2021版高考数学一轮复习第四章三角函数解三角形4-4三角函数的图象与性质练习苏教版
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4.4 三角函数的图象与性质
考点一 三角函数的定义域、值域(最值)
1.函数 y= 的定义域为________.
2.(2019·全国卷Ⅰ)函数 f(x)=sin -3cos x 的最小值为________.
3.函数 f(x)=1-3sin 的值域为________.
【解析】1.要使函数有意义,必须使 sin x-cos x≥0.利用图象,在同一坐标系中画出[0,2π]
上 y=sin x 和 y=cos x 的图象.在[0,2π]内,满足 sin x=cos x 的 x 为 , ,再结合正弦、
余弦函数的周期是 2π,所以原函数的定义域为
.
答案:
2.f(x)=sin -3cos x=-cos 2x-3cos x
=-2cos2x-3cos x+1=-2 + ,
因为-1≤cos x≤1,所以当 cos x=1 时,f(x)min=-4,
故函数 f(x)的最小值为-4.
答案:-4
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3.因为-1≤sin ≤1,所以-3≤-3sin ≤3,
所以-2≤1-3sin ≤4,
所以函数 f(x)=1-3sin 的值域为[-2,4].
答案:[-2,4]
1.求三角函数的定义域的实质
解简单的三角不等式,常借助三角函数线或三角函数的图象求解.
2.求解三角函数的值域(最值)常见三种类型
(1)形如 y=asin x+bcos x+c 的三角函数化为 y=Asin(ωx+φ)+c 的形式,再求值域(最值).
(2)形如 y=asin2x+bsin x+c 的三角函数,可先设sin x=t,化为关于 t的二次函数求值域(最值).
(3)形如 y=asin xcos x+b(sin x±cos x)+c 的三角函数,可先设 t=sin x±cos x,化为关于 t
的二次函数求值域(最值).
【秒杀绝招】
图象性质解 T1,sin x-cos x= sin ≥0,将 x- 视为一个整体,由正弦函数 y=sin
x 的图象与性质知 2kπ≤x- ≤π+2kπ(k∈Z),解得 2kπ+ ≤x≤2kπ+ (k∈Z).
所以定义域为 .
特殊值法解 T2,易知 f(x)≥-4,又 x=0 时,f(x)=-4,所以 f(x)的最小值为-4.
考点二 三角函数的单调性
【典例】1.(2018·全国卷Ⅱ)若 f(x)=cos x-sin x 在[0,a]上是减函数,则 a 的最大值是
( )
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A. B. C. D.π
2.函数 f(x)=sin 的单调递减区间为________.
【解题导思】
序号 联想解题
1
看到“f(x)=cos x-sin x 在[0,a]上是减函数”想到化简 f(x)解析式,[0,a]是某个
减区间的子集
2
看到“f(x)=sin ”想到运用诱导公式转化为
f(x)=-sin
【解析】1.选 C.f(x)=cos x-sin x= cos 在 上单调递减,
所以[0,a]⊆ ,故 0
0)的形式,再求 y=Asin(ωx+φ)的单调区间,只需把ωx+φ看
作一个整体代入 y=sin x 的相应单调区间内即可.
2.已知单调区间求参数的三种方法
子集法 求出原函数的相应单调区间,由已知区间是该区间的子集,列不等式(组)求解
求补
集法
由所给区间求出整体角的范围,由该范围是某相应正、余弦函数的某个单调区间
的子集,列不等式(组)求解
周期
性法 由所给区间的两个端点到其相应对称中心的距离不超过 周期列不等式(组)求解
1.设函数 f(x)=sin ,x∈ ,则以下结论正确的是 ( )
A.函数 f(x)在 上单调递减
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B.函数 f(x)在 上单调递增
C.函数 f(x)在 上单调递减
D.函数 f(x)在 上单调递增
【解析】选 C.由 x∈ 得 2x- ∈ ,所以 f(x)先减后增;
由 x∈ 得 2x- ∈ ,
所以 f(x)先增后减;
由 x∈ 得 2x- ∈ ,
所以 f(x)单调递减;
由 x∈ 得 2x- ∈ ,所以 f(x)先减后增.
