【数学】2020届一轮复习（理）人教通用版2-1函数及其表示学案

【数学】2020届一轮复习（理）人教通用版2-1函数及其表示学案

‎§2.1　函数及其表示 最新考纲 考情考向分析 ‎1.了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域，了解映射的概念．‎ ‎2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数．‎ ‎3.了解简单的分段函数，并能简单应用(函数分段不超过三段).‎ 以基本初等函数为载体，考查函数的表示法、定义域；分段函数以及函数与其他知识的综合是高考热点，题型既有选择、填空题，又有解答题，中等偏上难度.‎ ‎1．函数的基本概念 ‎(1)函数的定义 设集合A是一个非空的数集，对A中的任意数x，按照确定的法则f，都有唯一确定的数y与它对应，则这种对应关系叫做集合A上的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A.‎ ‎(2)函数的定义域、值域 函数y＝f(x)，x∈A中，自变量取值的范围(数集A)叫做这个函数的定义域，所有函数值构成的集合{y|y＝f(x)，x∈A}叫做这个函数的值域．‎ ‎(3)确定一个函数的两个要素：定义域和对应法则．‎ ‎2．设A，B是两个非空集合，如果按照某种对应法则f，对A中的任意一个元素x，在B中有一个且仅有一个元素y与x对应，则称f是集合A到集合B的映射．这时，称y是x 在映射f的作用下的象，记作f(x)．于是y＝f(x)，x称作y的原象．映射f也可记为：f：A→B，x→f(x)．其中A叫做映射f的定义域(函数定义域的推广)，由所有象f(x)构成的集合叫做映射f的值域，通常记作f(A)．‎ ‎3．函数解析式的求法 求函数解析式常用方法：待定系数法、换元法、配凑法、消去法．‎ ‎4．函数的表示法 ‎(1)函数的常用表示方法：列表法、图象法、解析法．‎ ‎(2)分段函数：在函数的定义域内，对于自变量x的不同取值区间，有着不同的对应法则，这样的函数通常叫做分段函数．‎ 概念方法微思考 请你概括一下求函数定义域的类型．‎ 提示　(1)分式型；(2)根式型；(3)对数式型；(4)指数函数、对数函数型；(5)三角函数型．‎ 题组一　思考辨析 ‎1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)‎ ‎(1)对于函数f：A→B，其值域就是集合B.(　×　)‎ ‎(2)若两个函数的定义域与值域相同，则这两个函数相等．(　×　)‎ ‎(3)函数f(x)的图象与直线x＝1最多有一个交点．(　√　)‎ ‎(4)若A＝R，B＝{x|x>0}，f：x→y＝|x|，其对应是从A到B的映射．(　×　)‎ ‎(5)分段函数是由两个或几个函数组成的．(　×　)‎ 题组二　教材改编 ‎2．函数f(x)＝的定义域是________．‎ 答案　(－∞，1)∪(1,4]‎ ‎3．函数y＝f(x)的图象如图所示，那么，f(x)的定义域是________；值域是________；其中只有唯一的x值与之对应的y值的范围是________．‎ 答案　[－3,0]∪[2,3]　[1,5]　[1,2)∪(4,5]‎ 题组三　易错自纠 ‎4．已知集合P＝{x|0≤x≤4}，Q＝{y|0≤y≤2}，下列各对应关系f不能表示从P到Q的函数的是________．(填序号)‎ ‎①f：x→y＝x；②f：x→y＝x；③f：x→y＝x；④f：x→y＝.‎ 答案　③‎ 解析　对于③，因为当x＝4时，y＝×4＝∉Q，所以③不是从P到Q的函数．‎ ‎5．已知f()＝x－1，则f(x)＝____________.‎ 答案　x2－1(x≥0)‎ 解析　令t＝，则t≥0，x＝t2，所以f(t)＝t2－1(t≥0)，即f(x)＝x2－1(x≥0)．‎ ‎6．设函数f(x)＝则使得f(x)≥1的自变量x的取值范围为___________．‎ 答案　(－∞，－2]∪[0,10]‎ 解析　∵f(x)是分段函数，∴f(x)≥1应分段求解．当x<1时，f(x)≥1⇒(x＋1)2≥1⇒x≤－2或x≥0，∴x≤－2或0≤x<1.