，已知定义在R上的函数在区间内有一个零点，为的导函数．‎ ‎（Ⅰ）求的单调区间；‎ ‎（Ⅱ）设，函数，求证 ；‎ ‎（Ⅲ）求证 存在大于0的常数，使得对于任意的正整数，且 满足．‎ ‎【答案】（I）增区间是，，减区间是；（II）（III）证明见解析．‎ ‎【解析】试题分析 由于为，所以判断的单调性，需要对二次求导，根据的导数的符号判断函数的单调性，给出单调区间；由，得 ‎，令函数，分别求导证明．有关零点问题，利用函数的单调性了解函数的图像情况，对极值作出相应的要求可控制零点的个数．‎ 试题解析 （Ⅰ）由，可得，进而可得．令，解得，或．‎ 当x变化时，的变化情况如下表 ‎ x ‎+‎ ‎-‎ ‎+‎ ‎↗ ]‎ ‎↘‎ ‎↗‎ 所以的单调递增区间是和，单调递减区间是．‎ ‎（Ⅱ）证明 由，得，．‎ 令函数，则．由（Ⅰ）知，当时，，故当时，，单调递减；当时，，单调递增．因此，当 时，，可得．‎ 令函数，则．由（Ⅰ）知，在上单调递增，故当时，，单调递增；当时，，单调递减．因此，当时，，可得．所以，．‎ ‎（III）证明 对于任意的正整数 ，，且，‎ 令，函数．‎ 由（II）知，当时，在区间内有零点；‎ 当时，在区间内有零点．‎ 所以在内至少有一个零点，不妨设为，则．‎ 由（I）知在上单调递增，故，于是．‎ 因为当时，，故在上单调递增，所以在区间上除外没有其他的零点，而 ‎，故．‎ 又因为，，均为整数，所以是正整数，从而．‎ 所以．所以，只要取，就有．‎ III．理论基础·解题原理 ‎ 考点 利用导数解决不等式恒成立问题、证明不等式 ‎ 导数研究不等式，涉及不等式的证明、不等式的恒成立等问题，主要考查通过转化使用导数研究函数性质并把函数性质用 分析不等式和方程等问题的能力，该点和第二个点一般是解答题中的两个设问，考查的核心是导数研究函数性质的方法和函数性质的应用 ‎ IV．题型攻略·深度挖掘 ‎【考试方向】‎ 含有参数的函数导数试题，主要有两个方面 一是根据给出的某些条件求出这些参数值，基本思想方法为方程的思想；二是在确定参数的范围（或取值）使得函数具有某些性质，基本解题思想是函数与方程的思想、分类讨论的思想．含有参数的函数导数试题是高考考查函数方程思想、分类讨论思想的主要题型之一．这类试题在考查题型上，通常以解答题的形式出现，难度中等．‎ ‎【技能方法】‎ 利用导数证明不等式常见类型及解题策略 ‎ ‎（1）构造差函数．‎ 根据差函数导函数符号，确定差函数单调性，利用单调性得不等量关系，进而证明不等式；‎ ‎（2）根据条件，寻找目标函数．一般思路为利用条件将求和问题转化为对应项之间大小关系，或利用放缩、等量代换将多元函数转化为一元函数．‎ ‎【易错指导】‎ 等于含参数的问题，最后结果区间端点到底取不取（即能否取等号），是个难点，易出错．注意要验证参数取等号时，函数是否满足题设条件，若满足把取等号的情况加上，否则不加．‎ V．举一反三·触类旁通 考向1 利用函数的单调性证明不等式 ‎【例1】【2016高考新课标Ⅲ文数】设函数．‎ ‎（I）讨论的单调性；‎ ‎（II）证明当时，；‎ ‎（III）设，证明当时，．‎ ‎【解析】（Ⅰ）由题设，的定义域为，，令，解得．‎ 当时，，单调递增；当时，，单调递减．‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知，在处取得最大值，最大值为，所以当时，，‎ 故当时，，，即．‎ ‎（Ⅲ）由题设，设，则．‎ 令，解得．‎ 当时，，单调递增；当时，，单调递减．‎ 由（Ⅱ）知，，故．又，故当时，，‎ 所以当时，．‎ 考点 1、利用导数研究函数的单调性；2、不等式的证明与解法． ~ ‎ ‎【思路点拨】求解导数中的不等式证明问题可考虑 （1）首先通过利用研究函数的单调性，再利用单调性进行证明；（2）根据不等式结构构造新函数，通过求导研究新函数的单调性或最值 证明 ‎【例2】【2018河南豫北豫南名校高三上 期精英联考】已知函数（，）有两个不同的零点，．‎ ‎（I）求的最值；‎ ‎（II）证明 ．‎ ‎【答案】（I）见解析；（II）见解析 ‎（II）由题意转化为证明，不妨设，令，只需证明，设，根据函数的单调性，即可作出证明．