2011年数学文（湖北）高考试题

2011年数学文（湖北）高考试题

‎2011年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）‎ 数学试题（文史类）‎ ‎ 本试题卷共4页，三大题21小题。全卷满分150分，考试用时120分钟。‎ ‎★祝考试顺利★‎ 注意事项：‎ ‎ 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上。并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。用2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。‎ ‎ 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答在试题卷、草稿纸上无效。‎ ‎ 3．填空题和解答题的作答：用0．5毫米黑色黑水签字笔直接在答题卡上对应的答题区域内。答在试题卷、草稿纸上无效。‎ ‎ 4．考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并交回。‎ 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。‎ ‎1．已知则 ‎ A． B．‎ ‎ C． D．‎ ‎2．若向量，则2a+b与的夹角等于 ‎ A． B． C． D．‎ ‎3．若定义在R上的偶函数和奇函数满足，则=‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎4．将两个顶点在抛物线上，另一个顶点是此抛物线焦点的正三角形个数记为，则 ‎ A． B． ‎ ‎ C． D．‎ ‎5．有一个容量为200的样本，其频率分布直方图如图所示，根据样本的频率分布直方图估计，样本数据落在区间内的频数为 ‎ A．18 B．36‎ ‎ C．54 D．72‎ ‎6．已知函数，若，则x的取值范围为 ‎ A． B．‎ ‎ C． D．‎ ‎7．设球的体积为，它的内接正方体的体积为，下列说法中最合适的是 ‎ A．比大约多一半 B．比大约多两倍半 ‎ C．比大约多一倍 D．比大约多一倍半 ‎8．直线与不等式组表示的平面区域的公共点有 ‎ A．0个 B．1个 C．2个 D．无数个 ‎9．《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共‎3升，下面3节的容积共‎4升，则第5节的容积为 ‎ A．‎1升 B．升 C．升 D．升 ‎10．若实数a，b满足，且，则称a与b互补，记那么是a与b互补的 ‎ A．必要而不充分的条件 B．充分而不必要的条件 ‎ C．充要条件 D．既不充分也不必要的条件 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，请将答案填在答题卡对应题号的位置上，一题两空的题，其答案按先后次序填写，答错位置，书写不清，模棱两可均不得分。‎ ‎11．某市有大型超市200家、中型超市400家、小型超市1400家。为掌握各类超市的营业情况，现按分层抽样方法抽取一个容量为100的样本，应抽取中型超市__________家。‎ ‎12．的展开式中含的项的系数为__________。（结果用数值表示）‎ ‎13．在30瓶饮料中，有3瓶已过了保质期，从这30瓶饮料中任取2瓶，则至少取到1瓶已过保质期饮料的概率为__________。（结果用最简分数表示）‎ ‎14．过点（—1,—2）的直线l被圆截得的弦长为，则直线l的斜率为__________。‎ ‎15．里氏震级M的计算公式为：，其中A是测震仪记录的地震曲线的最大振幅，‎ 是相应的标准地震的振幅。假设在一次地震中，测震仪记录的最大振幅是1000，此时标准地震的振幅为0.001，则此次地震的震级为 级；9级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的 倍。‎ 三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。‎ ‎16．（本小题满分12分）‎ ‎ 设的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知 ‎（I） 求的周长；‎ ‎（II）求的值。‎ ‎17．（本小题满分12分）‎ ‎ 成等差数列的三个正数的和等于15，并且这三个数分别加上2、5、13后成为等比数列中的、、。‎ ‎（I） 求数列的通项公式；‎ ‎（II） 数列的前n项和为，求证：数列是等比数列。‎ ‎18．（本小题满分12分）‎ ‎ 如图，已知正三棱柱-的底面边长为2，侧棱长为，点E在侧棱上，点F在侧棱上，且,．‎ ‎（I） 求证：；‎ ‎（II） 求二面角的大小。‎ ‎19．（本小题满分12分）‎ ‎ 提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况，在一般情况下，大桥上的车流速度v（单位：千米/小时）是车流密度x（单位：辆 /千米）的函数，当桥上的车流密度达到200辆 /千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆 /千米时，车流速度为‎60千米/小时，研究表明：当时，车流速度v是车流密度x的一次函数。