数学文卷·2017届河北省唐山市高三上学期期末考试（2017

数学文卷·2017届河北省唐山市高三上学期期末考试（2017

河北省唐山市 2017 届高三上学期期末考试试题 数学文 第Ⅰ卷（共 60 分） 一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选 项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合 ，则 （ ） A． B． C． D． 2. 设命题 ,则 为 （ ） A． B． C． D． 3. 已知 是虚数单位，复数 满足 ，则 （ ） A． B． 或 C． 或 D． 4. 双曲线 的顶点到渐近线的距离为（ ） A． B． C. D． 5. 已知 ，则 （ ） A． B． C. D． 6. 《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”，已知某“堑堵”的 三视图如图所示，则该“堑堵”的表面积为 （ ） { } { }2, 1,0,2,3 , | ,A B y y x x A= − − = = ∈ A B = { }0,1,2,3 { }2,3 { }0,1,2 { }0,2,3 2: ,3 1np n N n∀ ∈ ≥ + p¬ 2,3 1nn N n∀ ∈ < + 0 2 0 0,3 1nn N n∃ ∈ < + 2,3 1nn N n∀ ∈ ≤ + 0 2 0 0,3 1nn N n∃ ∈ ≥ + i ( )z a i a R= + ∈ 2 1 3z z i+ = − a = 2− 2− 1 2 1− 1 2 2 112 4 x y− = 2 3 3 2 3 1tan 2 θ = tan 4 π θ − =   3 3− 1 3 1 3 − A． B． C. D． 7. 已知 是等比数列，且 ，则 （ ） A． B． C. D． 8. 已知对数函数 ，且 在区间 上的最大值与最小值之积 为 ，则 （ ） A． B． 或 C. D． 9. 执行如图所示的程序框图，则输出的 （ ） A． B． C. D． 10. 已知函数 ，若在区间 内随机取一个数 ，则 的概率为 （ ） A． B． C. D． 11. 现有一半球形原料，若通过切削将该原料加工成一正方体工件，则所得工件体积与原料 体积之比的最大值为 （ ） A． B． C. D． 12. 已知 是函数 在 内的两个零点，则 （ ） 4 6 4 2+ 4 4 2+ 2 { }na 5 3 7 1 ,4 22a a a= + = 9a = 2 2± 8 1 8 ( ) log ( 0af x x a= > 1)a ≠ [ ]2,4 2 a = 1 2 1 2 2 2 2 2 a = 1 1− 4− 5 2 − ( ) 2 14xf x x= − − ( )0,16 0x ( )0 0f x > 1 4 1 3 2 3 3 4 6 3π 6 6π 3 2 8π 3 2 4π 1 2,x x ( ) 2sin cosf x x x m= + − [ ]0,π ( )1 2sin x x+ = A． B． C. D． 第Ⅱ卷（共 90 分） 二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上） 13. 设向量 与 满足 ,则 ． 14. 设实数 满足约束条件 ，则 的最大值等 于 ． 15. 抛物线 与椭圆 有相同的焦点 ， 抛物线 与 椭圆 交于 ，若 共线，则椭圆 的离心率等 于 ． 16. 已知数列 的前 项和 ，则数列 的前 项和等 于 ． 三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演 算步骤.） 17. （本小题满分 12 分）在 中,角 、 、 所对的边分别为 、 、 .已知 . （1）求 ； （2）若 的面积为 ，周长为 ，求 . 18. （本小题满分 12 分）在某校举行的航天知识竞赛中，参与竞赛的文科生与理科生人数 之比为 ，且成绩分布在 ，分数在 以上（含 ）的同学获奖. 按文理科用分 层抽样的方法抽取 人的成绩作为样本，得到成绩的频率分布直方图（见下图）. （1）求 的值，并计算所抽取样本的平均值 （同一组中的数据用该组区间的中点值作代 表）； （2）填写下面的 列联表，能否有超过 的把握认为“获奖与学生的文理科有关”？ 