【数学】2019届一轮复习苏教版三角函数与解三角形学案

【数学】2019届一轮复习苏教版三角函数与解三角形学案

专题3：三角函数与解三角形 问题归类篇 类型一：同角三角函数求值 一．前测回顾 ‎1．(1) 若sinα＝－，且α为第四象限角，则tanα的值等于_____________．‎ 答案：－．‎ ‎ （2）已知tana＝2，则＝ ，sin2a－2sinacosa＋2＝ ．‎ 答案：；2．‎ ‎ (3)已知sinα＋cosα＝，α∈(0，π)，则cosα－sinα＝ ，tanα＝ ．‎ ‎ 答案：－；－ ‎ 解析：sinα＋cosα＝，α∈(0，π)，且sinα＋cos2α＝1，得到sinα＝，cosα＝－ ‎ 二、方法联想 ‎1．三角函数求值 ‎(1) 知一求其余三角函数值；‎ ‎(2)关于sinα与cosα的齐次式，同除cosa或cos2a，如果不是齐次，借助1＝sin2α＋cos2α构造齐次．‎ ‎(3)sinα＋cosα，sinα－cosα，sinαcosα间关系式 注意 根据角的范围确定三角函数值正负．无法确定正负时可根据三角函数值的正负(或与特殊角的三角函数值)缩小角的范围．‎ 三、归类巩固 ‎*1．已知sinα＝，并且α是第二象限角，则cosα的值为 ．‎ ‎(已知三角函数正弦值，求余弦值)‎ 答案：－ ．‎ ‎**2．已知tanα＝3，且π＜α＜，则cosα－sinα＝ ．‎ ‎（已知三角函数正切值，求正弦、余弦值）‎ 答案：．‎ 解析：＝3且 sinα＋cos2α＝1，得到sinα与cosα的值．‎ ‎***3．若cosα＋2sinα＝－，则tanα＝ ．‎ ‎(构造方程组求解sinα，cosα)‎ 答案：2．‎ 解析：结合sinα＋cos2α＝1，得到sinα与cosα的值．‎ 类型二：三角函数的图像与性质 一、 前测回顾 ‎1．（1） 函数y＝的定义域为 ． ‎ 答案：[kπ＋ ，kπ＋](k∈ )．‎ ‎ （2） 函数y＝sin(2x＋)，x∈[0，]的值域为 ．‎ 答案：[－ ，1]．‎ ‎（3）已知w＞0，在函数y＝2sinwx与y＝2coswx的图像的交点中，距离最短的两个交点的距离为2，则w的值为 ．‎ 答案：．‎ ‎（4） 函数y＝2cos(3x－)单调减区间为 ．‎ 答案：[＋，＋](k∈ )．‎ ‎ （5）函数y＝sin(2x＋) 的对称轴为 ；中心对称点为 ． ‎ 答案：x＝＋(k∈ )；(－，0)(k∈ )；‎ ‎2．（1）函数y＝2sin2x＋sinxcosx＋3cos2x的值域为 ．‎ 答案：[，]．‎ ‎ （2）函数y＝4sin2x－12cosx－1，[－，]的值域为 ．‎ 答案：[－13，8]．‎ ‎ （3）函数y＝sinx＋cosx＋2sinxcosx＋2,[0，π]的值域为 ．‎ 答案：[，3＋]．‎ ‎ （4）函数y＝的值域为 ．‎ 答案：[0，＋∞)．‎ 提示：方法一：看作斜率，数形结合处理；‎ ‎ 方法二：导数法处理． ‎ ‎3．（1）已知函数y＝Asin(2x＋φ)的对称轴为x＝，则φ的值为 ．‎ 答案：kπ＋(k∈ )．‎ ‎（2）已知函数y＝cos(2x＋φ)为奇函数，求φ的值为 ．‎ 答案：kπ＋(k∈ )．‎ 一、 方法联想 ‎1．三角函数的定义域 ‎ 方法：根据式子有意义的条件，列不等式组，解不等式求定义域．‎ ‎2．三角函数的值域 ‎ 方法1：转化为y＝Asin(ωx＋φ)形式，先求ωx＋φ的范围，再根据正弦函数的图象求出值域 如y＝asin2ωx＋bsinωxcosωx＋ccos2ωx的形式，先利用降幂公式化为一次形式，将用辅助角公式化为 y＝Asin(2ωx＋φ)形式求值域．‎ 方法2：利用换元法转化为二次函数值域问题．