2018-2019学年安徽省安庆市第一中学高二上学期期中考试 数学（理）试题（Word版）

2018-2019学年安徽省安庆市第一中学高二上学期期中考试 数学（理）试题（Word版）

安徽省安庆市第一中学2018—2019学年第一学期期中考试 高二数学试题 一、选择题（共60题，每题5分。每题仅有一个正确选项。）‎ ‎1．已知a、b是两条平行直线，且a∥平面β，则b与β的位置关系是（　　）‎ A．平行 B．相交 ‎ C．b在平面β内 D．平行或b在平面β内 ‎2．在下列命题中，不是公理的是（　　）‎ A．平行于同一条直线的两条直线互相平行 ‎ B．如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内 ‎ C．空间中，如果两个角的两边分别对应平行，那么这两角相等或互补 ‎ D．如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线 ‎ ‎3．如果ac＞0，bc＞0，那么直线ax+by+c=0不通过（　　）‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎4．直线（a2+1）x﹣y+1=0（其中a∈R）的倾斜角的取值范围是（　　）‎ A．[0，] B．[，） C．（，] D．[，π）‎ ‎5．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（　　）‎ A．12π B．24π C． D．72π ‎6．半径为5的球内有一个高为8的内接正四棱锥，则这个球与该内接正四棱锥的体积之比为（　　）‎ A． B． C． D． ‎ ‎7．三棱柱ABC﹣A'B'C′的所有棱长都等于2，并且AA'⊥平面ABC，M是侧棱BB′的中点，则直线MC′与A′B所成的角的余弦值是（　　）‎ A． B． C． D． ‎ ‎8．直线l过点P（1，0），且与以A（2，1），为端点的线段总有公共点，则直线l斜率的取值范围是（　　）‎ A． B．‎ C． D．[1，+∞）‎ ‎9．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E是棱CC1的中点，F是四边形BCC1B1内的动点，且A1F∥平面D1AE，下列说法正确的个数是（　　）‎ ‎①点F的轨迹是一条线段 ‎②A1F与D1E不可能平行 ‎③A1F与BE是异面直线 ‎④当F与C1不重合时，平面A1FC1不可能与平面AED1平行 A．1 B．2 C．3 D．4 ‎ ‎10．在平面直角坐标系中，记d为点P（cosθ，sinθ）到直线x﹣my﹣2=0的距离．当θ、m变化时，d的最大值为（　　）‎ A．1 B．2 C．3 D．4 ‎ ‎11．生于瑞士的数学巨星欧拉在1765年发表的《三角形的几何学》一书中有这样一个定理：“三角形的外心、垂心和重心都在同一直线上，而且外心和重心的距离是垂心和重心距离之半．”这就是著名的欧拉线定理．设△ABC中，设O、H、G分别是外心、垂心和重心，下列四个选项错误的是（　　）‎ A．HG=2OG B．++= ‎ C．设BC边中点为D，则有AH=3OD D．S△ABG=S△BCG=S△ACG ‎ ‎12．如图1，直线EF将矩形纸ABCD分为两个直角梯形ABFE和CDEF，将梯形CDEF沿边EF翻折，如图2，在翻折的过程中（平面ABFE和平面CDEF 不重合）下面说法正确的是（　　）‎ A．存在某一位置，使得CD∥平面ABFE ‎ B．存在某一位置，使得DE⊥平面ABFE ‎ C．在翻折的过程中，BF∥平面ADE恒成立 ‎ D．在翻折的过程中，BF⊥平面CDEF恒成立 ‎ 二、填空题（共20分，每题5分）‎ ‎13、已知直线与平行，则实数的取值是________‎ ‎14．球的半径为5cm，被两个相互平行的平面所截得圆的直径分别为6cm和8cm，则这两个平面之间的距离是　 　cm．‎ ‎15. 我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水．天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸．若盆中积水深九寸，则平地降雨量是________寸．(注：① 平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；② 一尺等于十寸)‎ ‎16．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为棱AB上一点，且AE=1，BE=3，以E为球心，线段EC的长为半径的球与棱A1D1，DD1分別交于F，G两点，则△AFG的面积为________ ‎ 三、解答题（共70分，每题必需要有必要的解答过程）‎ ‎17.（10分） 设直线l的方程为(＋1)x＋y＋2－＝0 (∈R)．‎ ‎(1)若l在两坐标轴上截距相等，求直线l的方程；‎ ‎(2)若l不经过第二象限，求实数的取值范围．‎ ‎18.（12分）在平面直角坐标系中，的边所在的直线方程是，‎ ‎（1）如果一束光线从原点射出，经直线反射后，经过点，求反射后光线所在直线的方程；‎ ‎（2）如果在中，为直角，求面积的最小值．