四川省南充高级中学2019-2020学年高二下学期期中考试数学（理）试题

四川省南充高级中学2019-2020学年高二下学期期中考试数学（理）试题

南充高中2019－2020学年度下期 高2018级期中考试数学试卷（理）‎ ‎ 第Ⅰ卷（选择题 共60分）‎ 一、选择题（每小题5分，共60分）‎ ‎1、已知是虚数单位，则复数的虚部是（ ）‎ A. ‎ B. C. D. ‎ ‎2、右图所示的三角形数组是我国古代数学家杨辉发现的，称为杨辉三角形，根据图中的数构成的规律，a所表示的数是( ) ‎ A. 5 B. 4 C. 6 D. 9‎ ‎3、点的极坐标是，则在以极点为原点，极轴为轴正半轴的平面直角坐标系中，点的直角坐标是（ ）‎ A. ‎ B. C. D. ‎ ‎4、已知数列满足，若，则（ ）‎ A. ‎ B. C. D. ‎ ‎5、已知命题，则命题的否定为（　　）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎6、在三棱锥中，，且两两互相垂直,则三棱锥的外接球的体积为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎7、阅读如图的框图，运行相应的程序，若输入的值为6，则输出 的值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎8、已知是所在平面内一点，，现将一粒黄豆随机撒在内，则黄豆落在内的概率是（ ）‎ A. B． C． D．‎ ‎9、过抛物线的焦点的直线交该抛物线于，两点，若两点的横坐标之和为3，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎10、已知偶函数的定义域为，其导函数为，当时，有成立，则关于的不等式的解集为（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎11、已知离心率为2的双曲线的左、右焦点分别为，直线与双曲线在第一象限的交点为，的角平分线与交于点，若，则的值是（　　）‎ A. B. C. D. ‎ ‎12、已知函数，若时，恒有，则的最大值为（ ）‎ A. ‎ B. C. D. ‎ 第Ⅱ卷（非选择题 共90分）‎ 二、填空题（每小题5分，共20分）‎ ‎13、 从1，2，3，....，9这9个正整数中选择两个，使其和为奇数，则不同的选择方法种数是 .‎ ‎14、函数的图象在处的切线方程为，则  ，     ．‎ ‎15、已知是直线上的动点，是圆的两条切线，是切点，是圆心，若四边形的面积的最小值为，则的值为 .‎ ‎16、已知函数，若关于的方程有四个不相等的实数根，则实数的取值范围是 。‎ 三、解答题（共70分）‎ ‎17、（10分）已知命题不等式的解集是. 命题函数在定义域内是增函数. 若为真命题，为假命题，求实数的取值范围.‎ ‎18、（12分）目前，新冠病毒引发的肺炎疫情在全球肆虐，为了解新冠肺炎传播途径，采取有效防控措施，某医院组织专家统计了该地区500名患者新冠病毒潜伏期的相关信息，数据经过汇总整理得到如下图所示的频率分布直方图（用频率作为概率）.潜伏期不高于平均数的患者，称为“短潜伏者”，潜伏期高于平均数的患者，称为“长潜伏者”.‎ ‎（1）求这500名患者潜伏期的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表），并计算出这500名患者中“长潜伏者”的人数；‎ ‎（2）为研究潜伏期与患者年龄的关系，以潜伏期是否高于平均数为标准进行分层抽样，从上述500名患者中抽取300人，得到如下表格.‎ ‎（i）请将表格补充完整；‎ 短潜伏者 长潜伏者 合计 ‎60岁及以上 ‎90‎ ‎60岁以下 ‎140‎ 合计 ‎300‎ ‎（ii）研究发现，某药物对新冠病毒有一定的抑制作用，现需在样本中60岁以下的140名患者中按分层抽样方法抽取7人做I期临床试验，再从选取的7人中随机抽取两人做Ⅱ期临床试验，求两人中恰有1人为“长潜伏者”的概率.