高三数学二轮复习方法突破专题二数学思想方法限时训练文
专题二 数学思想方法
(限时:45 分钟)
重点把关
1.(2016·河南六市二联)已知 =b+i(a,b∈R),其中 i 为虚数单位,则 a+b 等于( A )
(A)1 (B)2 (C)-2 (D)3
2.(2016·安徽百校二联)已知 a,b 均为单位向量,它们的夹角为 60°,c=λa+μb,若 a⊥c,
则下列结论正确的是( D )
(A)λ-μ=0 (B)λ+μ=0
(C)2λ-μ=0 (D)2λ+μ=0
3.(2016·湖北高三模拟)已知 x,y 满足 +y2=1,则 u=|2x+y-4|+
|3-x-2y|的取值范围为( D )
(A)[1,12] (B)[0,6]
(C)[0,12] (D)[1,13]
解析:根据椭圆方程可得,直线 2x+y-4=0 与直线 x+2y-3=0 均与椭圆相离,且在含有椭圆的半
平面内,均使 2x+y-4<0,x+2y-3<0,所以 u=-(2x+y-4)-(x+2y-3)=-3x-3y+7.
设 x= cos α,y=sin α,则 u=-3( cos α+sin α)+7=-6sin(α+
)+7∈ [1,13].故选 D.
4.(2016· 江 西 景 德 镇 重 点 中 学 一 联 ) 已 知 向 量 a,b,c 满 足
|a|=|b|=a·b=2,(a-c)·(b-2c)=0,则|b-c|的最小值为( B )
(A) (B)
(C) (D)
解析:法一 由已知,得向量 a,b 的夹角为 .(a-c)·(b-2c)=0,即(a-c)·( -c)=0,即向量
(a-c)⊥( -c),
如图,把向量 a,b,c 的起点放置在点 O,记 OB 中点为 D,则点 C 在以 AD 为直径的圆 E 上,点 B,C
之间的距离即为|b-c|,所以|b-c|的最小值为
|BE|- |AD|.
在△OAD 中,OA=2,OD=1,∠AOD=60°,可得|AD|= ,且 AD⊥OB,
所以|BE|= = ,
所以|BE|- |AD|= ,即为所求的最小值.故选 B.
法二 由已知,得向量 a,b 的夹角为 .建立平面直角坐标系,设 a=(2,0),b=(1, ),c=(x,y),
则(2-x,-y)·(1-2x, -2y)=0,整理,得(x- )2+(y- )2=( )2.
|b-c|的几何意义是圆(x- )2+(y- )2=( )2 上点(x,y)到点(1, )的距离,故其最小值为
- = .故选 B.
5.(2016·福建厦门一检)已知点列 An(an,bn)(n∈N*)是函数 y=ax(a>0,a≠1)图象上的点,点列
Bn(n,0)满足|AnBn|=|AnBn+1|,若数列{bn}中任意相邻三项能构成三角形三边,则 a 的取值范围
是( B )
(A)0
(B)
(D) 1 时,bn-1bn+1,解得
10),则 a=3t,
于是 c2=a2+ b2=9t2+ ·25t2=49t2.
即 c=7t.
由余弦定理得 cos C= = =- .
所以 C= .
能力提升
9.(2016·安庆二模)已知数列{an}是各项均不为零的等差数列,Sn 为其前 n 项和,且
an= (n∈N*).若不等式 ≤ 对任意 n∈N*恒成立,则实数λ的最大值
为 .
解析:an= ⇒an=
= ,
⇒ =(2n-1)an⇒an=2n-1,n∈N*.
≤ 就是λ≤ ⇒λ≤2n- +15.
2n- +15 在 n≥1 时单调递增,其最小为 9,所以λ≤9,
故实数λ的最大值为 9.
答案:9
10.(2016·吉林四调)已知公差不为零的等差数列{an}中,a3=7,且 a2,a4,a9 成等比数列.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)数列{bn}满足 bn=( ) ,设其前 n 项和为 Sn,
求证: ≤Sn< .
(1)解:设等差数列{an}的公差为 d(d≠0),
由已知得 =a2a9,
即(a3+d)2=(a3-d)(a3+6d),
又 a3=7,d≠0,故 d=3.
从而 a1=1,数列{an}的通项公式 an=3n-2.
(2)证明:由(1)知 bn=( )3n-2,
故 Sn= = [1-( )n]< .
又 bn=( )3n-2>0.
因此 Sn≥S1= ,
故 ≤Sn< .
11.(2016·江西九江三模)已知函数 f(x)=x2+ax-ln x,g(x)=ex(a
∈R).
(1)是否存在 a 及过原点的直线 l,使得直线 l 与曲线 y=f(x),y=g(x)均相切?若存在,求 a 动
点值及直线 l 动点方程;若不存在,请说明
理由;
(2)若函数 F(x)= 在区间(0,1]上是单调函数,求 a 的取值范围.
解:(1)因为 g′(x)=ex,设曲线 y=g(x)在点(x1, )处切线过原点,
则切线方程为 y= x,
因为点(x1, )在切线上,
所以 = ·x1,
所以 x1=1,
所以切线方程为 y=ex,
设直线 y=ex 与曲线 y=f(x)切于点(x2,y2),
因为 f′(x)=2x+a- ,
所以 f′(x2)=2x2+a- =e,
所以 a=e-2x2+ .
又因为 +ax2-ln x2=ex2,
所以 +(e-2x2+ )x2-ln x2=ex2,
所以 +ln x2-1=0,解得 x2=1,
所以 a=e-1.
故存在 a=e-1 及 l:y=ex,使得直线 l 与曲线 y=f(x),y=g(x)均相切.
(2)F(x)= ,
F′(x)= ,
令 h(x)=-x2+(2-a)x+a- +ln x,
则 h′(x)=-2x+ + +2-a,
易知 h′(x)在(0,1]上单调递减,从而 h′(x)≥h′(1)=2-a.
①当 2-a≥0 时,即 a≤2 时,h′(x)≥0,h(x)在区间(0,1]上单调递增,
因为 h(1)=0,
所以 h(x)≤0 在(0,1]上恒成立,
即 F′(x)≤0 在(0,1]上恒成立.
所以 F(x)在区间(0,1]上单调递减,
所以 a≤2 满足题意.
②当 2-a<0 时,即 a>2 时,
因为 h′(1)=2-a<0,
当 x>0 且 x→0 时,h′(x)→+∞,
故函数 h′(x)存在唯一零点 x0∈(0,1],且 h(x)在(0,x0)上单调递增,在(x0,1)上单调递减,
又因为 h(1)=0,
所以 F(x)在(x0,1)上单调递增.
注意到 h(e-a)<0,e-a∈(0,x0),
所以 F(x)在(0,e-a)上单调递减,这与 F(x)在区间(0,1]上是单调函数矛盾,
所以 a>2 不合题意.
综合①②得,a 的取值范围是(-∞,2].
创新选做
12.(2016·湖北武汉调研)若关于 x 的不等式 acos 2x+cos x≥-1 恒成立,则实数 a 的取值范
围是 .
解析:不等式可以化为 2acos2 x+cos x-a+1≥0,
令 t=cos x,则 t∈[-1,1].
令 f(t)=2at2+t-a+1.
若 a=0,则 f(t)=t+1≥0 恒成立.
若 a<0,二次函数 y=f(t)开口向下,故只要 即可,此时
无解.
a>0 时,二次函数 y=f(t)的对称轴方程为 t=- .
若 0 ,则只要 f(- )= - -a+1≥0,
整理,得 8a2-8a+1≤0,
解得 ≤a≤ ,
所以
查看更多
