2021版高考数学一轮复习第八章立体几何8-5空间向量及其运算课件苏教版

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第五节　 空间向量及其运算　 内容索引 必备知识 · 自主学习 核心考点 · 精准研析 核心素养测评 【 教材 · 知识梳理 】 1. 空间直角坐标系与点的坐标 (1) 空间一点 M 的 坐标可以用有序实数组 ________ 表示 . (2) 建立了空间直角坐标系 , 空间中的点 M 与有序实数组 (x,y,z) 可以建立 _________ 的关系 . (x,y,z) 一一对应 2. 空间两点间的距离公式、中点公式 (1) 距离公式 : ① 设点 A(x 1 ,y 1 ,z 1 ),B(x 2 ,y 2 ,z 2 ), 则 |AB|= ____________________________ ; ② 设点 P(x,y,z), 则与坐标原点 O 之间的距离为 |OP|=____________. (2) 中点公式 : 设点 P(x,y,z) 为 P 1 (x 1 ,y 1 ,z 1 ),P 2 (x 2 ,y 2 ,z 2 ) 的中点 , 则 ____________. 3. 空间向量中的特殊向量 名称 概念 零向量 模为 __ 的向量 单位向量 长度 ( 模 ) 为 __ 的向量 相等向量 方向 _____ 且模 _____ 的向量 相反向量 方向 _____ 且模 _____ 的向量 共线向量 表示空间向量的有向线段所在的直线互相 ___________ 的向量 共面向量 平行于同一个 _____ 的向量 0 1 相同 相等 相反 相等 平行或重合 平面 4. 空间向量中的有关定理 语言描述 共线向 量定理 对空间任意两个向量 a , b ( b ≠ 0 ), a ∥ b ⇔ 存在 λ∈R, 使 a =λ b . 共面向 量定理 若两个向量 a , b 不共线 , 则向量 p 与向量 a , b 共面 ⇔ 存在惟一的有序实数对 (x,y), 使 p =x a +y b . 空间向 量基本 定理 如果三个向量 a , b , c 不共面 , 那么对空间任一向量 p , 存在有序实数组 {x,y,z} 使得 p =x a +y b +z c . 5. 空间向量的数量积 (1) 两向量的夹角的两个关注点 ①共起点的 向量 = a , = b , 则 ______ 叫做向量 a , b 的夹角 . ② 范围 :0≤< a , b >≤π (2) 两个非零向量 a , b 的数量积 : a · b =_______________. 6. 空间向量的坐标表示 设 a =(a 1 ,a 2 ,a 3 ), b =(b 1 ,b 2 ,b 3 ). ∠AOB | a || b |cos< a , b > 向量表示 坐标表示 数量积 a · b _____________ 共线 a =λ b ( b ≠ 0 ,λ∈R) ______________________ 垂直 a · b =0 ( a ≠ 0 , b ≠ 0 ) _______________ 模 | a | 夹角 < a , b > ( a ≠ 0 , b ≠ 0 ) cos< a , b >= a 1 b 1 +a 2 b 2 +a 3 b 3 a 1 =λb 1 ,a 2 =λb 2 ,a 3 =λb 3 a 1 b 1 +a 2 b 2 +a 3 b 3 =0 【 知识点辨析 】 ( 正确的打“√” , 错误的打“ ×”) (1) 空间中任意两个非零向量 a , b 共面 . ( 　　 ) (2) 空间中任意三个向量都可以作为基底 . ( 　　 ) (3) 若 A,B,C,D 是空间任意四点 , 则有 = 0 . ( 　　 ) (4) 空间中模相等的两个向量方向相同或相反 . ( 　　 ) (5) 两向量夹角的范围与两异面直线所成角的范围相同 . ( 　　 ) 提示 : (1)√. (2)×. 只有不共面的三个向量才能作基底 . (3)√. (4)×. 模相等的两个向量方向可能相同、相反或其他情况 . (5)×. 两向量夹角的范围为 [0,π], 两异面直线所成角的范围为 它们不相同 . 【 易错点索引 】 序号 易错警示 典题索引 1 利用向量加法、减法三角形法则时弄错方向致误 考点一、 T1,3,4 2 混淆共线、共面定理致误 考点二、典例 1,2 3 数量积公式用错致误 考点三、角度 1T1 4 忽视向量夹角范围致误 考点三、 综合创新练 T2 【 教材 · 基础自测 】 1.( 选修 2-1 P89 练习 T3 改编 ) 如图所示 , 在平行六面体 ABCD-A 1 B 1 C 1 D 1 中 ,M 为 A 1 C 1 与 B 1 D 1 的交点 . 若 则下列向量中与 相等的向量是 ( 　　 ) A.- a + b + c B. a + b + c C.- a - b + c D. a - b + c 【 解析 】 选 A. 2.( 选修 2-1 P89 练习 T2 改编 ) 已知空间四边形 OABC 中 , = a , = b , = c , 点 M 在 OA 上 , 且 OM=2MA,N 为 BC 中点 , 则 = ( 　　 ) A. a - b + c B.- a + b + c C. a + b - c D. a + b - c 【 解析 】 选 B. 如图所示 , 3.( 选修 2-1 P91 练习 T6 改编 ) 已知 a =(-2,-3,1), b =(2,0,4), c =(-4,-6,2), 则下列结论正确的是 ( 　　 ) A. a ∥ c , b ∥ c B. a ∥ b , a ⊥ c C. a ∥ c , a ⊥ b D. 以上都不对 【 解析 】 选 C. 因为 c =(-4,-6,2)=2 a , 所以 a ∥ c . 又 a · b =0, 故 a ⊥ b . 4.( 选修 2-1 P114 习题 3.2T14 改编 ) 如图 , 在长方体 ABCD-A 1 B 1 C 1 D 1 中 ,AA 1 =AB=2, AD=1, 点 E,F,G 分别是 DD 1 ,AB,CC 1 的中点 , 则异面直线 A 1 E 与 GF 所成的角是 ( 　　 ) 【 解析 】 选 D. 所以 A 1 E⊥GF. 5.( 选修 2-1 P120 本章测试 T1 改编 ) 正四面体 ABCD 的棱长为 2,E,F 分别为 BC,AD 的中点 , 则 EF 的长为 ________.  【 解析 】 =1 2 +2 2 +1 2 +2(1×2×cos 120°+0+2×1×cos 120°)=2, 所以 所以 EF 的 长为 . 答案 :