‎ ‎（I）当时，求函数v（x）的表达式；‎ ‎（II）当车流密度x为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时）可以达到最大，并求出最大值。（精确到1辆/小时）。‎ ‎20．（本小题满分13分）‎ ‎ 设函数，，其中，a、b为常数，已知曲线与在点（2,0）处有相同的切线l。‎ ‎（I） 求a、b的值，并写出切线l的方程；‎ ‎（II）若方程有三个互不相同的实根0、、，其中，且对任意的，恒成立，求实数m的取值范围。‎ ‎21．（本小题满分14分）‎ ‎ 平面内与两定点、（）连线的斜率之积等于非零常数m的点的轨迹，加上、A2两点所成的曲线C可以是圆、椭圆或双曲线。‎ ‎（Ⅰ）求曲线C的方程，并讨论C的形状与m值的关系；‎ ‎（Ⅱ）当时，对应的曲线为；对给定的，对应的曲线为，设、是的两个焦点。试问：在上，是否存在点，使得△的面积。若存在，求的值；若不存在，请说明理由。‎ 参考答案 一、选择题：本题主要考查基础知识和基本运算。每小题5分，满分50分。‎ A卷：1—5ACDCB 6—10ADBBC B卷：1—5DCABC 6—10ADBBC 二、填空题：本题主要考查基础知识和基本运算，每小题5分，满分25分。‎ ‎11．20 12．17 13． 14．1或 15．6，10000‎ 三、解答题：本大题共6小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。‎ ‎16．本小题主要考查三角函数的基本公式和解斜三角形的基础知识，同时考查基本运算能力。（满分12分）‎ ‎ 解：（Ⅰ）‎ ‎ ‎ ‎ 的周长为 ‎ （Ⅱ）‎ ‎ ‎ ‎ ，故A为锐角，‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎17．本小题主要考查等差数列，等比数列及其求和公式等基础知识，同时考查基本运算能力。（满分12分）‎ ‎ 解：（Ⅰ）设成等差数列的三个正数分别为 ‎ 依题意，得 ‎ 所以中的依次为 ‎ 依题意，有（舍去）‎ ‎ 故的第3项为5，公比为2。‎ ‎ 由 ‎ 所以是以为首项，2为以比的等比数列，其通项公式为 ‎ （Ⅱ）数列的前项和，即 ‎ 所以 ‎ 因此为首项，公比为2的等比数列。‎ ‎18．本小题主要考查空间直线与平面的位置关系和二面角的求法，同时考查空间想象能力和推理论证能力。（满分12分）‎ ‎ 解法1：（Ⅰ）由已知可得 ‎ ‎ ‎ 于是有 ‎ 所以 ‎ 又 ‎ 由 ‎ （Ⅱ）在中，由（Ⅰ）可得 ‎ 于是有EF2+CF2=CE2，所以 ‎ 又由（Ⅰ）知CF C1E，且，所以CF 平面C1EF，‎ ‎ 又平面C1EF，故CF C‎1F。‎ ‎ 于是即为二面角E—CF—C1的平面角。‎ ‎ 由（Ⅰ）知是等腰直角三角形，所以，即所求二面角E—CF—C1的大小为。‎ ‎ 解法2：建立如图所示的空间直角坐标系，则由已知可得 ‎ ‎ ‎ （Ⅰ）‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ （Ⅱ），设平面CEF的一个法向量为 ‎ 由 ‎ 即 ‎ 设侧面BC1的一个法向量为 ‎ ‎ ‎ 设二面角E—CF—C1的大小为θ，于是由θ为锐角可得 ‎ ，所以 ‎ 即所求二面角E—CF—C1的大小为。‎ ‎19．本小题主要考查函数、最值等基础知识，同时考查运用数学知识解决实际问题的能力。（满分12分）‎ ‎ 解：（Ⅰ）由题意：当；当 ‎ 再由已知得 ‎ 故函数的表达式为 ‎ （Ⅱ）依题意并由（Ⅰ）可得 ‎ 当为增函数，故当时，其最大值为60×20=1200；‎ ‎ 当时，‎ ‎ 当且仅当，即时，等号成立。‎ ‎ 所以，当在区间[20，200]上取得最大值 ‎ 综上，当时，在区间[0，200]上取得最大值。‎ ‎ 即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3333辆/小时。‎ ‎20．本题主要考查函数、导数、不等式等基础知识，同时考查综合运用数学知识进行推理论证的能力，以及函数与方程和特殊与一般的思想，（满分13分）‎ ‎ 解：（Ⅰ）‎ ‎ 由于曲线在点（2，0）处有相同的切线，‎ ‎ 故有 ‎ 由此得 ‎ 所以，切线的方程为 ‎ （Ⅱ）由（Ⅰ）得，所以 ‎ 依题意，方程有三个互不相同的实数，‎ ‎ 故是方程的两相异的实根。‎ ‎ 所以 ‎ 又对任意的成立，‎ ‎ 特别地，取时，成立，得 ‎ 由韦达定理，可得 ‎ 对任意的 ‎ 则 ‎ 所以函数的最大值为0。‎ ‎ 于是当时，对任意的恒成立， ‎ ‎ 综上，的取值范围是 ‎20．本小题主要考查曲线与方程、圆锥曲线等基础知识，同时考查推理运算的能力，以及分类与整合和数形结合的思想。（满分14分）‎ ‎ 解：（I）设动点为M，其坐标为，‎ ‎ 当时，由条件可得 即，‎ 又的坐标满足 故依题意，曲线C的方程为 当曲线C的方程为是焦点在y轴上的椭圆；‎ 当时，曲线C的方程为，C是圆心在原点的圆；‎ 当时，曲线C的方程为，C是焦点在x轴上的椭圆；‎ 当时，曲线C的方程为C是焦点在x轴上的双曲线。‎ ‎（II）由（I）知，当m=-1时，C1的方程为 当时，‎ C2的两个焦点分别为 对于给定的，‎ C1上存在点使得的充要条件是 ‎②‎ ‎①‎ 由①得由②得 当 或时，‎ 存在点N，使S=|m|a2；‎ 当 或时，‎ 不存在满足条件的点N，‎ 当时，‎ 由，‎ 可得 令，‎ 则由，‎ 从而，‎ 于是由，‎ 可得 综上可得：‎ 当时，在C1上，存在点N，使得 当时，在C1上，存在点N，使得 当时，在C1上，不存在满足条件的点N。‎