1 2 3 5 4 5 3 4 a b ( ) ( )2,1 , 1 , 2a a b= − + = − −   a b− =  ,x y 2 5 0 4 0 3 10 0 x y x y x y − − ≤  + − ≤  + − ≥ z y x= − ( )2: 2 0M y px p= > ( )2 2 2 2: 1 0x yN a ba b + = > > F M N ,A B , ,F A B N { }na n 26nS n n= − 1 1 n na a +       20 ABC∆ A B C a b c 22 cos cos 2 sina a A B b A= − C ABC∆ 15 3 4 15 c 1:3 [ ]40,100 80 80 200 a x 2 2× 0 095 文科生 理科生 合计 获奖 不获奖 合计 附表及公式： ，其中 19. （本小题满分 12 分）如图，四棱锥 中， 底面 为线段 上一点， 为 的中点． （1）证明： 平面 ； （2）求点 到平面 的距离． 20. （本小题满分 12 分）已知 为实数， . （1）若 ，求 在 上的最大值和最小值； 5 200 ( ) ( )( )( )( ) 2 2 n ad bcK a b a d a c b d −= + + + + n a b c d= + + + ( )2P K k> 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 P ABCD− PA ⊥ , , 2 4, , 60 ,ABCD AD BC BC AD AB CD ABC N= = = ∠ =  PC 3 ,CN NP M= AD MN  PAB N PAB a ( ) ( )3 23 2 7f x x ax a x= − + + + ( )' 1 0f − = ( )f x [ ]2,2− （2）若 在 和 上都递减，求 的取值范围. 21. （本小题满分 12 分）已知圆 ，圆 ， 经过原点的两直线 满足 ，且 交圆 于不同两点 交圆 于不同两点 ，记 的斜率为 . （1）求 的取值范围； （2）若四边形 为梯形，求 的值． 请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22. （本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系 中，曲线 ，曲线 为参数）， 以坐标 原点 为极点， 轴的正半轴为极轴建 立极坐标系． （1）求曲线 的极坐标方程； （2）若射线 分别交 于 两点， 求 的最大值． 23. （本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲 已知函数 . （1）当 时，解不等式 ； （2）若 ，求 的取值范围． ( )f x ( ], 2−∞ − [ )3,+∞ a ( ) ( )2 2: 2 2 2M x y− + − = ( )22: 8 40N x y+ − = 1 2,l l 1 2l l⊥ 1l M 2, ,A B l N ,C D 1l k k ABCD k xOy 1 : 4C x y+ = 2 1 cos: (sin xC y θ θθ = +  = O x 1 2,C C ( ): 0l pθ α= > 1 2,C C ,A B OB OA ( ) ( )1 0f x a x x a a= − + − > 2a = ( ) 4f x ≤ ( ) 1f x ≥ a 唐山市 2016—2017 学年度高三年级期末考试 文科数学参考答案 一、选择题： A 卷：DBADC BABCD AC B 卷：CBADC BABDD AC 二、填空题： （13）5 （14）－2 （15） 2－1 （16）－ 4 35 三、解答题： （17）解： （Ⅰ）由正弦定理可得 sin A＝2sin AcosAcosB－2sin Bsin2A …2 分 ＝2sin A(cosAcosB－sin BsinA)＝2sin Acos(A＋B)＝－2sin Acos C． 所以 cos C ＝－ 1 2，故 C＝2π 3 ． …6 分 （Ⅱ）由△ABC 的面积为15 3 4 得 ab＝15， …8 分 由余弦定理得 a2＋b2＋ab＝c2，又 c＝15－(a＋b)， 解得 c＝7． …12 分 （18）解： （Ⅰ）a＝[1－(0.01＋0.015＋0.03＋0.015＋0.005)×10]÷10＝0.025， x－＝45×0.1＋55×0.15＋65×0.25＋75×0.3＋85×0.15＋95×0.05＝69． …4 分 （Ⅱ） 文科生 理科生 合计 获奖 5 35 40 不获奖 45 115 160 合计 50 150 200 …8 分 k＝200(5 × 115－35 × 45)2 50 × 150 × 40 × 160 ＝ 25 6 ≈4.167＞3.841， 所以有超过 95%的把握认为“获奖与学生的文理科有关”． …12 分 （19）解： （Ⅰ）过 N 作 NE∥BC，交 PB 于点 E，连 AE， ∵CN＝3NP， ∴EN∥BC 且 EN＝1 4BC， 又∵AD∥BC，BC＝2AD＝4，M 为 AD 的中点， ∴AM∥BC 且 AM＝1 4BC， ∴EN∥AM 且 EN＝AM， ∴四边形 AMNE 是平行四边形， ∴MN∥AE， 又∵MN 平面 PAB，AE ⊂ 平面 PAB， ∴MN∥平面 PAB． …6 分 （Ⅱ）连接 AC，在梯形 ABCD 中， 由 BC＝2AD＝4，AB＝CD，∠ABC＝60° 得 AB＝2， ∴AC＝2 3，AC⊥AB． ∵PA⊥平面 ABCD， ∴PA⊥AC． 