‎ 如:含有 sin2x，cosx(或sinx)和cos2x，sinx(或cosx)形式；含有sinx±cosx，sinxcosx：‎ 形如分子、分母含有sinx，cosx的一次形式：‎ 方法1：化为sin(ωx＋φ)＝M形式，再得用三角函数的有界性(|sinx|≤1，|cosx|≤1)求值域．‎ 方法2：导数法 ‎3．三角函数对称问题 方法：对于函数y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)‎ 若x＝x0为对称轴Ûf(x0)＝±A．‎ 若(x0，0)为中心对称点Ûf(x0)＝0．‎ 推论：对于函数y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)‎ 若函数y＝f(x)为偶函数Ûf(0)＝±A． 若函数y＝f(x)为奇函数Ûf(0)＝0．‎ ‎4．求f(x)＝Asin(wx＋j)＋B(A＞0)的解析式 方法：待定系数法 步骤：（1）由周期T＝得w；‎ ‎（2）由得， ‎（3）将点代入求j(尽量代入最高点或最低点)．‎ 三、归类巩固 ‎*1．在同一平面直角坐标系中，函数y＝cos(＋)(x[0,2π])的图象和直线y＝的交点个数是 ．‎ 答案：2．（利用三角函数图像）‎ 解析：，得到y＝sin，做出图像．‎ ‎**2．定义在区间[0,3π]上的函数y=sin2x的图象与y=cosx的图象的交点个数是 ．‎ ‎［答案］7(考查三角函数图像)．‎ ‎*3．函数y＝|sinx|，(x∈[p，2p])的单调递增区间是 ．‎ 答案：[p，]；(考查三角函数的图像和性质)．‎ ‎**4． 已知函数f(x)＝2sin (2x＋φ)(|φ|＜π）的部分图象如图所示，则f(0)＝________．‎ 答案：－1； (考查三角函数的图象)．‎ ‎***5．将函数的图像向右平移个单位，再将图像上每一点横坐标缩短到原来的倍，所得图像关于直线对称，则的最小正值为 ．‎ 答案：(考查三角函数图像变换)．‎ ‎*6．函数y＝2sin(x－)(0≤x≤9)的最大值与最小值之差为 ．‎ ‎ 答案：2＋；(考查三角函数的最值)．‎ ‎**7．若函数f(x)＝sin(x＋θ)(0＜θ＜)的图象关于直线x＝对称，则θ＝ ．‎ ‎ 答案：；(考查三角函数的对称性)．‎ ‎***8． 若将函数f(x)＝sin（2x＋)的图象向右平移φ个单位，所得图象关于y轴对称，则φ的最小正值是________．‎ 答案： ； (考查三角函数图象变换，三角函数的奇偶性)．‎ ‎*9．函数f(x)＝sinx（≤x≤）的值域为 ．‎ 答案：[，1](考查三角函数值域)．‎ ‎**1-．设0＜x＜p，则函数的最小值为 ．‎ 答案：（考查正弦函数、余弦函数的图象和性质）． ‎ 解析：令t＝sinx（0，1），利用y＝＋的单调性得到最小值．‎ ‎***11． 将函数f(x)＝sin2x的图像向右平移个单位后得到函数的图像，若对满足的，，有，则 ．‎ 答案：(考查三角函数图像变换，最值)．‎ ‎*12．若f(x)＝2sin ωx(0<ω<1)在区间[0，]上的最大值是，则ω＝________．‎ 答案：(考查三角函数单调性,最值)．‎ ‎**13．将函数f(x)＝2sin(2x－)的图象向左平移m个单位(m＞0)，若所得的图象关于直线x＝对称，则m的最小值为 ．‎ ‎ 答案：；(考查三角函数的图象与对称性)．‎ ‎***14．已知过原点的直线与函数y＝|sin x|(x≥0)的图像有且只有三个交点，α是交点中横坐标的最大值，则的值为________．‎ 答案：1(考查三角函数图像)．‎ 类型三：两角和与差的三角函数 一、 前测回顾 ‎1．