2.若函数 f(x)=sin ωx(ω>0)在区间 上单调递增,在区间 上单调递减,则ω
=________.
【解析】因为 f(x)=sin ωx(ω>0)过原点,
所以当 0≤ωx≤ ,即 0≤x≤ 时,
y=sin ωx 是增函数;
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当 ≤ωx≤ ,即 ≤x≤ 时,y=sin ωx 是减函数.
由已知 = ,所以ω= .
答案:
考点三 三角函数的周期性、奇偶性、对称性
命
题
精
解
读
考什么:(1)周期性,奇偶性、对称性等.
(2)考查逻辑推理,数学运算等核心素养,以及转化与化归的思想.
怎么考:与诱导公式、三角恒等变换结合考查求周期,参数等等.
新趋势:以考查与诱导公式、三角恒等变换结合为主.
学
霸
好
方
法
求周期的三种方法
(1)利用周期函数的定义:
f(x+T)=f(x).
(2)利用公式:y=Asin(ωx+φ)和 y=Acos(ωx+φ)的最小正周期为 ,y=tan(ωx+
φ)的最小正周期为 .
(3)利用图象:图象重复的 x 轴上一段的长度.
①正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半个周期,相邻的
对称中心与对称轴之间的距离是 个周期.
②正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半个周期.
周期性
【典例】1.(2019·全国卷Ⅱ)若 x1= ,x2= 是函数 f(x)=sin ωx(ω>0)两个相邻的极值点,
则ω= ( )
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A.2 B. C.1 D.
2.(2019·北京高考)函数 f(x)=sin22x 的最小正周期是________.
【解析】1.选 A.由于 x1= ,x2= 是函数两个相邻的极值点,故 = - = ,
所以 T=π,即ω= =2.
2.f(x)= (1-cos 4x),最小正周期 T= = .
答案:
涉及三角函数的性质问题有哪些注意事项?
提示:(1)考虑利用三角恒等变换将函数化为一个角的一种函数形式.
(2)掌握一些简单函数的周期:如:
①y=Asin(ωx+φ)的周期为 .
②y=Atan(ωx+φ)的周期为 .
③y=|sin x|的周期为π.
④y=|tan x|的周期为π.
奇偶性、对称性
【典例】(2019·全国卷Ⅱ)下列函数中,以 为周期且在区间 单调递增的是
( )
A.f(x)=|cos 2x| B.f(x)=|sin 2x|
C.f(x)=cos|x| D.f(x)=sin|x|
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【解析】选 A.分别画出函数的图象可得选项 A 的周期为 ,选项 B 的周期为 ,而选项 C 的周
期为 2π,选项 D 不是周期函数.结合图象的升降情况可得 A 正确.
1.函数 y= sin 2x+cos 2x 的最小正周期为 ( )
A. B. C.π D.2π
【解析】选 C.y= sin 2x+cos 2x=2sin ,T= =π.
2.同时具有:①最小正周期为π;②图象关于点 对称的一个函数
是 ( )
A.y=cos B.y=sin
C.y=sin D.y=tan
【解析】选 D.由 T=π,排除 C;
把 x= 代入 A,B,函数值均不为零,排除 A,B;
再验证 D 符合题意.
3.(2018·江苏高考)已知函数 y=sin(2x+φ) 的图象关于直线 x= 对称,
则φ的值是________.
【解析】正弦函数的对称轴为 +kπ(k∈Z),
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故把 x= 代入得 +φ= +kπ(k∈Z),φ=- +kπ(k∈Z),因为- <φ< ,
所以 k=0,φ=- .
答案:-
1.函数 f(x)=cos(ωx+φ)的部分图象如图所示,则 f(x)的单调递减区间
为 ( )
A. ,k∈Z
B. ,k∈Z
C. ,k∈Z
D. ,k∈Z
【解析】选 D.由五点法作图知,
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解得
所以 f(x)=cos ,
令 2kπ<πx+ <2kπ+π,k∈Z,
解得 2k-
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