又∵PA∩AB＝A，∴AC⊥平面 PAB． 又∵CN＝3NP， ∴N 点到平面 PAB 的距离 d＝1 4AC＝ 3 2 ． …12 分 （20）解：f ′(x)＝－3x2＋6ax＋2a＋7． （Ⅰ）f ′(－1)＝－4a＋4＝0，所以 a＝1． …2 分 f ′(x)＝－3x2＋6x＋9＝－3(x－3)(x＋1)， 当－2≤x＜－1 时，f ′(x)＜0，f (x)单调递减； 当－1＜x≤2 时，f ′(x)＞0，f (x)单调递增， 又 f (－2)＝2，f (－1)＝－5，f (2)＝22， 故 f (x)在[－2，2]上的最大值为 22，最小值为－5． …6 分 （Ⅱ）由题意得 x∈(－∞，－2]∪[3，＋∞)时，f ′(x)≤0 成立， …7 分 由 f ′(x)＝0 可知，判别式∆＞0，所以 {－2 ≤ a ≤ 3， f ′(－2) ≤ 0， f ′(3) ≤ 0． 解得：－ 1 2 ≤a≤1． 所以 a 的取值范围为[－ 1 2 ，1]． …12 分 （21）解： （Ⅰ）显然 k≠0，所以 l1：y＝kx，l2：y＝－ 1 kx． 依题意得 M 到直线 l1 的距离 d1＝ |2k－2| 1 + k2 ＜ 2， 整理得 k2－4k＋1＜0，解得 2－ 3＜k＜2＋ 3； …2 分 同理 N 到直线 l2 的距离 d2＝ |8k| 1 + k2 ＜ 40，解得－ 15 3 ＜k＜ 15 3 ， …4 分 所以 2－ 3＜k＜ 15 3 ． …5 分 （Ⅱ）设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，D(x4，y4)， 将 l1 代入圆 M 可得(1＋k2)x2－4(1＋k)x＋6＝0， 所以 x1＋x2＝ 4(1＋k) 1＋k2 ，x1x2＝ 6 1＋k2 ； …7 分 将 l2 代入圆 N 可得：(1＋k2)x2＋16kx＋24k2＝0， 所以 x3＋x4＝－ 16k 1＋k2 ，x3x4＝ 24k2 1＋k2 ． …9 分 由四边形 ABCD 为梯形可得 x1 x2＝ x4 x3，所以 (x1＋x2)2 x1x2 ＝ (x3＋x4)2 x3x4 ， 所以(1＋k)2＝4，解得 k＝1 或 k＝－3（舍）． …12 分 （22）解：（Ⅰ）C1：ρ(cos θ＋sin θ)＝4， C2 的普通方程为(x－1)2＋y2＝1，所以 ρ＝2cos θ． …4 分 （Ⅱ）设 A(ρ1，α)，B(ρ2，α)，－π 4 ＜α＜π 2 ， 则 ρ1＝ 4 cos α＋sin α ，ρ2＝2cos α， …6 分 |OB| |OA|＝ρ2 ρ1＝ 1 4×2cos α(cos α＋sin α) ＝ 1 4(cos 2α＋sin 2α＋1)＝ 1 4[ 2cos (2α－π 4)＋1]， …8 分 当 α＝π 8时， |OB| |OA|取得最大值 1 4( 2＋1)． …10 分 （23）解： （Ⅱ） ①若 a＞1，f (x)＝(a－1)|x－1|＋|x－1|＋|x－a|≥a－1， 当且仅当 x＝1 时，取等号，故只需 a－1≥1，得 a≥2． …6 分 ②若 a＝1，f (x)＝2|x－1|，f (1)＝0＜1，不合题意． …7 分 ③若 0＜a＜1，f (x)＝a|x－1|＋a|x－a|＋(1－a)|x－a|≥a(1－a)， 当且仅当 x＝a 时，取等号，故只需 a(1－a)≥1，这与 0＜a＜1 矛盾． …9 分 综上所述，a 的取值范围是[2，＋∞)． …10 分 解法 2 f (x)≥1⇒f (1)＝|1－a|≥1 且 a＞0，解得 a≥2. …6 分 当 a≥2 时，f (x)＝a|x－1|＋|x－a|＝{－(a＋1)x＋2a， x＜1， (a－1)x， 1 ≤ x ≤ a， (a＋1)x－2a， x＞a． 所以，f (x)在（－∞,1]上递减，在[1，＋∞）上递增，则 f (x)≥f (1)． …8 分 f (x)≥1⇔f (1)＝a－1≥1，解得 a≥2． 综上所述，a 的取值范围是[2，＋∞)． …10 分