高考数学专题复习：直线与圆锥曲线精选精练

高考数学专题复习：直线与圆锥曲线精选精练

特殊要求问题： ‎ ‎1. 已知两定点，满足条件的点P的轨迹是曲线C，直线与曲线C交于A、B两点．‎ ‎（1）求实数的取值范围；‎ ‎（2）若，求实数的值 ‎【答案】解：（1）由双曲线的定义知，曲线C是以为焦点的双曲线的右支．‎ ‎∵，∴，∴曲线C的方程为．‎ 由，消去得，‎ 设，则，解得．‎ ‎∴实数的取值范围是．‎ ‎（2）由 ‎，整理得，解得或．‎ ‎∵，∴为所求．‎ ‎2. 已知中心在坐标原点O的椭圆C经过点A（2，3），且点F（2，0）为其右焦点。‎ ‎（1）求椭圆C的方程；‎ ‎（2）是否存在平行于OA的直线，使得直线与椭圆C有公共点，且直线OA与的距离等于4？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由。‎ ‎【答案】【命题意图】本小题主要考查直线、椭圆等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想。 【解析】（1）依题意，可设椭圆C的方程为，且可知左焦点为 存在性问题：‎ ‎3.已知点，直线，动点到点的距离等于它到直线的距离.‎ ‎（Ⅰ）试判断点的轨迹的形状，并写出其方程.‎ ‎（Ⅱ）是否存在过的直线，使得直线被截得的弦恰好被点所平分？ ‎ ‎【答案】本小题考查抛物线的标准方程、直线与圆锥曲线的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、数形结合思想等．满分13分．‎ 解：（Ⅰ）因点到点的距离等于它到直线的距离，所以点的轨迹是以为焦点、直线为准线的抛物线， ………………2分 其方程为. ………………5分 ‎（Ⅱ）解法一：假设存在满足题设的直线.设直线与轨迹交于，‎ 依题意，得. ………………6分 ‎①当直线的斜率不存在时，不合题意. ………………7分 ‎②当直线的斜率存在时，设直线的方程为，………8分 联立方程组，‎ 消去，得，（*） ………………9分 ‎∴，解得. ………………10分 此时，方程（*）为，其判别式大于零， ………………11分 ‎∴存在满足题设的直线　　　　　　　　　　 ………………12分 且直线的方程为：即. 　　 ………………13分 解法二：假设存在满足题设的直线.设直线与轨迹交于，‎ 依题意，得. ………………6分 易判断直线不可能垂直轴， ………………7分 ‎∴设直线的方程为，………8分 联立方程组，‎ 消去，得， ………………9分 ‎∵, ‎ ‎∴直线与轨迹必相交. ………………10分 又，∴. ………………11分 ‎∴存在满足题设的直线　　　　　 ………………12分 且直线的方程为：即. ………………13分 解法三：假设存在满足题设的直线.设直线与轨迹交于，‎ 依题意，得. ………………6分 ‎∵在轨迹上，‎ ‎∴有，将，得. ………8分 当时，弦的中点不是，不合题意， ………9分 ‎∴，即直线的斜率, ………10分 注意到点在曲线的张口内（或：经检验，直线与轨迹相交）…11分 ‎∴存在满足题设的直线　 ………………12分 且直线的方程为：即. ………………13分 ‎【编号】3649 【难度】一般 ‎4 已知椭圆+=1(a>b>0),过点A（a,0）,B(0,b)的直线倾斜角为,原点到该直线的距离为.‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）是否存在实数k，使直线y=kx+2交椭圆于P、Q两点，以PQ为直径的圆过点D（1，0）？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由.‎ ‎【答案】【解析】（1）由=,a·b=··,得a=,b=1,所以椭圆方程是+y2=1.