= ．‎ 答案：．‎ ‎2．已知,则 ．‎ 答案： ．‎ 解析：把两角和与差的正弦公式中的,分别看成一个整体，通过解方程组，求出和，作比，即可求出 ‎3． ．‎ 答案：．‎ 解析：因为，联想公式,逆用两角和正切公式，并进行变形得：．‎ 二、 方法联想 如何根据题目中的三角函数结构形式，选择合适的方法来解决问题？‎ 1. 分析结构：认真分析已知式子和所求式子的整体结构之间的异同点，帮助我们找到变形的方向；‎ 2. 寻找规律：寻求函数名之间、角之间的差别和联系为我们选用正确的方法做好前期准备；‎ 3. 巧用方法：熟练掌握解决三角求值、化简的常用方法：切化弦法、升降幂法、辅助元素法、“1”的代换法等，熟悉角的拆拼、变换的技巧．‎ 三、归类巩固 ‎**1． ．‎ 答案：2．‎ ‎***2．已知,则 ．‎ 答案：．‎ 解析：观察已知和所求式子的特点，利用,再利用弦化切，求出 类型四：三角恒等变换 一、前测回顾 ‎1．已知cos(a＋)＝，a∈(0，)，则cosa＝ ；sin(a＋)＝ ；，cos(2a＋)＝ ．‎ 答案：（＋2）；；（2－）．‎ ‎2．已知cos(＋x)＝， ＜x＜，则＝ ．‎ 答案：．‎ 二、方法联想 ‎1．三角变换基本想法 ‎ （1）角：观察角的联系，实现角的统一．‎ ‎ （2）名：弦切互化，异名化同名．‎ ‎ 形：公式变形与逆用．‎ 幂：平方降幂，根式升幂．‎ 解题前先观察角的联系，分析角的变化，实现角的统一，从而决定解题方向，再结合三角函数名、公式的变形、幂的升降，做出公式的选择．‎ 常见的角的变形有：（1）可化为特殊角；（2）可以化为同角；（3）可分析角与角之间的关系，如和，差，倍等等；（4）可实现条件、结论中角的转化．‎ 注意点：判断角的范围，确定三角函数值的正负或角的值．若在已知范围内不能确定时，利用三角函数值的正负或大小来缩小角的范围．‎ 一、 归类巩固 ‎**1．计算 ＝ ．‎ 答案：2．‎ ‎**2．已知tan(＋a)＝．则＝ ．‎ 答案：－．‎ ‎**3．已知sinα＝，sin(α－β)＝－，α，β均为锐角，则角β＝________．‎ 答案：．‎ ‎**4．已知函数f(x)＝cos2x＋cos2(x＋)．‎ ‎（1）求f(x)最小正周期和单调递增区间；‎ ‎（2）求f(x)在区间[－，]上的最大值和最小值．‎ 解析：（1）f(x)‎ ‎ ‎ 周期 单调递增区间：‎ 所以单调递增区间：．‎ ‎（2） ．‎ 类型五：解三角形 ‎ 一、 前测回顾 ‎1．（1）在△ABC中，b＝，B＝60°，c＝1，则C＝ ；a＝ ．‎ 答案：30°；2．‎ ‎（2）在△ABC中，A＝1200，a＝7，b＋c＝8，则b＝ ；c＝ ．‎ 答案：3或5；5或3．‎ ‎（3） 如图，在四边形ABCD中，已知AD^CD， AD＝10， AB＝14， ‎ ÐBDA＝60°， ÐBCD＝135° ，则BC＝ ．‎ 答案：8．‎ ‎2．（1）在△ABC中，acosA＝bcosB，则△ABC的形状为 ．‎ 答案：等腰或直角三角形．‎ ‎（2） 在△ABC中，sinA＝2cosBsinC，则△ABC的形状为 ．‎ 答案：等腰三角形．‎ 二、方法联想 ‎1．解三角形 ‎（1）三角形的几个关系 ‎①角角关系：A＋B＋C＝π；‎ ‎②边角关系：正弦定理和余弦定理，大边对大角；‎ ‎③边边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．‎ ‎（2）解三角形方法 ‎①三角形的六个量中只要知道其中三个量（至少已知一条边）便可以求出其他三个量；‎ ‎②正弦定理运用的条件是：两角一边，两边和其中一边说对的角；‎ ‎ 余弦定理运用的有条件是：两边一夹角，三边；‎ 其中两边和其中一边说对的角的条件，既可以用正弦定理也可以用余弦定理，但都必须注意“一解”和“两解”的问题．