‎ 试题解析 （I），有两个不同的零点，∴在内必不单调，故，‎ 此时，解得，∴在上单增，上单减，‎ ‎∴，无最小值．‎ ‎（II）由题知两式相减得，即，‎ 故要证，即证，即证，‎ 不妨设，令，则只需证，设，则，设，则，∴在上单减，∴，∴在上单增，∴，即在时恒成立，原不等式得证．‎ 点睛 本题主要考查导数在函数中的应用，不等式的证明，考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力．导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行 （1）考查导数的几何意义；(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数；(3)利用导数求函数的最值(极值)‎ ‎，解决函数的恒成立与有解问题；(4)考查数形结合思想的应用．‎ ‎【跟踪练习】‎ ‎1．【2018北京朝阳区高三一模】已知函数．‎ ‎（Ⅰ）若，求曲线在点处的切线方程；‎ ‎（Ⅱ）若，求函数的单调区间；‎ ‎（Ⅲ）若，求证 ．‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ） ；（Ⅲ）证明见解析． ‎ ‎ ，等价于，等价于，设，只须证成立，利用导数研究函数的单调性，利用单调性求出的最小值，证明最小值大于零即可得结论．‎ 试题解析 （Ⅰ）若，则，，‎ 所以在点处的切线方程为．‎ ‎（Ⅱ）令，则．‎ 令，得 (依题意)．‎ 由，得；由，得．‎ 所以在区间上单调递减，在区间上单调递增，所以，‎ 因为，所以，所以，即．所以函数的单调递增区间为．‎ ‎（Ⅲ）由，等价于，等价于．‎ 设，只须证成立．因为由，得有异号两根．令其正根为，则．‎ 在上，在上，‎ 则的最小值为 又所以则 因此即所以．所以．‎ ‎【方法点晴】本题主要考查利用导数求曲线切线方程以及利用导数研究函数的单调性、证明不等式，属于难题．求曲线切线方程的一般步骤是 （1）求出在处的导数，即在点 出的切线斜率（当曲线在处的切线与轴平行时，在 处导数不存在，切线方程为）；（2）由点斜式求得切线方程．‎ ‎2．【2018河南郑州高三毕业年级第二次质量预测】已知函数．‎ ‎（I）求曲线在处的切线方程；‎ ‎（II）求证 当时，．‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（II）见解析．‎ 试题解析 （Ⅰ） ， 由题设得，，‎ 在处的切线方程为 ‎（II） ，，∴在上单调递减，在上单调递增，所以，所以在上单调递增，‎ 所以．过点，且在处的切线方程为，故可猜测 当时，的图象恒在切线的上方．‎ 下证 当时，‎ 设，则，‎ 在上单调递减，在上单调递增，又，∴，所以，存在，使得，‎ 所以，当时，；当时，，故在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，‎ 又，∴，当且仅当时取等号，‎ 故．‎ 又，即，当时，等号成立．‎ ‎【点睛】解本题的关键是第（I）结论对第（II）问的证明铺平了路，只需证明x．所以利用导数证明不等式时，要进行适当的变形，特别是变形成第（I）问相似或相同形式时，将有利于快速证明． ‎ ‎3．【2018山东烟台高三下 期高考诊断性测试】已知有两个零点 ‎（I）求a的取值范围 ‎（II）设x1、x2是f(x)的两个零点，求证证 x1+x2>‎ ‎【答案】（I）；（II）见解析 试题解析 ‎ ‎（I），‎ 当时，，此时在单调递增，至多有一个零点．‎ 当时，令，解得，‎ 当时，，单调递减，当，，单调递增，故当时函数取最小值 当时，，即，所以至多有一个零点．‎ 当时，，即 因为，所以在有一个零点；‎ 因为，所以，，‎ 由于，所以在有一个零点．综上，的取值范围是．‎ ‎（II）不妨设，由（I）知，，．‎ 构造函数，‎ 则 ‎ 因为，所以，在单调递减．