2021届高考数学一轮复习第八章立体几何与空间向量第1节空间几何体的结构三视图和直观图教学案含解析新人教A版

2021届高考数学一轮复习第八章立体几何与空间向量第1节空间几何体的结构三视图和直观图教学案含解析新人教A版

第1节　空间几何体的结构、三视图和直观图 考试要求　1.认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构；2.能画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合)的三视图，能识别上述三视图所表示的立体模型，会用斜二测画法画出它们的直观图；3.会用平行投影方法画出简单空间图形的三视图与直观图，了解空间图形的不同表示形式.‎ 知 识 梳 理 ‎1.空间几何体的结构特征 ‎(1)多面体的结构特征 名称 棱柱 棱锥 棱台 图形 底面 互相平行且全等 多边形 互相平行且相似 侧棱 平行且相等 相交于一点，‎ 但不一定相等 延长线交 于一点 侧面形状 平行四边形 三角形 梯形 ‎(2)旋转体的结构特征 名称 圆柱 圆锥 圆台 球 图形 母线 互相平行且相等，垂直于底面 相交于一点 延长线交 于一点 轴截面 矩形 等腰三角形 等腰梯形 圆 侧面展 开图 矩形 扇形 扇环 ‎2.直观图 空间几何体的直观图常用斜二测画法来画，其规则是：(1)原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，x′轴、y′轴的夹角为45°(或135°)，z′轴与x′轴、y′轴所在平面垂直.‎ ‎(2)原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍分别平行于坐标轴.平行于x轴和z - 16 -‎ 轴的线段在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段长度在直观图中变为原来的一半.‎ ‎3.三视图 ‎(1)几何体的三视图包括正视图、侧视图、俯视图，分别是从几何体的正前方、正左方、正上方观察几何体画出的轮廓线.‎ ‎(2)三视图的画法 ‎①基本要求：长对正，高平齐，宽相等.‎ ‎②在画三视图时，重叠的线只画一条，挡住的线要画成虚线.‎ ‎[常用结论与微点提醒]‎ ‎1.常见旋转体的三视图 ‎(1)球的三视图都是半径相等的圆.‎ ‎(2)水平放置的圆锥的正视图和侧视图均为全等的等腰三角形.‎ ‎(3)水平放置的圆台的正视图和侧视图均为全等的等腰梯形.‎ ‎(4)水平放置的圆柱的正视图和侧视图均为全等的矩形.‎ ‎2.在绘制三视图时，分界线和可见轮廓线都用实线画出，被遮挡的部分的轮廓线用虚线表示出来，即“眼见为实、不见为虚”.在三视图的判断与识别中要特别注意其中的虚线.‎ 诊 断 自 测 ‎1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)‎ ‎(1)有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱.(　　)‎ ‎(2)有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥.(　　)‎ ‎(3)用斜二测画法画水平放置的∠A时，若∠A的两边分别平行于x轴和y轴，且∠A＝90°，则在直观图中，∠A＝45°.(　　)‎ ‎(4)正方体、球、圆锥各自的三视图中，三视图均相同.(　　)‎ 解析　(1)反例：由两个平行六面体上下组合在一起的图形满足条件，但不是棱柱.‎ ‎(2)反例：如图所示的图形满足条件但不是棱锥.‎ ‎(3)用斜二测画法画水平放置的∠A时，把x，y轴画成相交成45°或135°，平行于x轴的线段还平行于x轴，平行于y轴的线段还平行于y轴，所以∠A可能为45°也可能为135°.‎ ‎(4)球的三视图均相同，而圆锥的正视图和侧视图相同，且为等腰三角形， 其俯视图为圆心和圆，正方体的三视图不一定相同.‎ 答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)×‎ - 16 -‎ ‎2.