2019年高考数学总复习检测第58讲 椭 圆
第58讲 椭 圆
1．“m＞n＞0”是“方程mx2＋ny2＝1表示焦点在y轴上的椭圆”的(C)
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
m>n>0⇒<，所以＋＝ny2＋mx2＝1表示焦点在y轴上的椭圆，反之亦然，故选C.
2．一个椭圆中心在原点，焦点F1，F2在x轴上，P(2，)是椭圆上一点，且|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差数列，则椭圆方程为(A)
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
设椭圆的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)．
由点(2，)在椭圆上知＋＝1.
又|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差数列，
则|PF1|＋|PF2|＝2|F1F2|，
即2a＝2·2c，即＝，
又c2＝a2－b2，联立解得a2＝8，b2＝6.
3. 已知F1, F2分别是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点， 点A(1，)在椭圆C上，|AF1|＋|AF2|＝4, 则椭圆C的离心率是(D)
A. B.
C. D.
|AF1|＋|AF2|＝2a＝4，所以a＝2，
所以椭圆C的方程为＋＝1，
又点A(1，)在椭圆C上，
所以＋＝1，得b＝1，又c＝＝，
所以椭圆C的离心率e＝＝.
4．(2017·新课标卷Ⅰ)设A，B是椭圆C：＋＝1长轴的两个端点．若C上存在点M满足∠AMB＝120°，则m的取值范围是(A)
A．(0,1]∪[9，＋∞) B．(0，]∪[9，＋∞)
C．(0,1]∪[4，＋∞) D．(0，]∪[4，＋∞)
当0
3时，焦点在y轴上，
要使C上存在点M满足∠AMB＝120°，
则≥tan 60°＝，即≥，解得m≥9.
故m的取值范围为(0,1]∪[9，＋∞)．
5．(2017·石家庄市第一次模拟)已知椭圆＋y2＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点F1关于直线y＝－x的对称点P在椭圆上，则△PF1F2的周长为 2＋2 _.
因为F1(－c,0)关于直线y＝－x的对称点P(0，c)在椭圆上，
所以c2＝1，c＝1，易知b＝1，所以a＝.
所以周长为2c＋2a＝2＋2.
6．椭圆＋＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点P为椭圆上的动点，当∠F1PF2为钝角时，点P的横坐标的取值范围为 (－，) .
由题意知F1(－，0)，F2(，0)，
设P(x0，y0)，
则1＝(－－x0，－y0)，2＝(－x0，－y0)，
所以1·2＝x－5＋y<0.①
又＋＝1，②
由①②得x<，所以－b>0)的左、右焦点，A是椭圆上位于第一象限的一点，若·＝0，椭圆的离心率为，△AOF2的面积为2，求椭圆的方程．
因为·＝0，所以AF2⊥x轴．
设点A的坐标为(c，y)(y>0)，
将(c，y)代入＋＝1得y＝，
所以S△AOF2＝·c·＝2，
又e＝＝，所以b2＝2，所以b2＝8.
由＝，设c＝k，a＝2k(k>0)，则4k2＝8＋2k2，
所以k＝2，所以a＝4，b2＝8，
所以椭圆方程为＋＝1.
8．设F1，F2分别是椭圆＋＝1的左、右焦点，P为椭圆上任一点，点M的坐标为(6,4)，则|PM|＋|PF1|的最大值为(B)
A．20 B．15
C．10 D．5
因为P在椭圆上，
所以|PF1|＋|PF2|＝2a＝10，
所以|PM|＋|PF1|＝|PM|＋10－|PF2|
＝10＋|PM|－|PF2|≤10＋|MF2|＝10＋5＝15，
当P在MF2的延长线上取等号．
9．(2016·江苏卷)如图，在平面直角坐标系xOy中，F是椭圆＋＝1(a＞b＞0)的右焦点，直线y＝与椭圆交于B，C两点，且∠BFC＝90°，则该椭圆的离心率是 .
将y＝代入椭圆的标准方程，得＋＝1，
所以x＝±a，故B(－a，)，C(a，)．
又因为F(c,0)，所以＝(c＋a，－)，
＝(c－a，－)．
因为∠BFC＝90°，所以·＝0，
所以(c＋a)(c－a)＋(－)2＝0，
即c2－a2＋b2＝0，将b2＝a2－c2代入并化简，
得a2＝c2，所以e2＝＝，所以e＝(负值舍去)．
10．已知椭圆C：＋＝1(a>)的离心率为.
(1)求椭圆C的方程；
(2)若P是椭圆C上任意一点，Q为圆E：x2＋(y－2)2＝1上任意一点，求PQ的最大值．
(1)由题设知e＝，
所以e2＝＝＝＝＝，解得a2＝6.
所以椭圆C的方程为＋＝1.
(2)圆E：x2＋(y－2)2＝1的圆心为E(0,2)，点Q在圆E上，
所以PQ≤EP＋EQ＝EP＋1(当且仅当直线PQ过点E时取等号)．
设P(x0，y0)是椭圆C上的任意一点，
则＋＝1，即x＝6－3y.
所以EP2＝x＋(y0－2)2＝－2(y0＋1)2＋12.
因为y0∈[－，]，
所以当y0＝－1时，EP2取得最大值12，即PQ≤2＋1.
所以PQ的最大值为2＋1.