‎ 所以当时，恒有，即 ‎ 因为，所以，‎ 于是 又，且在单调递增，‎ 所以，即 点睛 本题主要考查导数在函数中的应用，不等式的证明和不等式的恒成立问题，考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力，导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行 (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、圆等知识联系；(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数；(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决函数的恒成立与有解问题；(4)考查数形结合思想的应用． ‎ 考向2 构造函数证明不等式 ‎【例3】【2018江西五校联考】已知函数对任意的满足 (其中是函数 的导函数)，则下列不等式成立的是 A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】令，由对任意的满足可得，所以函数在上为增函数，所以，即，所以，故选A．‎ ‎【例4】【2018江苏南通高三上 期第一次调研】已知函数 有极值，且函数的极值点是的极值点，其中是自然对数的底数．（极值点是指函数取得极值时对应的自变量的值）‎ ‎（I）求关于的函数关系式；‎ ‎（II）当时，若函数的最小值为，证明 ．‎ ‎【答案】（I），；（II）见解析．‎ 试题解析 （I）因为 ，令，解得．‎ 列表如下．‎ ‎ ‎ 极小值 所以时，取得极小值．‎ 因为，‎ 由题意可知，且 所以，‎ 化简得，‎ 由 ，得．‎ 所以，．[ ]‎ ‎（II）因为 ，‎ 所以 ‎ ‎ ‎ 记，则，令，解得．‎ 列表如下．‎ 极小值 所以时，取得极小值，也是最小值，‎ 此时， ．‎ 令，解得．‎ 列表如下．‎ 极小值 所以时，取得极小值，也是最小值．‎ 所以．‎ 令，则，记 ，，‎ 则，．‎ 因为，，所以，所以单调递增．‎ 所以，所以．‎ 点睛 利用导数证明不等式常见类型及解题策略(1) 构造差函数．根据差函数导函数符号，确定差函数单调性，利用单调性得不等量关系，进而证明不等式．（2）根据条件，寻找目标函数．一般思路为利用条件将求和问题转化为对应项之间大小关系，或利用放缩、等量代换将多元函数转化为一元函数．‎ ‎【例5】【2018云南昆明高三教 质量检查第二次统考】已知函数，．‎ ‎（I）当时，求函数的极值；‎ ‎（II）若，证明 当时，．‎ ‎【答案】（I）见解析；（II）见解析．‎ ‎（II）不等式等价于，由（I）得 ，‎ 所以，所以，，‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 令，则，‎ 令，则，‎ 当时，，所以，所以，所以在上为减函数，所以，则，所以在上为减函数，‎ 因此，，因为，而，‎ 所以，所以，而，所以．‎ ‎【点睛】利用导数证明不等式恒成立问题，不能强制多次求导，要考虑对不等式进行变形，特别题目有第（I）问是要考虑利用第（I）的结果，对不等式进行变形，特别注意常见函数不等式的切线放缩的几个常见式子．如本题就是利用了进行放缩变形．‎ ‎【跟踪练习】‎ ‎1．【2018山东济南高三一模】已知函数 有两个不同的零点．‎ ‎（I）求的取值范围；‎ ‎（II）设，是的两个零点，证明 ．‎ ‎【答案】（I） （II）见解析 于是，即，在上单调递减，可得，进而可得结果．‎ 试题解析 （I）【解法一】函数的定义域为 ． ，‎ ‎①当时，易得，则在上单调递增，‎ 则至多只有一个零点，不符合题意，舍去．‎ ‎②当时，令得 ，则 ‎+‎ ‎0‎ ‎-‎ 增 极大 减 ‎∴ ．‎ 设，∵，则在上单调递增．‎ 又∵，∴时， ；时，．‎ 因此 （i）当时，，则无零点，不符合题意，舍去．‎ ‎（ii）当时，，‎ ‎∵ ，∴在区间上有一个零点，‎ ‎∵ ，‎ 设，，∵，∴在上单调递减，则，∴，∴在区间 上有一个零点，那么，恰有两个零点．‎ 综上所述，当有两个不同零点时，的取值范围是．‎ ‎（I）【解法二】‎ 函数的定义域为 ． ，‎ ‎①当时，易得，则在上单调递增，‎ 则至多只有一个零点，不符合题意，舍去．