(新教材必修第二册P112T5改编)一个菱形的边长为4 cm，一内角为60°，用斜二测画法画出的这个菱形的直观图的面积为(　　)‎ A.2 cm2 B.2 cm2 C.4 cm2 D.8 cm2‎ 解析　直观图的面积为××42＝2(cm2).‎ 答案　B ‎3.(老教材必修2P10B组T1改编)如图，长方体ABCD－A′B′C′D′被截去一部分，其中EH∥A′D′.剩下的几何体是(　　)‎ A.棱台 　　 B.四棱柱 C.五棱柱 　　 D.六棱柱 解析　由几何体的结构特征，剩下的几何体为五棱柱.‎ 答案　C ‎4.(2020·衡水中学联考)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有刍甍，下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高二丈，问：积几何？”其意思为：“今有底面为矩形的屋脊状的楔体，下底面宽3丈、长4丈，上棱长2丈，高2丈，问：它的体积是多少？”已知该楔体的正视图和俯视图如图中粗实线所示，则该楔体的侧视图的周长为(　　)‎ A.3丈 B.6丈 C.8丈 D.(5＋)丈 解析　由题意可知该楔体的侧视图是等腰三角形，它的底边长为3丈，相应高为2丈，所以腰长为＝(丈)，所以该楔体侧视图的周长为3＋2×＝8(丈).‎ - 16 -‎ 答案　C ‎5.(2019·济宁一中月考)如图为某个几何体的三视图，根据三视图可以判断这个几何体为(　　)‎ A.圆锥 B.三棱椎 C.三棱柱 D.三棱台 解析　三由视图可知，该几何体是一个横放的三棱柱，故选C.‎ 答案　C ‎6.(2018·全国Ⅲ卷)中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来.构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头.若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是(　　)‎ 解析　由题意知，在咬合时带卯眼的木构件中，从俯视方向看，榫头看不见，所以是虚线，结合榫头的位置知选A.‎ 答案　A 考点一　空间几何体的结构特征 ‎【例1】 (1)给出下列命题：‎ ‎①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线；‎ ‎②直角三角形绕其任一边所在直线旋转一周所形成的几何体都是圆锥；‎ ‎③棱台的上、下底面可以不相似，但侧棱长一定相等.‎ 其中正确命题的个数是(　　)‎ A.0 B.1 C.2 D.3‎ ‎(2)给出下列命题：‎ ‎①棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形；‎ - 16 -‎ ‎②在四棱柱中，若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱；‎ ‎③存在每个面都是直角三角形的四面体；‎ ‎④棱台的侧棱延长后交于一点.‎ 其中正确命题的序号是________.‎ 解析　(1)①不一定，只有当这两点的连线平行于轴时才是母线；②不一定，当以斜边所在直线为旋转轴时，其余两边旋转一周形成的面所围成的几何体不是圆锥，如图所示，它是由两个同底圆锥组成的几何体；③错误，棱台的上、下底面相似且是对应边平行的多边形，各侧棱延长线交于一点，但是侧棱长不一定相等.‎ ‎ (2)①不正确，根据棱柱的定义，棱柱的各个侧面都是平行四边形，但不一定全等；②正确，因为两个过相对侧棱的截面的交线平行于侧棱，又垂直于底面；③正确，如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中的三棱锥C1－ABC，四个面都是直角三角形；④正确，由棱台的概念可知.‎ 答案　(1)A　(2)②③④‎ 规律方法　1.关于空间几何体的结构特征辨析关键是紧扣各种空间几何体的概念，要善于通过举反例对概念进行辨析，即要说明一个命题是错误的，只需举一个反例.‎ ‎2.圆柱、圆锥、圆台的有关元素都集中在轴截面上，解题时要注意用好轴截面中各元素的关系.‎ ‎3.既然棱(圆)台是由棱(圆)锥定义的，所以在解决棱(圆)台问题时，要注意“还台为锥”的解题策略.