【数学】2020届一轮复习人教B版曲线的参数方程作业

【数学】2020届一轮复习人教B版曲线的参数方程作业

一、选择题 ‎1．曲线(t为参数)经过点(2，m)，则m为 (　C　)‎ A．2　　　　　　　　　 B．－2‎ C．±2 D．±1‎ ‎【解析】　将x＝2代入x＝1＋t2，得t＝±1，则y＝±2，即m＝±2.‎ ‎2．在平面直角坐标系中，圆心在原点O，半径为3的圆的参数方程为 (　B　)‎ A．(θ为参数) B．(θ为参数)‎ C．(θ为参数) D．(θ为参数)‎ ‎3．下列在曲线(θ为参数)上的点是 (　B　)‎ A．(，－)　 B．(－，)‎ C．(2，) D．(1，)‎ ‎【解析】　∵x＝sin2θ＝2sinθcosθ，‎ y＝cosθ＋sinθ，‎ ‎∴y2＝1＋2sinθcosθ＝1＋x，‎ ‎∴当x＝－时，y＝±，故选B．‎ ‎4．已知圆的参数方程为(θ为参数)，那么该圆的普通方程是 (　C　)‎ A．(x－2)2＋(y－1)2＝ B．(x＋2)2＋(y＋1)2＝ C．(x－2)2＋(y－1)2＝2 D．(x＋2)2＋(y＋1)2＝2‎ ‎【解析】　由圆的参数方程(θ为参数)可得.‎ 平方相加得2cos2θ＋2sin2θ＝(x－2)2＋(y－1)2＝2.‎ 故选C．‎ ‎5．将参数方程(θ为参数)化为普通方程为 (　C　)‎ A．y＝x－2 B．y＝x＋2‎ C．y＝x－2(2≤x≤3) D．y＝x＋2(0≤y≤1)‎ ‎【解析】　∵x＝2＋sin2θ，y＝sin2θ，‎ ‎∴x＝y＋2，即y＝x－2.‎ 又x＝2＋sin2θ∈[2,3]，故选C．‎ ‎6．参数方程(t为参数)化为普通方程为 (　D　)‎ A．x2＋y2＝1 B．x2＋y2＝1去掉(0,1)点 C．x2＋y2＝1去掉(1,0)点 D．x2＋y2＝1去掉(－1,0)点 ‎【解析】　∵x＝＝－ ‎＝－ ‎＝－1＋，‎ ‎∴x≠－1，故选D．‎ 二、填空题 ‎7．若直线y＝xtanθ与圆(α为参数)相切，则θ＝　或　. ‎【解析】　直线为y＝xtanθ，圆为(x－4)2＋y2＝4，作出图形(图略)，当直线与圆相切时，易知tanθ＝±，所以θ＝或θ＝.‎ ‎8．圆的参数方程为(θ为参数)，则此圆的半径为__5__. ‎【解析】　∵x＝3sinθ＋4cosθ，‎ y＝4sinθ－3cosθ，‎ ‎∴x2＝9sin2θ＋16cos2θ＋24sinθcosθ，‎ y2＝16sin2θ＋9cos2θ－24sinθcosθ，‎ ‎∴x2＋y2＝25，故圆的半径为5.‎ ‎9．若直线3x＋4y＋m＝0与圆(θ为参数)没有公共点，则实数m的取值范围是__(－∞，0)∪(10，＋∞)__. ‎【解析】　考查圆的参数方程和直线与圆的位置关系．‎ 圆，即(x－1)2＋(y＋2)2＝1.‎ ‎∵直线3x＋4y＋m＝0与圆无公共点，‎ ‎∴>1，‎ ‎∴m<0或m>10.‎ ‎10．直线(t为参数)被圆x2＋y2＝4截得的弦长为　　. ‎【解析】　直线为x＋y－1＝0，圆心到直线的距离d＝＝，弦长的一半为＝，得弦长为.‎ 三、解答题 ‎11．已知曲线C的参数方程为(t为参数，t>0)，求曲线C的普通方程. ‎【解析】　因为x2＝t＋－2，所以x2＋2＝t＋＝，故曲线C的普通方程为3x2－y＋6＝0.‎ ‎12．如图，圆O的半径为1，P是圆上的动点，Q(4,0)是x轴上的定点，M是PQ的中点，当点P绕O作匀速圆周运动时，求点M的轨迹的参数方程. ‎【解析】　取∠xOP＝θ为参数，则圆O的参数方程是 (θ为参数)．‎ 设点M的坐标是(x，y)，P的坐标是(cosθ，sinθ)，‎ 由中点坐标公式得，‎ ‎∴点M的轨迹的参数方程为.‎ B级　素养提升 一、选择题 ‎1．下列参数方程中，与普通方程x2＋y－1＝0等价的参数方程是 (　D　)‎ A．(φ为参数) B．(φ为参数)‎ C．(r为参数) D．(φ为参数)‎ ‎【解析】　A．普通方程x2＋y－1＝0中的y可以小于0，而中的y≥0，因此不正确；‎ B．普通方程x2＋y－1＝0中的y可以小于0，而中的y≥0，因此不正确；‎ C．x＝≥0，而方程x2＋y－1＝0的x可以小于0，因此不正确；‎ D．化为y＋x2＝1，且x，y中的取值范围一致，因此正确．‎ 故选D．‎ ‎2．参数方程(t为参数)表示的图形为 (　C　)‎ A．直线 B．圆 C．线段(但不包括右端点) D．