‎ ‎（2）将y=kx+2代入+y2=1,‎ 得(3k2+1)x2+12kx+9=0(*)‎ 记P(x1,y1),Q(x2,y2),以PQ为直径的圆过D（1，0），则PD⊥QD，即(x1-1,y1)·(x2-1,y2)=(x1-1)(x2-1)+y1y2=0,又y1=kx1+2,y2=kx2+2,得 ‎（k2+1）x1x2+(2k-1)(x1+x2)+5=0 ……①‎ 又x1x2=,x1+x2=,代入①解得k=，此时（*）方程Δ ‎>0，∴存在k=,满足题设条件.‎ 定点，定值问题 ‎5. 在平面直角坐标系xOy中，已知点A(-2, 0)、B(2, 0), 动点C满足条件：△ABC的周长为10, 记动点C的轨迹为曲线M.‎ ‎(Ⅰ) 求曲线M的方程；‎ B o x A y ‎ (Ⅱ) 若直线l与曲线M相交于E、F两点，若以EF为直径的圆过点D(3，0)，求证：直线恒过定点，并求出该定点的坐标．‎ ‎【答案】本题主要考查直线、圆与椭圆的位置关系等基本知识，考查运算求解能力和探索求解、分析问题、解决问题的能力. 满分13分 解： (Ⅰ) 设C（x, y）, ∵ , , ∴ ,‎ ‎∴ 由定义知,动点C的轨迹是以A、B为焦点,长轴长为6的椭圆,除去与x轴的两个交点.‎ 设椭圆方程为 则a=3,c=2.∴b2=a2-c2=5.∴ 曲线M的方程为: (y≠0).(缺y≠0的扣1分)……5分 B o x A y E D F ‎(Ⅱ)法一: 即要使DE⊥DF, 用特值法kDE=1,‎ 由得14y2+30y=0,又y≠0, ∴y=-,代入DE得x=,‎ 由对称性知定点在x轴上, ∴最多只有定点Q……8分 设直线DE的方程为x=my+3,E(x1,y1),‎ 由得(‎5m2‎+9)y2+30my=0, 又y≠0, ∴y1=-‎ ‎∴E(,-), …………………10分 同理F(,) …………………11分 kQE-kQF=-=-=0‎ 得E、Q、F三点共线,得出定点坐标为． …………………13分 法二:当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为yx=kx+m,E(x1,y1),F(x1,y1)，‎ 由得，‎ 由△=(18mk)2-36(5+9k2)(m2-5)>0, 得5+9k2- m2>0, ‎ ‎ ………………………8分 又，‎ 因为以EF为直径的圆过点等价于，即 ‎，，‎ ‎.解得：，，且均满足，‎ 当m1=-3k时，l的方程为y=k(x-3)，直线过点Q(3,0)，因为点Q不在曲线M上，此时l与曲线M没有两个公共点，不合题意；‎ 当时，的方程为，直线过定点． ……………11分 当直线l的斜率不存在时，直线与曲线M交于两点，此时 ‎，由，得，点在曲线M上，，所以，解得，即直线 满足条件.‎ ‎∴直线过定点，定点坐标为． ……………………………13分 ‎【编号】698 【难度】较难 ‎6 已知椭圆：的离心率=，点为椭圆上的任意一点，且点到椭圆的两个焦点的距离之和为4. 点的坐标为（1，0）.‎ ‎（1）求椭圆C的方程；‎ ‎（2）过点作直线垂直于轴，交椭圆于点，直线交椭圆C于点.试问，当点在椭圆上运动时，直线是否恒经过定点？若是，请求出点的坐标，若不是，请说明理由.‎ ‎【答案】解（1）的离心率=，-------2分 点到椭圆的两个焦点的距离之和为4，‎ 所以所求椭圆的方程为：.………5分 ‎(2)设, 又（1，0），‎ 设直线的方程为 由 得：， ---8分 直线的方程为：，令得=‎ ‎------------------- 11分，‎ 所以直线QN恒经过定点S（4，0）.……………12分 ‎7. 如图，已知椭圆:的一 个焦点是（1，0），两个焦点与短轴的一个端点 构成等边三角形.‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的方程；‎ ‎（Ⅱ）过点(4,0)且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于、两点，设点关于轴的对称点为.‎ ‎（ⅰ）求证：直线过轴上一定点，并求出此定点坐标；‎ ‎（ⅱ）求△面积的取值范围.‎ ‎【答案】本题主要考查直线与椭圆的位置关系、不等式的解法等基本知识，考查运算求解能力和分析问题、解决问题的能力. 满分13分 解：（Ⅰ）因为椭圆的一个焦点是（1，0），所以半焦距=1.‎ 因为椭圆两个焦点与短轴的一个端点构成等边三角形.‎ 所以，解得 所以椭圆的标准方程为. …（4分） ‎ O A A1‎ y x Q B ‎（Ⅱ）（i）设直线：与联立并消去得：.‎ 记，，‎ ‎，‎ ‎. ……………（5分）‎ 由A关于轴的对称点为，得，‎ 根据题设条件设定点为（，0），‎ 得，即.‎ 所以 即定点（1 ， 0）. ……………………………………（8分）‎ ‎（ii）由（i）中判别式，解得. ‎ 可知直线过定点 (1,0).‎ 所以 　　　 ……………（10分）‎ 得, 令 记，得，当时，.‎ 在上为增函数. ‎ 所以 ，‎ 得.‎ 故△OA1B的面积取值范围是. ……………（13分）‎ ‎8. 已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，离心率为，且过双曲线的顶点．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的方程；‎ ‎（Ⅱ）命题：“设、是双曲线上关于它的中心对称的任意两点，为该双曲线上的动点，若直线、均存在斜率，则它们的斜率之积为定值，且定值是”．试类比上述命题，写出一个关于椭圆的类似的正确命题，并加以证明；‎ ‎（Ⅲ）试推广（Ⅱ）中的命题，写出关于方程（，不同时为负数）的曲线的统一的一般性命题（不必证明）.‎ ‎【答案】本小题主要考查椭圆、双曲线的标准方程与性质、直线与圆锥曲线的位置关系以及合情推理等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、数形结合思想、特殊与一般思想等．满分13分．‎ 解：（Ⅰ）设椭圆的方程为，半焦距为，‎ 则，，‎ 椭圆的方程为．　　　　　　………………………………5分 ‎（Ⅱ）关于椭圆的正确命题是：设、是椭圆上关于它的中心对称的任意两点，为该椭圆上的动点，若直线、均存在斜率，则它们的斜率之积为定值，且定值是．　　　　　　　　　　………………………………6分 证明如下：‎ 设点，，，　………………………………7分 直线、的斜率分别为，‎ 则，　　………………………………8分 点，在椭圆上，‎ ‎，且，‎ ‎， 即，…………………………9分 所以，（定值）．　　　　　　　　…………………………10分 ‎（Ⅲ）关于方程（，不同时为负数）的曲线的统一的一般性命题是：设、是方程（，不同时为负数）的曲线上关于它的中心对称的任意两点，为该曲线上的动点，若直线、均存在斜率，则它们的斜率之积为定值，且定值是.……………………13分 最值 与范围问题： ‎ ‎9 设是曲线上任意一点，它到两点、的距离之和等于4，设直线： 与曲线交于、两点，的中点为．‎ ‎（Ⅰ）求曲线的方程；‎ ‎（Ⅱ）求证：当直线平行移动时，动点在一条过原点的定直线上；‎ ‎（Ⅲ）若，，求△面积的取值范围．‎ ‎【答案】解：（Ⅰ）由椭圆定义知，曲线是以、为焦点，长半轴长为2的椭圆，它的短半轴长，故曲线的方程为．‎ ‎（Ⅱ）设直线与曲线的交点为，，‎ 由得，因为△，所以，‎ ‎，．‎ ‎，‎ 从而得到的中点为的坐标为．‎ 所以线段的中点为在过原点的直线上．‎ ‎（Ⅲ）由（Ⅱ）知，，设△面积为，由题意可知，‎ ‎，因为，‎ 所以 ‎．‎ 因为，所以，则，‎ 因此，则．‎