‎ ‎【训练1】 下列命题正确的是(　　)‎ A.两个面平行，其余各面都是梯形的多面体是棱台 B.两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台 C.以直角梯形的一条直角腰所在的直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体是圆台 D.用平面截圆柱得到的截面只能是圆和矩形 解析　如图所示，可排除A，B选项.只有截面与圆柱的母线平行或垂直时，截得的截面才为矩形或圆，否则为椭圆或椭圆的一部分.‎ - 16 -‎ 答案　C 考点二　空间几何体的三视图　多维探究 角度1　由几何体的直观图判断三视图 ‎【例2－1】 (2020·衡阳模拟)如图，正方体AC1的顶点A，B在平面α上，AB＝，若平面ABCD与平面α所成角为30°，由如图所示的俯视方向，正方体AC1在平面α上的俯视图的面积为(　　)‎ A.2 B.1＋ C.2 D.2 解析　依题意知，直线AB在平面α内，且平面α与平面ABCD所成的角为30°，与平面B1A1AB所成的角为60°，故所得的俯视图的面积S＝2(cos 30°＋cos 60°)＝1＋.‎ 答案　B 规律方法　由直观图确定三视图，一要根据三视图的含义及画法和摆放规则确认.二要熟悉常见几何体的三视图.‎ 角度2　由三视图判断几何体 ‎【例2－2】 (2018·全国Ⅰ卷)某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图.圆柱表面上的点M在正视图上的对应点为A，圆柱表面上的点N在侧视图上的对应点为B，则在此圆柱侧面上，从M到N的路径中，最短路径的长度为(　　)‎ A.2 B.2 C.3 D.2‎ 解析　由三视图可知，该几何体为如图①所示的圆柱，该圆柱的高为2，底面周长为16.画出该圆柱的侧面展开图，如图②所示，连接MN，则MS＝2，SN＝4，则从M到N的路径中，最短路径的长度为MN＝＝＝2.故选B.‎ - 16 -‎ 答案　B 规律方法　由三视图还原到直观图的思路 ‎(1)根据俯视图确定几何体的底面.‎ ‎(2)根据正视图或侧视图确定几何体的侧棱与侧面的特征，调整实线和虚线所对应的棱、面的位置.‎ ‎(3)确定几何体的直观图形状.‎ ‎【训练2】 (1)(角度1)如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为棱BB1的中点，过点A，E，C1的平面截去该正方体的上半部分，则剩余几何体的侧视图为(　　)‎ ‎(2)(角度2) (2019·恩施二模)某圆锥的母线长为2，高为，其三视图如图所示，圆锥表面上的点M在正视图上的对应点为A，圆锥表面上的点N在侧视图上的对应点为B，则在此圆锥侧面上，从M到N的路径中，最短路径的长度为(　　)‎ A.2 B.2 C. D.2 解析　(1)如图所示，过点A，E，C1的截面为AEC1F，则剩余几何体的侧视图为选项C中的图形.‎ - 16 -‎ ‎(2)因为圆锥的母线长为2，高为，‎ 所以底面半径r＝＝，‎ 所以底面周长为2πr＝π，‎ 所以侧面展开图中扇形中心角为＝＝π，如图所示，‎ 连接MN，则M到N的路径中，最短路径的长度为MN，在△OMN中，由余弦定理得 MN＝＝2.‎ 答案　(1)C　(2)D 考点三　空间几何体的直观图 ‎【例3】 已知正三角形ABC的边长为a，那么△ABC的平面直观图△A′B′C′的面积为(　　)‎ A.a2 B.a2 C.a2 D.a2‎ 解析　如图①②所示的实际图形和直观图.‎ 由斜二测画法可知，A′B′＝AB＝a，O′C′＝OC＝a，在图②中作C′D′⊥A′B′于D′，则C′D′＝O′C′＝a.所以S△A′B′C′＝A′B′·C′D′＝×a×a＝a2.‎ 答案　D - 16 -‎ 规律方法　1.画几何体的直观图一般采用斜二测画法，其规则可以用“斜”(两坐标轴成45°或135°)和“二测”(平行于y轴的线段长度减半，平行于x轴和z轴的线段长度不变)来掌握.‎ ‎2.按照斜二测画法得到的平面图形的直观图，其面积与原图形的面积的关系：S直观图＝S原图形.