‎ ‎②当时，令得 ，则 ‎+‎ ‎0‎ ‎-‎ 增 极大 减 ‎∴ ．‎ ‎∴要使函数有两个零点，则必有，即，‎ 设，∵，则在上单调递增，‎ 又∵，∴；‎ 当时 ∵ ，∴在区间上有一个零点；‎ 设，∵，∴在上单调递增，在上单调递减，‎ ‎∴，∴，‎ ‎∴ ，‎ 则，∴在区间上有一个零点，那么，此时恰有两个零点．‎ 综上所述，当有两个不同零点时，的取值范围是．‎ ‎（II）【证法一】由（I）可知，∵有两个不同零点，∴，且当时，是增函数；当时，是减函数；不妨设 ，则 ；‎ 设，，则 ‎ ‎ ‎ ‎．‎ 当时，，∴单调递增，又∵，∴，∴，‎ ‎∵，∴，∵，∴，‎ ‎∵，，在上单调递减，∴，∴．‎ ‎（II）【证法二】由（I）可知，∵有两个不同零点，∴，且当时，是增函数；当时，是减函数；不妨设 ，则 ；‎ 设，，‎ 则 ‎ ‎．‎ 当时，，∴单调递增，又∵，∴，∴，∵，∴ ，∵，，在上单调递减，∴，∴．‎ ‎2．【2018山西平遥中 高三3月高考适应性调研考试】已知函数 ‎（I）讨论函数的单调性；‎ ‎（II）若函数存在极大值，且极大值点为1，证明 ．‎ ‎【答案】（I）见解析（II）见解析 试题解析 （I）由题意，．‎ ‎①当时，，函数在上单调递增；‎ ‎②当时，函数单调递增， ，故当时，，当时，，所以函数在上单调递减，函数在上单调递增；‎ ‎③当，函数单调递减， ，故当时，，当时，，所以函数在上单调递增，函数在上单调递减．‎ ‎（II）由得，令，则 ‎ 当时，‎ 所以与矛盾；‎ 当时，‎ 所以与矛盾；‎ 当时，‎ 得，故成立，‎ 得，所以，即．‎ 点睛 利用导数证明不等式常见类型及解题策略 ‎（1）构造差函数．根据差函数导函数符号，确定差函数单调性，利用单调性得不等量关系，进而证明不等式；‎ ‎（2）根据条件，寻找目标函数．一般思路为利用条件将求和问题转化为对应项之间大小关系，或利用放缩、等量代换将多元函数转化为一元函数． … ‎ ‎3．【2018河北衡水中 高三第十次模拟考试】已知函数．‎ ‎（I）当，求函数的图象在处的切线方程；‎ ‎（II）若函数在上单调递增，求实数的取值范围；‎ ‎（III）已知，，均为正实数，且，求证 ．‎ ‎【答案】（I） （II） (3)见解析 试题解析 （I）当时，则，则，‎ ‎∴函数的图象在时的切线方程为．[ | | ]‎ ‎（II）∵函数在上单调递增，∴在上无解，当时，在上无解满足，当时，只需，∴①‎ ‎，‎ ‎∵函数在上单调递增，∴在上恒成立，即在上恒成立．‎ 设 ，‎ ‎∵，∴，则在上单调递增，∴在上的值域为．‎ ‎∴在上恒成立，则②‎ 综合①②得实数的取值范围为．‎ ‎（III）由（II）知，当时，在上单调递增，于是当 时， ，当时， ，‎ ‎∴ ，即 ，‎ 同理有 ， ，‎ 三式相加得 ．‎ 考向3 不等式恒成立问题 ‎【例6】【2018皖江名校高三12月份大联考】设函数在上存在导函数，对任意的实数都有，当时，．若，则实数的取值范围是( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【例7】【2018陕西省高三第一次模拟】已知函数，．‎ ‎（I）求函数的图像在处的切线方程；‎ ‎（II）证明 ；‎ ‎（III）若不等式对任意的均成立，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】(1) ；（II）见解析；（III）．‎ 试题解析 （I）∵，∴．‎ 又由，得所求切线 ，即所求切线为．‎ ‎（II）设，则，令，得，得下表 ‎ ‎1‎ 单调递增 极大值 单调递减 ‎∴，即．‎ ‎（III），，‎ ‎（i）当时，；‎ ‎（ii）当时，，；‎ ‎（iii）当时，设，，‎ 令，得下表 ‎ 单调递增 极大值 单调递减 ‎+‎ ‎0‎ ‎-‎ ‎∴，即不满足等式．‎ 综上，．‎ 点睛 导数问题经常会遇见恒成立的问题 ‎ ‎（1）根据参变分离，转化为不含参数的函数的最值问题；（2）若就可讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值以及最值，最终转化为，若恒成立，转化为；（3）若恒成立，可转化为．