2020届高三数学（理）“大题精练”14

2020届高三数学（理）“大题精练”14

‎2020届高三数学（理）“大题精练”14‎ ‎17．商品的销售价格与销售量密切相关，为更精准地为商品确定最终售价，商家对商品A按以下单价进行试售，得到部分的数据如下：‎ 单价（元）‎ 销量（件）‎ ‎（1）求销量关于的线性回归方程；‎ ‎（2）预计今后的销售中，销量与单价服从（1）中的线性回归方程，已知每件商品的成本是元，为了获得最大利润，商品的单价应定为多少元？（结果保留整数）‎ ‎（参考数据：，，）（参考公式：，）‎ ‎18．在中，设角的对边分别为，已知.‎ ‎（1）求角的大小；‎ ‎（2）若，求周长的取值范围.‎ 第 11 页 共 11 页 ‎19．如图所示，四棱锥中，底面，，，，，，．‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）求直线与平面所成角的正弦值．‎ ‎20．设椭圆，离心率，短轴，抛物线顶点在原点，以坐标轴为对称轴，焦点为，‎ ‎（1）求椭圆和抛物线的方程；‎ ‎（2）设坐标原点为,为抛物线上第一象限内的点，为椭圆是一点，且有 第 11 页 共 11 页 ‎，当线段的中点在轴上时，求直线的方程．‎ ‎21．已知函数．‎ ‎（1）求函数的单调区间；‎ ‎（2）若恒成立，求的值.‎ ‎22．选修4-4：坐标系与参数方程:在直角坐标系中，曲线（为参数），以坐标原点为极点，以轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.‎ ‎（1）求曲线的极坐标方程；‎ ‎（2）已知点，直线的极坐标方程为，它与曲线的交点为，‎ 第 11 页 共 11 页 ‎，与曲线的交点为，求的面积.‎ ‎23．已知.‎ ‎（1）当时，求不等式的解集；‎ ‎（2）若时不等式成立，求的取值范围.‎ ‎2020届高三数学（理）“大题精练”14（答案解析）‎ ‎17．商品的销售价格与销售量密切相关，为更精准地为商品确定最终售价，商家对商品A按以下单价进行试售，得到部分的数据如下：‎ 单价（元）‎ 第 11 页 共 11 页 销量（件）‎ ‎（1）求销量关于的线性回归方程；‎ ‎（2）预计今后的销售中，销量与单价服从（1）中的线性回归方程，已知每件商品的成本是元，为了获得最大利润，商品的单价应定为多少元？（结果保留整数）‎ ‎（参考数据：，，）（参考公式：，）‎ ‎【解】（1），，‎ ‎，.‎ 销量关于的线性回归方程为；‎ ‎（2）设商品的单价应定为元，则利润，‎ 当时，获得的利润最大．‎ ‎18．在中，设角的对边分别为，已知.‎ ‎（1）求角的大小；‎ ‎（2）若，求周长的取值范围.‎ 第 11 页 共 11 页 ‎【解】（1）由题意知，‎ 即，‎ 由正弦定理得 由余弦定理得，‎ 又.‎ ‎（2），‎ 则的周长 ‎.‎ ‎，‎ ‎，‎ 周长的取值范围是.‎ ‎19．如图所示，四棱锥中，底面，，，，，，．‎ 第 11 页 共 11 页 ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）求直线与平面所成角的正弦值．‎ ‎【解】（1）证明：在中，‎ ‎，，，则，‎ 在中，由，，得，，‎ 又，，‎ 平面，平面，平面；‎ ‎（2）由底面，，‎ 以为坐标原点，分别以、、所在直线为、、轴建立空间直角坐标系，‎ ‎，，，得、、、，‎ ‎，，，‎ 第 11 页 共 11 页 设平面的一个法向量为，‎ 由，取，得，‎ 设直线与平面所成角为，‎ 则．‎ 因此，直线与平面所成角的正弦值为.‎ ‎20．设椭圆，离心率，短轴，抛物线顶点在原点，以坐标轴为对称轴，焦点为，‎ ‎（1）求椭圆和抛物线的方程；‎ ‎（2）设坐标原点为,为抛物线上第一象限内的点，为椭圆是一点，且有，当线段的中点在轴上时，求直线的方程．‎ ‎【解】(1) 由得，又有，代入，解得 ‎ 所以椭圆方程为 ‎ 由抛物线的焦点为得，抛物线焦点在轴，且，‎ 抛物线的方程为： ‎ ‎(2)由题意点位于第一象限，可知直线的斜率一定存在且大于 设直线方程为：，‎ 联立方程得：，可知点的横坐标，即 第 11 页 共 11 页 因为，可设直线方程为：‎ 连立方程得：，从而得 若线段的中点在轴上，可知，即 有，且，解得 ‎ 从而得， ‎ 直线的方程：‎ ‎21．已知函数．‎ ‎（1）求函数的单调区间；‎ ‎（2）若恒成立，求的值.‎ ‎【解】（1）依题意，，令，解得，故， ‎ 故当时，函数单调递减，当时，函数单调递增；‎ 故函数的单调减区间为，单调增区间为． ‎ ‎（2），其中，‎ 由题意知在上恒成立，，‎ 由（1）可知，∴ ， ‎ 第 11 页 共 11 页 ‎∴，记，则，令，得． ‎ 当变化时，，的变化情况列表如下：‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎-‎ 极大值 ‎∴，故，当且仅当时取等号，‎ 又，从而得到．‎ ‎22．选修4-4：坐标系与参数方程:在直角坐标系中，曲线（为参数），以坐标原点为极点，以轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.‎ ‎（1）求曲线的极坐标方程；‎ ‎（2）已知点，直线的极坐标方程为，它与曲线的交点为，，与曲线的交点为，求的面积.‎ ‎【解】（1），‎ 其普通方程为，化为极坐标方程为 ‎（2）联立与的极坐标方程：，解得点极坐标为 ‎ 第 11 页 共 11 页 联立与的极坐标方程：，解得点极坐标为，所以，又点到直线的距离， ‎ 故的面积.‎ ‎23．已知.‎ ‎（1）当时，求不等式的解集；‎ ‎（2）若时不等式成立，求的取值范围.‎ ‎【解】（1）当时，，即 故不等式的解集为．‎ ‎（2）当时成立等价于当时成立．‎ 若，则当时；‎ 若，的解集为，所以，故．‎ 综上，的取值范围为．‎ 第 11 页 共 11 页