‎ ‎【训练3】 某几何体的正视图和侧视图如图①所示，它的俯视图的直观图是矩形O1A1B1C1，如图②，其中O1A1＝6，O1C1＝2，则该几何体的侧面积为(　　)‎ A.48 B.64 C.96 D.128‎ 解析　由已知中的三视图可得该几何体是一个四棱柱，因为它的俯视图的直观图是矩形O1A1B1C1，O1A1＝6，O1C1＝2，所以它的俯视图的直观图面积为12，所以它的俯视图的面积为24，所以它的俯视图是边长为6的菱形，棱柱的高为4，故该几何体的侧面积为4×6×4＝96.‎ 答案　C A级　基础巩固 一、选择题 ‎1.如图为一圆柱切削后的几何体及其正视图，则相应的侧视图可以是(　　)‎ 解析　由圆柱切削后的几何体及其正视图知，截得的截面为椭圆，结合正视图，可知侧视图中右边的轮廓线不可见，故用虚线表示，故选B.‎ 答案　B ‎2.下列说法中，正确的是(　　)‎ A.棱柱的侧面可以是三角形 - 16 -‎ B.若棱柱有两个侧面是矩形，则该棱柱的其他侧面也是矩形 C.正方体的所有棱长都相等 D.棱柱的所有棱长都相等 解析　棱柱的侧面都是平行四边形，选项A错误；其他侧面可能是平行四边形，选项B错误；棱柱的侧棱与底面边长并不一定相等，选项D错误；易知选项C正确.故选C.‎ 答案　C ‎3.用斜二测画法画水平放置的矩形的直观图，则直观图的面积与原矩形的面积之比为(　　)‎ A. B. C. D. 解析　设原矩形的长为a，宽为b，则其直观图是长为a，高为sin 45°＝b的平行四边形，所以＝＝.故选D.‎ 答案　D ‎4.将一个长方体沿相邻三个面的对角线截去一个棱锥，得到的几何体的正视图与俯视图如图所示，则该几何体的侧视图为(　　)‎ 解析　由几何体的正视图、俯视图以及题意可画出几何体的直观图，如图所示.‎ 该几何体的侧视图为选项B中的图形.‎ 答案　B - 16 -‎ ‎5.如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是平行四边形，∠ACB＝90°，AB＝，PA＝BC＝1，则此几何体的侧视图的面积是(　　)‎ A. B.1 C. D. 解析　由题知，BC⊥AC，BC⊥PA，又AC∩PA＝A，‎ ‎∴BC⊥平面PAC，∴该几何体的侧视图为直角三角形，两直角边长分别等于PA的长与AC的长，∵AB＝，BC＝1，∴AC＝1＝PA，∴侧视图的面积S＝×1×1＝.‎ 答案　D ‎6.下列结论正确的是(　　)‎ A.各个面都是三角形的几何体是三棱锥 B.夹在圆柱的两个平行截面间的几何体还是一个旋转体 C.棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则此棱锥可能是六棱锥 D.圆锥的顶点与底面圆周上任意一点的连线都是母线 解析　如图1知，A不正确.如图2，两个平行平面与底面不平行时，截得的几何体不是旋转体，则B不正确.‎ 若六棱锥的所有棱长都相等，则底面多边形是正六边形.由几何图形知，若以正六边形为底面，侧棱长必然要大于底面边长，C错误.由圆锥母线的概念知，选项D正确.‎ 答案　D ‎7.某几何体的正视图和侧视图均为如图所示的图形，则在下面的四个图中可以作为该几何体的俯视图的是(　　)‎ ‎　‎ A.①③ B.①④ C.②④ D.①②③④‎ - 16 -‎ 解析　由正视图和侧视图知，该几何体为球与正四棱柱或球与圆柱体的组合体，故①③正确.‎ 答案　A ‎8.(2020·西安联考)已知四棱锥S－ABCD的三视图如图所示，则围成四棱锥S－ABCD的五个面中最大面的面积是(　　)‎ A.3 B.6 C.8 D.10‎ 解析　如图，由三视图知四棱锥S－ABCD的侧面SAD与底面ABCD垂直，底面为矩形，矩形的相邻两边长分别为2，4，∴底面面积为2×4＝8.由正视图可得该四棱锥的高为＝，‎ ‎∴△SAD的面积为×4×＝2.侧面SAB与侧面SCD为直角三角形，其面积均为×3×2＝3.侧面SBC为等腰三角形，底边上的高为＝3，‎ ‎∴△SBC的面积为×4×3＝6.∴围成四棱锥S－ABCD的五个面中最大面的面积为8.‎ 答案　C 二、填空题 ‎9.(多填题)如图所示，图①②③是图④表示的几何体的三视图，其中图①是________，图②是________，图③是______(写出视图名称).