‎ ‎19.（12分）如图是一个以A1B1C1为底面的直三棱柱被一平面所截得到的几何体，截面为ABC，已知A1B1＝B1C1＝2，∠A1B1C1＝90°，AA1＝4，BB1＝3，CC1＝2，求：‎ ‎(Ⅰ)该几何体的体积；‎ ‎(Ⅱ)截面ABC的面积．‎ ‎20（12分）.如图，已知正三棱锥P﹣ABC的侧面是直角三角形，PA=6，顶点P在平面ABC内的正投影为点D，D在平面PAB内的正投影为点E，连接PE并延长交AB于点G．‎ ‎（Ⅰ）证明：G是AB的中点；‎ ‎（Ⅱ）在图中作出点E在平面PAC内的正投影F，并求四面体PDEF的体积．‎ ‎21.（12分）如图，四面体ABCD中，△ABC是正三角形，△ACD是直角三角形，∠ABD=∠CBD，AB=BD． ‎ ‎（1）证明：平面ACD⊥平面ABC；‎ ‎（2）过AC的平面交BD于点E，若平面AEC把四面体ABCD分成体积相等的两部分，求二面角D﹣AE﹣C的余弦值．‎ ‎22.（12分）如图，在三棱锥中，是正三角形，为其中心.面面，，，是的中点，.‎ ‎（1）证明：面；‎ ‎（2）求与面所成角的正弦值.‎ ‎2018—2019学年第一学期期中考试 高二数学试题参考答案 一． 选择题 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 D C A B C B A B C C C C 二、 填空题 13. ‎ －1‎ 14. ‎1或7‎ 15. ‎3‎ 16. ‎4‎ 三、 解答题 ‎17.（1）3x＋y＝0或x＋y＋2＝0；（2）a≤－1.‎ ‎18（1）设点关于直线的对称点为，由题意应有，解得，所以点．因为反射后光线经过点和点，所以反射后光线所在直线的方程为．‎ ‎（2）设为的一条高，则，设，可得 ‎，所以的面积 ‎，当且仅当时，等号成立．‎ 所以，面积的最小值是．‎ ‎19.（Ⅰ）过C作平行于A1B1C1的截面A2B2C，交AA1，BB1分别于点A2，B2.‎ 由直三棱柱性质及∠A1B1C1＝90°可知B2C⊥平面ABB2A2，‎ 则该几何体的体积V＝‎ ‎＝×2×2×2＋××(1＋2)×2×2＝6，‎ ‎（Ⅱ）在△ABC中，AB＝＝，‎ BC＝＝，‎ AC＝＝2.‎ 则S△ABC＝×2×＝‎ ‎20.（Ⅰ）证明：∵P﹣ABC为正三棱锥，且D为顶点P在平面ABC内的正投影，‎ ‎∴PD⊥平面ABC，则PD⊥AB，‎ 又E为D在平面PAB内的正投影，‎ ‎∴DE⊥面PAB，则DE⊥AB，‎ ‎∵PD∩DE=D，‎ ‎∴AB⊥平面PDE，连接PE并延长交AB于点G，‎ 则AB⊥PG，‎ 又PA=PB，‎ ‎∴G是AB的中点；‎ ‎（Ⅱ）在平面PAB内，过点E作PB的平行线交PA于点F，F即为E在平面PAC内的正投影．‎ ‎∵正三棱锥P﹣ABC的侧面是直角三角形，‎ ‎∴PB⊥PA，PB⊥PC，‎ 又EF∥PB，所以EF⊥PA，EF⊥PC，因此EF⊥平面PAC，‎ 即点F为E在平面PAC内的正投影．‎ 连结CG，因为P在平面ABC内的正投影为D，所以D是正三角形ABC的中心．‎ 由（Ⅰ）知，G是AB的中点，所以D在CG上，故CD=CG．‎ 由题设可得PC⊥平面PAB，DE⊥平面PAB，所以DE∥PC，因此PE=PG，DE=PC．‎ 由已知，正三棱锥的侧面是直角三角形且PA=6，可得DE=2，PG=3，PE=2．‎ 在等腰直角三角形EFP中，可得EF=PF=2．‎ 所以四面体PDEF的体积V=×DE×S△PEF=×2××2×2=．‎ ‎21.（1）证明：如图所示，取AC的中点O，连接BO，OD．‎ ‎∵△ABC是等边三角形，∴OB⊥AC．‎ ‎△ABD与△CBD中，AB=BD=BC，∠ABD=∠CBD，‎ ‎∴△ABD≌△CBD，∴AD=CD．‎ ‎∵△ACD是直角三角形，‎ ‎∴AC是斜边，∴∠ADC=90°．‎ ‎∴DO=AC．‎ ‎∴DO2+BO2=AB2=BD2．‎ ‎∴∠BOD=90°．‎ ‎∴OB⊥OD．‎ 又DO∩AC=O，∴OB⊥平面ACD．‎ 又OB⊂平面ABC，‎ ‎∴平面ACD⊥平面ABC．‎ ‎（2）解：设点D，B到平面ACE的距离分别为hD，hE．则=．‎ ‎∵平面AEC把四面体ABCD分成体积相等的两部分，‎ ‎∴===1．‎ ‎∴点E是BD的中点．‎ 建立如图所示的空间直角坐标系．不妨取AB=2．‎ 则O（0，0，0），A（1，0，0），C（﹣1，0，0），D（0，0，1），B（0，，0），E．‎ ‎=（﹣1，0，1），=，=（﹣2，0，0）．‎ 设平面ADE的法向量为=（x，y，z），则，即，取=．‎ 同理可得：平面ACE的法向量为=（0，1，）．‎ ‎∴cos===﹣．‎ ‎∴二面角D﹣AE﹣C的余弦值为．‎ ‎22.（1）连结，因为是正三角形的中心，所以在上且，又，所以在中有，‎ 所以，又平面，平面，‎ 所以平面.‎ ‎（2）解法一：作交的延长线于，作交的延长线于，‎ 由面面知面，所以，又，所以 所以面,所以面面，作，则面 连结，则为与面所成角，‎ ‎∴，即所求角的正弦值为.‎ 解法二：以中点为原点，建立如图所示的空间直角坐标系.‎ ‎∵，‎ ‎∴，，，，‎ ‎∴，，，.‎ 设面的法向量为，则 取，‎ ‎∴，即所求角的正弦值为.‎