椭圆 ‎【解析】　从x＝中解得t2＝，代入y＝，整理得到2x＋y－5＝0.‎ 但由t2＝≥0解得0≤x<3.所以化为普通方程为2x＋y－5＝0(0≤x<3)，它表示一条线段，但不包括右端点．‎ ‎3．以直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的单位长度，已知点M的极坐标是(2，θ)，圆C的参数方程是(t为参数)，点M与圆C的位置关系是 (　D　)‎ A．在圆内 B．在圆上 C．在圆外 D．在圆上或圆外 ‎【解析】　圆C的参数方程是(t为参数)，化为(x－1)2＋y2＝1.‎ 点M的极坐标是(2，θ)，其直角坐标为(2cosθ，2sinθ)．‎ 则点M到圆心C(1,0)的距离 d＝＝∈[1,3]．‎ 因此点M在⊙C的外部或圆上．‎ 故选D．‎ ‎4．将曲线 (θ为参数)逆时针旋转后，和直线xcosα＋ysinα＝2的位置关系是 (　B　)‎ A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定 ‎【解析】　圆的方程为x2＋y2＝4，圆心到直线的距离为：‎ d＝＝2，∴选B．‎ ‎5．如图，设ABM为一钢体直杆，AM＝a，BM＝b，A点沿x轴运动，B点沿y轴运动，端点M的运动轨迹的参数方程为(提示：取∠xAM＝t为参数) (　C　)‎ A． B． C． D． ‎【解析】　由题意x＝BM·cost，y＝AM·sint，即x＝b·cost，y＝a·sint，故选C．‎ 二、填空题 ‎6．将参数方程(t为参数)化为普通方程为__x2－y－2＝0(y≥2)__. ‎【解析】　由题意，知x2＝(t＋)2＝t2＋＋2，‎ ‎∴x2＝y＋2.‎ 又由y＝t2＋得t2≥0，t2＋≥2.‎ 当且仅当t2＝，即t2＝1，‎ ‎∴t＝±1时取等号．∴y≥2.‎ ‎7．圆(θ为参数，r>0)的直径是4，则圆心坐标是__(2,1)__. ‎【解析】　由题意可得2r＝4，‎ 即r＝2.‎ ‎8．已知圆C和直线l，C： (θ为参数)，‎ l： (t为参数)，则圆C关于l对称的圆的方程__(x＋2)2＋(y－7)2＝16__. ‎【解析】　圆的方程为(x－4)2＋(y－5)2＝16，直线为y＝3x＋3.圆心(4,5)关于y＝3x＋3的对称点为(－2,7)，∴对称圆的方程为(x＋2)2＋(y－7)2＝16.‎ 三、解答题 ‎9．在平面直角坐标系数xOy中，曲线C1的参数方程为(θ为参数，且0≤θ≤2π)，点M是曲线C1上的动点. ‎(1)求线段OM的中点P的轨迹的直角坐标方程；‎ ‎(2)以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，若直线l的极坐标方程为ρcosθ－ρsinθ＋1＝0(ρ>0)，求点P到直线l距离的最大值．‎ ‎【解析】　(1)曲线C1上的动点M的坐标为(4cosθ，4sinθ)，坐标原点O(0,0)，设P的坐标为(x，y)，则由中点坐标公式得x＝(0＋4cosθ)＝2cosθ，y＝(0＋4sinθ)＝2sinθ，所以点P的坐标为(2cosθ，2sinθ)，‎ 因此点P的轨迹的参数方程为(θ为参数，且0≤θ≤2π)，‎ 消去参数θ得点P的轨迹的直角坐标方程为x2＋y2＝4.‎ ‎(2)由直角坐标与极坐标关系得直线l的直角坐标方程为x－y＋1＝0.‎ 又由(1)知点P的轨迹为圆心在原点半径为2的圆，因为原点(0,0)到直线x－y＋1＝0的距离为＝＝，‎ 所以点P到直线l距离的最大值为2＋.‎ ‎10．经过原点作圆x2－2ax＋y2＝0的弦，求这些弦的中点的轨迹方程. ‎【解析】　解法一：如图，设OQ是经过原点的任意一条弦，OQ的中点是P(x，y)，那么Q点的坐标是(2x,2y)．‎ 因为Q点在圆x2－2ax＋y2＝0上，所以Q点的坐标适合这个圆的方程，就是 ‎4x2－4ax＋4y2＝0.‎ 就是x2－ax＋y2＝0，‎ ‎(x－)2＋y2＝.‎ 这个方程表示的曲线，是以(，0)为圆心，为半径的圆．‎ 解法二：设OQ的中点是P(x，y)，又弦OQ和x轴的夹角为θ，取θ作为参数，设已知圆的圆心是O′，O′的坐标是(a,0)，连接O′P，那么，O′P⊥OQ，过点P作PP′⊥OO′，那么OP＝acosθ，‎ ‎∴(θ为参数)．‎ 这就是所求轨迹的参数方程．‎ 点评：消去参数θ后，这个参数方程仍旧可以化成普通方程(x－)2＋y2＝，它是以(，0)为圆心，为半径的圆．‎