‎ 解析　观察几何体的结构特征，不难发现其下层长为两个小长方体的长，宽为两个小长方体的宽，高为两个小长方体的高.所以正视图应为①，侧视图为②，俯视图为③.‎ - 16 -‎ 答案　正视图　侧视图　俯视图 ‎10.有以下四个命题：‎ ‎①底面是平行四边形的四棱柱是平行六面体；‎ ‎②底面是矩形的平行六面体是长方体；‎ ‎③直四棱柱是直平行六面体；‎ ‎④棱台的相对侧棱延长后必交于一点.‎ 其中真命题的序号是________.‎ 解析　命题①符合平行六面体的定义，故命题①是正确的；底面是矩形的平行六面体的侧棱可能与底面不垂直，故命题②是错误的；因为直四棱柱的底面不一定是平行四边形，故命题③是错误的；命题④由棱台的定义知是正确的.‎ 答案　①④‎ ‎11.如图，一立在水平地面上的圆锥形物体的母线长为4 m，一只小虫从圆锥的底面圆上的点P出发，绕圆锥表面爬行一周后回到点P处.若该小虫爬行的最短路程为4 m，则圆锥底面圆的半径等于________ m.‎ 解析　圆锥顶点记为O，把圆锥侧面沿母线OP展开成如图所示的扇形，‎ 由题意OP＝4，PP′＝4，‎ 则cos ∠POP′＝＝－，又∠POP′为△POP′一内角，所以∠POP′＝.‎ 设底面圆的半径为r，则2πr＝×4，所以r＝.‎ 答案　 ‎12.一水平放置的平面四边形OABC，用斜二测画法画出它的直观图O′A′B′C′如图所示，此直观图恰好是一个边长为1的正方形，则原平面四边形OABC的面积为________.‎ - 16 -‎ 解析　因为直观图的面积是原图形面积的倍，且直观图的面积为1，所以原图形的面积为2.‎ 答案　2 B级　能力提升 ‎13.(2019·泉州二模)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的侧视图中的虚线部分是(　　)‎ A.圆弧 B.抛物线的一部分 C.椭圆的一部分 D.双曲线的一部分 解析　根据几何体的三视图，可得侧视图中的虚线部分是由平行于旋转轴的平面截圆锥所得，故侧视图中的虚线部分是双曲线的一部分，故选D.‎ 答案　D ‎14.(2020·广州月考)一个几何体的三视图如图所示，在该几何体的各个面中，面积最小的面的面积为(　　)‎ A.8 B.4 C.4 D.4 解析　由三视图可知该几何体的直观图如图所示，由三视图特征可知，PA⊥平面ABC，DB⊥平面 ABC，AB⊥AC，PA＝AB＝AC＝4，DB＝2，则易得S△PAC＝S△ABC＝8，S△CPD＝12，S梯形ABDP＝12，S△BCD＝×4×2＝4，故选D.‎ - 16 -‎ 答案　D ‎15.如图，点O为正方体ABCD－A′B′C′D′的中心，点E为面B′BCC′的中心，点F为B′C′的中点，则空间四边形D′OEF在该正方体的各个面上的正投影可能是______(填出所有可能的序号).‎ 解析　空间四边形D′OEF在正方体的面DCC′D′及其对面ABB′A′上的正投影是①；在面BCC′B′及其对面ADD′A′上的正投影是②；在面ABCD及其对面A′B′C′D′上的正投影③.‎ 答案　①②③‎ ‎16.已知圆台和正三棱锥的组合体的正视图和俯视图如图所示，图中小方格是单位正方形，那么组合体的侧视图的面积为________.‎ 解析　由题意可得侧视图如图所示，上面是一个三角形，其底为1＋＝，高为2，三角形的面积S1＝××2＝；下面是一个梯形，上底为2，下底为4，高为2，梯形的面积S2＝×(2＋4)×2＝6，所以组合体的侧视图的面积S＝S1＋S2＝＋6＝.‎ - 16 -‎ 答案　 C级　创新猜想 ‎17.(数学文化题)“牟合方盖”是我国古代数学家刘徽在研究球的体积的过程中构造的一个和谐优美的几何体.它由完全相同的四个曲面构成，相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣合(牟合)在一起的方形伞(方盖).其直观图如图1，图2中四边形是为体现其直观性所作的辅助线.当其正视图和侧视图完全相同时，它的正视图和俯视图分别可能是(　　)‎ 图1‎ 图2‎ A.a，b B.a，c C.c，b D.b，d 解析　当正视图和侧视图完全相同时，“牟合方盖”相对的两个曲面正对前方，正视图为一个圆，俯视图为一个正方形，且两条对角线为实线，故选A.‎ 答案　A - 16 -‎