‎ ‎【例8】【2018广东华南师大附中高三综合测试（三）】函数．‎ ‎（I）讨论的单调性；‎ ‎（II）若函数有两个极值点、，且，求证 ．‎ ‎【答案】（I）见解析；（II）见解析．‎ ‎（I）由题设知，，令，这是开口向上，以为对称轴的抛物线，，‎ ‎①当，即时，，即在上恒成立．‎ ‎②当，即时，由得，令，，则，．‎ ‎1）当即时，，故在上，，即，在 上，，即．‎ ‎2）当时，即时，‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎-‎ ‎0‎ ‎+‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎-‎ ‎0‎ ‎+‎ 递增 递减 递增 综上 ‎ 时，在上单调递减，在上单调递增；‎ 时，在上单调递减，在和上单调递增；时，在上单调递增．‎ ‎（II）若函数有两个极值点、，且，则必是，，则，且在上单减，在和上单增，则，‎ ‎∵、是的二根，∴，即，，‎ ‎∴若证成立，只需证 ‎．‎ 即证对恒成立，‎ 设，‎ ‎，‎ 当时，，，，故，故在上单增，‎ 故，‎ ‎∴对恒成立，∴．‎ 点睛 本题考查了导数的综合运用，难度较大；在求函数单调性时还要注意对其进行分类讨论，在证明不等式成立时结合根与系数之间的关系，将其中一个量用另一个量表示，然后转化为新函数，证明得出结果，有一定难度，注意将两个未知量转化为一个未知量． ‎ ‎【跟踪练习】‎ ‎1．【2018四川凉山州高中毕业班第二次诊断性检测】设函数，‎ ‎（I）若，在上单调递增．求的取值范围；‎ ‎（II）若，且有两个极值点，．求证 ；‎ ‎【答案】（I） ；（II）见解析．‎ 解析 （I） 得，，∴或（舍）．‎ 其中（），∴ ，‎ 在恒成立，分子中，，∴，∴．‎ ‎（II）∵，得，，（ ）‎ 有两根，，即 ，，得，又，，∴．‎ 点睛 本题考查了导数的综合运用，在求函数单调递增时只需求导，令导函数大于或者等于零，结合题目求出范围，在证明不等式时，本题结合韦达定理，转化为两根之和与两根之积的问题，从而证明结果．‎ ‎2．【2018新疆乌鲁木齐高三下 期第二次诊断性测验】已知函数（其中，是自然对数的底数）．‎ ‎（Ⅰ）当时，求的最小值；‎ ‎（Ⅱ）若恒成立，求证．‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）证明见解析．‎ 试题解析 （Ⅰ）当时，，，设 ‎．‎ ‎∵‎ ‎∴是增函数 又∵，‎ ‎∴当时，，递减；当时，，递增；‎ ‎∴．‎ ‎（Ⅱ）∵，‎ ‎∴是增函数 ‎∵，由 ‎∴当时；若，由．‎ ‎∴当时，；‎ 故仅有一解，记为，则当时，，递减；当时，，递增 ‎∴，题意即为，而 ‎∴‎ 记，显然是增函数，则，．‎ 综上 ．‎ 点睛 本题主要考查利用导数研究函数的最值以及不等式的证明，属于难题．不等式证明问题是近年高考命题的热点，利用导数证明不等式主要方法有两个，一是比较简单的不等式证明，不等式两边作差构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出函数的最值即可；二是较为综合的不等式证明，要观察不等式的特点，结合已解答的问题把要证的不等式变形，并运用已知结论进行放缩，然后再化简或者进一步利用导数证明．‎ ‎3．【2018百校联盟TOP20高三三月联考】已知函数，为函数的极值点．‎ ‎（I）证明 当时，；‎ ‎（II）对于任意，都存在，使得，求的最小值．‎ ‎【答案】（I）见解析；（II）1‎ ‎，利用导数研究函数的单调性可得的最小值为，即的最小值为．‎ 试题解析 （I），∴，‎ 又∵为极值点，，∴，经检验符合题意，所以，‎ 当时，，可转化为当时，恒成立，‎ 设，所以，‎ 当时，，所以在上为减函数，所以，‎ 故当时，成立．‎ ‎（II）令，则，解得，‎ 同理，由，可得，因为，又，所以，‎ 令，则，易知，‎ 当时，，当时，，‎ 即当时，是减函数，当时，是增函数，‎ 所以的最小值为，即的最小值为． * ‎