2020学年高二数学下学期期末考试试题 理（含解析）

2020学年高二数学下学期期末考试试题 理（含解析）

‎2019学年高二数学下学期期末考试试题 理（含解析）‎ 考试时间：120分，满分150分 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，将答案填在答题卡上）‎ ‎1．已知全集，集合，，则等于（）．‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】‎ ‎∴．‎ 选．‎ ‎2．命题“若一个正数，则它的平方是正数”的逆命题是（）．‎ A．“若一个数是正数，则它的平方不是正数”‎ B．“若一个数的平方是正数，则它是正数”‎ C．“若一个数不是正数，则它的平方不是正数”‎ D．“若一个数的平方不是正数，则它不是正数”‎ ‎【答案】B ‎【解析】逆命题为条件、结论互换，选．‎ ‎3．设函数，则（）．‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎．‎ 选．‎ ‎4．设，则下列不等式中不成立的是（）．‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】不妨令，，‎ - 11 -‎ ‎：不成立，‎ 选．‎ ‎5．已知函数在上满足：对任意，都有，则实数的取值范围是（）．‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C、‎ ‎【解析】按题意在上单调，而在时为减函数，‎ ‎∴为减函数，‎ 时，，‎ ‎，‎ ‎∴．‎ 选．‎ ‎6．复数的共轭复数是（）．‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】，‎ ‎∴共轭复数为．选．‎ ‎7．由直线，，与曲线所围成的封闭图形的面积为（）．‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】，‎ - 11 -‎ 选．‎ ‎8．函数的图象是圆心在原点的单位圆的两段弧（如图），则不等式的解集为（）．‎ A．或 B．或 C．或 D．且 ‎【答案】A ‎【解析】显然为奇数，‎ ‎∴可等价转换为，‎ 当时，．‎ 当时，‎ ‎∴，‎ ‎．‎ 当时，，‎ ‎∴，‎ - 11 -‎ 综上：或．‎ 二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分，将答案填在答题卡的横线上）‎ ‎9．已知等差数列，，，则__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】设，‎ ‎∴，‎ 解得：‎ ‎，‎ ‎∴．‎ ‎10．已知二次函数，若是偶函数，则实数的值为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 为偶函数，‎ 有，‎ ‎．‎ ‎11．若“或”是“”的必要不充分条件，则实数的取值范围为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】（），得：或，‎ 若或为的必要不充分条件．‎ 则，即，‎ ‎∴．‎ ‎12．已知定义在上的奇函数满足，且当时，，则 __________；__________．‎ - 11 -‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】可知周期为，‎ ‎，‎ 为奇函数，‎ ‎，‎ ‎∴答案为，．‎ ‎13．直线（为参数）与曲线（为参数）的位置关系是__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】，‎ ‎，．‎ ‎∴．‎ ‎14．已知数列中，，则__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎，‎ ‎∴‎ ‎．‎ - 11 -‎ 三、解答题（本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）‎ ‎15．（本小题满分分）‎ 已知数列是等比数列，其前项和是，，．‎ ‎（Ⅰ）求数列的通项公式．‎ ‎（Ⅱ）求满足的的值．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】（）设 ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎∴．‎ ‎（），‎ ‎．‎ 当为偶数不成立，‎ 当为奇数，‎ ‎∴．‎ 又∵，‎ ‎∴．‎ ‎16．（本小题满分分）‎ 已知数列，是奇函数．‎ - 11 -‎ ‎（Ⅰ）求的表达式．‎ ‎（Ⅱ）讨论的单调性，并求在区间上的最大值与最小值．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】（）‎ ‎．‎ ‎∵，‎ ‎∴对有．‎ 解得：，．‎ ‎17．（本小题满分分）‎ 设，不等式的解集记为集合．‎ ‎（Ⅰ）若，求的值．‎ ‎（Ⅱ）当时，求集合．‎ ‎【答案】，‎ ‎【解析】（），‎ ‎∴，为两根，‎ ‎∴代入，‎ ‎．‎ ‎（），‎ 两根为，，‎ ‎①，时，．‎ ‎②，时或．‎ ‎③，时，或．‎ 综上：时，或，‎ 时，，‎ 时，或．‎ - 11 -‎ ‎18．（本小题满分分）‎ 已知等差数列的前项和为，且满足，．‎ ‎（Ⅰ）__________，__________，__________，当__________时，取得取小值，最小值为__________．‎ ‎（Ⅱ）若数列中相异的三项，，成等比数列，求的最小值．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】（），‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎∴，‎ 解得，，‎ ‎∴．‎ ‎，‎ ‎∴．‎ ‎（）‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，，‎ ‎，分数，‎ ‎，，‎ ‎，分数，‎ ‎，．‎ - 11 -‎ 综上，时，的最小值．‎ ‎19．（本小题满分分）‎ 若实数，，满足，则称比靠近．‎ ‎（Ⅰ）若比靠近，求实数有取值范围．‎ ‎（Ⅱ）（i）对，比较和哪一个更靠近，并说明理由．‎ ‎（ii）已知函数的通项公式为，证明：．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】（）‎ ‎，‎ ‎∴．‎ ‎（）①∵，∴，‎ ‎∴，‎ 记，‎ ‎．‎ ‎，‎ ‎∴在单减．‎ ‎∴，即，‎ ‎∴比靠近．‎ ‎②，‎ 由①得：‎ ‎，‎ ‎∴．‎ 又∵，‎ ‎∴．‎ ‎20．（本小题满分分）‎ - 11 -‎ ‎ 已知函数的图象在上连续不断，定义：‎ ‎，‎ ‎，‎ 其中，表示函数在上的最小值，表示函数在上最大值．若存在最小正整数，使对任意的成立，则称函数为上的“阶收缩函数”．‎ ‎（Ⅰ）若，，试写出，的表达式．‎ ‎（Ⅱ）已知函数，，试判断是否为上的“阶收缩函数”，如果是，求出对应的，如果不是，请说明理由．‎ ‎（Ⅲ）已知，函数是上的阶收缩函数，求的取值范围．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】（），，，．‎ ‎（），‎ ‎，‎ ‎，‎ 当，，∴，‎ ‎，，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎，，‎ 综上，．‎ 即存在，使是上阶收缩函数．‎ ‎（），，，令，或．‎ - 11 -‎ ‎（ⅰ）时，在单调，∴，‎ ‎，‎ 因是上阶收缩函数．‎ ‎①∴对恒成立．‎ ‎②，使成立．‎ ‎①即对恒成立．‎ 解得或，‎ ‎∴有．‎ ‎②即使 ‎∴或，‎ 只需，‎ 综①②，．‎ ‎（ⅱ）时，‎ 显然 ‎∴在上单调递增，‎ ‎，，‎ ‎∴，‎ 此时不成立．‎ 综（ⅰ）（ⅱ）．‎ - 11 -‎