当x≥1时，f(x)≥1⇒4－≥1，即≤3，∴1≤x≤10.综上所述，x≤－2或0≤x≤10，即x∈(－∞，－2]∪[0,10].‎ 题型一　函数的定义域 命题点1　求函数的定义域 例1　(1)(2018·江苏)函数f(x)＝的定义域为________．‎ 答案　{x|x≥2}‎ 解析　由log2x－1≥0，即log2x≥log22，解得x≥2，‎ 满足x>0，‎ 所以函数f(x)＝的定义域为{x|x≥2}．‎ ‎(2)函数f(x)＝ln＋的定义域为________________．‎ 答案　[－4,0)∪(0,1)‎ 解析　由解得－4≤x<0或02a，∴B＝{x|2a，所以x－>0，‎ 所以x－＋≥2＝，‎ 当且仅当x－＝，即x＝时取等号．‎ 所以y≥＋，即原函数的值域为.‎ 思维升华 配方法、分离常数法和换元法是求函数值域的有效方法，但要注意各种方法所适用的函数形式，还要注意函数定义域的限制．换元法多用于无理函数，换元的目的是进行化归，把无理式转化为有理式来解．二次分式型函数求值域，多采用分离出整式再利用均值不等式求解．‎ 题型四　分段函数 命题点1　求分段函数的函数值 例3 (1)已知f(x)＝且f(0)＝2，f(－1)＝3，则f(f(－3))等于(　　)‎ A．－2 B．2 C．3 D．－3‎ 答案　B 解析　由题意得f(0)＝a0＋b＝1＋b＝2，解得b＝1；‎ f(－1)＝a－1＋b＝a－1＋1＝3，解得a＝.‎ 故f(－3)＝－3＋1＝9，‎ 从而f(f(－3))＝f(9)＝log39＝2.‎ ‎(2)已知函数f(x)＝则f(2＋log32)的值为________．‎ 答案　 解析　∵2＋log31<2＋log32<2＋log33，即2<2＋log32<3，∴f(2＋log32)＝f(2＋log32＋1)＝‎ f(3＋log32)，又3<3＋log32<4，∴f(3＋log32)＝＝3×＝×＝×＝×＝×＝，∴f(2＋log32)＝.‎ 命题点2　分段函数与方程、不等式问题 例4　(1)设函数f(x)＝则使f(x)＝的x的集合为__________．‎ 答案　 解析　由题意知，若x≤0，则2x＝，解得x＝－1；‎ 若x>0，则|log2x|＝，解得x＝或x＝.‎ 故x的集合为.‎ ‎(2)已知函数f(x)＝若f(a)>，则实数a的取值范围是__________．‎ 答案　 解析　当a≤0时，令2a>，解得－10时，令>，解得00时，1－a<1,1＋a>1，‎ 由f(1－a)＝f(1＋a)，‎ 可得2(1－a)＋a＝－(1＋a)－2a，‎ 解得a＝－，不合题意；‎ 当a<0时，1－a>1,1＋a<1，‎ 由f(1－a)＝f(1＋a)，可得 ‎－(1－a)－2a＝2(1＋a)＋a，‎ 解得a＝－，符合题意．‎ 综上，a＝－.‎ ‎(2)(2018·全国Ⅰ)设函数f(x)＝则满足f(x＋1)0时，f(x＋1)＝1，f(2x)＝1，不合题意．‎ 综上，不等式f(x＋1)2x.‎ 此时x≤－1.‎ 当2x<0且x＋1>0时，f(2x)>1，f(x＋1)＝1，‎ 满足f(x＋1)0，‎ f(f(－2))＝f(log29)＝3×＝3×＝3×＝3×81＝243.故选B.‎ ‎9．已知f(x)是一次函数，且满足3f(x＋1)－2f(x－1)＝2x＋17，则f(x)＝________.‎ 答案　2x＋7‎ 解析　设f(x)＝ax＋b(a≠0)，则3f(x＋1)－2f(x－1)＝ax＋5a＋b，所以ax＋5a＋b＝2x＋17对任意实数x都成立，所以解得所以f(x)＝2x＋7.‎ ‎10．函数y＝的值域是________．‎ 答案　 解析　若x＝0，则y＝0；若x≠0，则y＝＝∈.‎ 故所求值域为.‎ ‎11．(2018·呼和浩特模拟)已知函数f(x)＝则不等式f(x)≤5的解集为________．‎ 答案　[－2,4]‎ 解析　由于f(x)＝ 当x>0时，令3＋log2x≤5，‎ 即log2x≤2＝log24，解得0f(t)，则实数t的取值范围是____________．‎ 答案　(－4,4)‎ 解析　f(－2)＝4，f(4)＝8，不等式f(f(－2))>f(t)可化为f(t)<8.当t<0时，－2t<8，得－4

查看更多