‎ ‎19、（12分）如图，在四棱锥中，底面是矩形，为的中点，底面，.‎ （1） 求证：平面；‎ ‎（2）求钝二面角的余弦值. ‎ ‎20、（12分）在直角坐标系中，已知直线过点．以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为. （1）求的直角坐标方程； （2）若与交于两点，求的最大值．‎ ‎21、（12分）已知椭圆经过点与两点.‎ （1） 求椭圆的方程；‎ （2） 过原点的直线与椭圆交于两点（不与椭圆的顶点重合）， 椭圆上一点满足 . 求证:为定值.‎ ‎22、（12分）已知函数，.‎ ‎（1）讨论的单调性；‎ ‎（2）设函数，若有两个零点，‎ ‎（i）求的取值范围；（ii）证明：. ‎ 试卷答案(理科)‎ 一、选择题 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ D C A D C A C B C D D C 二、填空题 ‎13‎ ‎14‎ ‎15‎ ‎16‎ ‎20‎ ‎3‎ 三、解答题 ‎17 解：若命题为真命题，则，解得；‎ 若命题为真命题，则，.‎ 因为 为真命题，为假命题，‎ 所以两命题一真一假 （1） p真q假，则，‎ （2） p假q真，则，‎ 综上所述，的取值范围是.‎ ‎18 （1）平均数 ‎. ‎ ‎“长潜伏者”即潜伏期时间不低于6天的频率为0.5‎ 所以500人中“长潜伏者”的人数为人 ‎（2）（i）由题意补充后的表格如图：‎ 短潜伏者 长潜伏者 合计 ‎60岁及以上 ‎90‎ ‎70‎ ‎160‎ ‎60岁以下 ‎60‎ ‎80‎ ‎140‎ 合计 ‎150‎ ‎150‎ ‎300‎ ‎（ii）由分层抽样知7人中，“短潜伏者”有3人，记为，“长潜伏者”有4人，记为D，E，F，G， ‎ 从中抽取2人，共有，，，，，，，‎ ‎，，，，，，，，，‎ ‎，，，，，‎ 共有21种不同的结果，两人中恰好有1人为“长潜伏者”包含了12种结果. ‎ 所以所求概率.‎ ‎19 解：（1）证明：∵，∴.‎ ‎∵四边形是矩形，所以，‎ 由 ，∴.‎ ‎，为的中点，∴‎ 由 . ‎ ‎（2）由已知三条直线两两垂直，于是可以分别以射线、、为建立空间直角坐标系.‎ 则,‎ 所以 设平面的法向量为，则 ‎，令，则.‎ 设平面的法向量为，则 ‎，令，则.‎ ‎.‎ 设二面角的平面角为，由已知为钝角，‎ ‎∴.‎ 20. ‎ (1)将方程两边同时乘以，‎ 得 ‎∵‎ ‎∴，即 所以曲线的直角坐标方程为.‎ (2) 设直线的倾斜角为，∵直线与抛物线有两个交点，所以 ‎∴直线的参数方程为，将其代入，‎ 得 设两点对应的参数分别是，则 由于，∴一正一负 于是 ‎∴当时，的最大值为 ‎21 （1）将与代入椭圆方程，得，解得，‎ ‎∴椭圆的方程为.‎ ‎（2）∵直线过原点，所以两点关于原点对称.‎ ‎∵，∴在线段的中垂线上.‎ ‎∵不与椭圆的顶点重合，所以直的斜率存在且不为0，设其为.‎ 所以直线的方程为，由 所以 ，∴‎ 又直线，同理可得，‎ ‎22 解：（1），‎ ‎①当时，，；‎ ‎∴上单调递减，在上单调递增；‎ ‎②当时，，∴在上单调递增；‎ ‎③当时，，，‎ ‎，∴上单调递增，在上单调递减；‎ ‎④当时，，，‎ ‎，∴上单调递增，在上单调递减；‎ ‎ ‎ ‎（2），‎ (i) 若，则恒成立，在上递增，所以至多一个零点，与已知不符合，故 时，，‎ ‎∴在上单调递增，在上单调递减，‎ 所以在处取得极大值，为 当时，， 当时，‎ ‎∵有两个零点，所以只需极大值，即 设，‎ 则，所以在上单调递减 又，所以使得的.‎ ‎(II) 结合（i）的分析，不妨设，‎ 设，，‎ 所以 当时，，∴在上单调递增.‎ ‎∵，且，∴‎ 又，∴，‎ 由，可知与均属于，‎ 又在上单调递减，‎ ‎∴由，即.‎