高中数学必修5：4_备课资料（2_3_1　等差数列的前n项和(一)）

高中数学必修5：4_备课资料（2_3_1　等差数列的前n项和(一)）

备课资料 一、备用习题 ‎1.求集合M={m|m=7n,n∈N*,且m＜100}的元素个数，并求这些元素的和. 分析：求解的关键在于要理解这个集合的元素特征，抓好集合中的数全是由7的倍数组成，再由本节课学过的知识运用加以解决. 解：由7n＜100得n＜=.所以，正整数n共有14个，即M中共有14个元素,即7，14，21，…，98是一个以a1=7为首项，公差为7且a 14=98的等差数列.所以Sn= =735.答：这些元素的和为735. ‎2.已知两个等差数列：2，5，8，…，197和2，7，12，…，197.求这两个数列中相同项之和. ‎ 分析：两个等差数列的相同项仍组成等差数列，找出其首项、公差、项数，即可求出它们的和. 解：其相同项是2，17，32，…，197，组成以2为首项，公差为15，末项为197的等差数列.设此数列共有n项，则197=2＋(n-1)×15，得n=14， 那么相同项的和. 点评：如果两个等差数列的公差分别为d1和d2，且d1和d2的最大公约数为a，则两个等差数列中公共项所组成的等差数列的公差d=(d1×d2)÷a，即d为d1和d2的最小公倍数. ‎3.用分期付款的方式购置房子一套，价格为115万元.购置当天先付15万元，以后每月的这一天都支付5万元，并加付欠款利息，月利息率1%.若交付15万元后的第1个月开始算分期付款的第1个月，问分期付款的第10个月应付多少钱？全部房款付清后，购买这套房子实际花了多少钱？ 分析：购买时付了15万元，欠款100万元.每月付5万元及欠款利息，需分20次付完，且每月总付款数顺次组成等差数列. 解：由题意，购置当天付了15万元，欠款100万元.每月付5万元，共分20次付完.设每月付款数顺次组成数列｛an｝，则a1＝5＋100×1%=6，a2＝5＋(100-5)×1%=6-0.05，a3＝5＋(100-5×2)×1%=6-0.05×2，依次类推，得an=6-0.05(n-1)(1≤n≤20). 由于an-a n-1=-0.05，所以｛an｝组成等差数列，a10=6-0.05×9=5.55(万元).从而，全部房款付清后总付款数为S20+15=+15=125.5(万元). 答：第10个月应付5.55万元，购买这套房子实际花了125.5万元. 点评：解应用题时，首先应仔细“读题”.抓住关键的数量关系，逐个数据进行分析，建立相应的数学模型.再求解数学模型，得出数学结论，最后回答实际问题. ‎4.把正整数以下列方法分组：(1)，(2，3)，(4，5，6)，…，其中每组都比它的前一组多一个数，设Sn表示第n组中所有各数的和，那么S21等于(　　) A.1 113　　　　　　B.4 641　　　　　　C.5 082　　　　　　D.53 361 分析：第21组共有21个数，构成一个等差数列，公差为1，首项比第20组的最后一个数大1，所以先求前20组一共有多少个数. 解：因为第n组有n个数，所以前20组一共有1+2+3+…+20=210个数，于是第21组的第一个数为211，这组一共有21个数，S21=21×211+×1=4 641，故选B. 点评:认真分析条件，转化为数列的基本问题. 二、阅读材料 古代有关数列求和问题的故事 我国数列求和的概念起源很早，古书《周髀算经》里谈到“没日影”时，已出现了简单的等差数列；《九章算术》中的一些问题反映出当时已形成了数列求和的简单概念. 到南北朝时，张丘建始创等差数列求和解法.他在《张丘建算经》里给出了几个等差数列问题.例如：“今有女子不善织布，逐日所织的布以同数递减，初日织五尺，末一日织一尺，计织三十日，问共织几何？”原书的解法是：“并初、末日织布数，半之，余以乘织讫日数，即得.”这个解法相当于给出了等差数列的求和公式 ‎. 再如：“今有女子善织布，逐日所织的布以同数递增，初日织五尺，计织三十日，共织九匹三丈，问日增几何？”书中给出了计算公式 d=()÷(n-1). 这个公式等价于现今中学课本里的公式： ‎. 大家熟悉的还有象棋格子放麦粒的故事. 其实，更古老的数列问题是写在著名的林德氏埃及草纸本里的分面包问题.它可能写于公元前3 000年. 问题:一百份面包五个人分，要求：第二个人比第一个人多多少，第三个人比第二个人也多多少，同样，第四个人比第三个人，第五个人比第四个人也多多少.此外，前两人所得的总数是其余三个人所得总数的七分之一.问每人各得多少？ 解：我们用方程组的方法来求解.设第一个人分得面包x份，第二个人比第一个人多分得y份，则第二个人分得x＋y份，第三个人分得x＋2y份，第四个人分得x＋3y份，第五个人分得x+4y份.于是有方程组 化简，得 解得. 所以由第一个人到第五个人每人所得面包的份数为 ‎, ,20, ,. 上面的一列数x，x＋y，x＋2y，x+3y，x+4y，由于项数较少，我们可以直接相加求出它们的和.如果项数很多，怎样求它们的和呢？具体地说，设 Sn=x+(x＋y)+(x+2y)+(x＋3y)+…+(x+ny)，① 能不能较快地求出表示它的和的一个代数式呢？这是容易做到的，我们采用高斯的方法，把①式倒过来写，得 Sn=(x+ny)＋[x＋(n-1)y]+…+(x＋3y)+(x+2y)+(x＋y)+x，② 把①与②式按对应项相加，得 ‎2Sn=(2x+ny)+(2x+ny)+…+(2x+ny). ‎=(2x+ny)(n+1)=2(n+1)x+n(n+1)y. ‎∴Sn=(n+1)x+y. 这种求和方式对于每两项之差为定数的数列(称为等差数列)，求和是极快捷有效的. 实际上，前面所讲的高斯小时候的故事也是一个数列求和的问题.类似的题目在我国古代数学著作中屡见不鲜，而且解法也令人叫绝，如《翠薇山房算学丛书》中有关梯形堆积物求总数问题，有兴趣的话，可以查阅一下相关资料.