‎ ‎2．与三角形有关的三角函数问题 具体做法：‎ ‎（1）A＋B＋C＝π可消元；‎ ‎（2）遇到正弦要当心！优先考虑可能出现的一解和两解问题；‎ ‎（3）边角转化，利用（1）a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC或（2）cosA＝等进行边角互化，即边化角或角化边．‎ 说明：在解答题中，由于考三角函数的变形较为常见，所以，常常“边化角”，而在填空题中，随意．‎ 三、归类巩固 ‎*1．在△ABC中，内角A，B，C的对边依次为a，b，c，若3a＝2b，则＝ ．‎ 答案：；(考查正弦定理)．‎ ‎**2．在△ABC中，角A，B，C的对边依次为a，b，c，若角A，B，C依次成等差数列，且a＝1，b＝，，则△ABC的面积为 ．‎ 答案：；(考查正弦定理)．‎ ‎***3．在△ABC中，内角A，B，C的对边依次为a，b，c，若a2－c2＝3b，且sinB＝8cosAsinC，则边b＝ ．‎ ‎ 答案：4；(考查两角和差的三角函数关系，正余弦定理)．‎ ‎*4．钝角△ABC的面积是，AB＝1，BC＝ ，则AC＝ ．‎ 答案：；(考查正、余弦定理)．‎ ‎**5． 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为3，b－c＝2，‎ cos A＝－，则a的值为________．‎ 答案：8；(考查余弦定理，三角形面积)．‎ ‎***6．在△ABC中，B＝，BC边上的高等于BC，则cos A＝________．‎ 答案： － (考查解三角形，三角变换)．‎ 综合应用篇 一、例题分析 例1． 设函数f(x)＝sin(x－)－2cos2x＋1．‎ ‎（1）求f(x)的最小正周期； ‎ ‎（2）若函数y＝g(x)与y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称，求当x[0，]时y＝g(x)的最大值．‎ 答案：（1） f(x)的最小正周期为8； （2）最大值为． ‎ ‎〖教学建议〗‎ ‎（1）主要问题归类与方法： ‎ ‎1．求三角函数周期问题，必须先将解析式化为y＝A sin(ωx＋φ)＋B或y＝Acos(ωx＋φ)＋B的形式．‎ ‎2．求三角函数的最值(值域)问题．‎ 因为函数y＝g(x)与y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称，所以问题可以转化为求f(x)＝Asin(ωx＋φ)在区间[，2]上的最值．‎ ‎（2）方法选择与优化建议：‎ ‎1．采用展开、降幂等方法“化一”．将f(x)化为y＝Asin(ωx＋φ)形式，再使用周期公式．‎ ‎ 2．求三角函数的最值(值域)问题．‎ 三角函数的最值既是高考中的一个重点，也是一个难点，其类型丰富，解决的方法比较多．但是归纳起来常见的有下面三种类型：‎ ‎①化为只含有一个一次的三角函数y＝Asin(ωx＋φ)＋B或y＝Acos(ωx＋φ)＋B的形式，根据题中x的范围求出ωx＋φ的范围，再确定sin(ωx＋φ)或cos(ωx＋φ)的最值(值域)；‎ ‎②借助公式将函数先化为y＝f(sinx)型，通过换元法，即令t＝sinx，构造关于t的函数，并根据x的范围确定t的取值范围，再求f(t)的最值(值域)；‎ ‎③函数表达形式中同时出现sinx＋cosx (sinx－cosx)与sinxcosx时，可以利用(sinx＋cosx)2＝1＋2sinxcosx或(sinx－cosx)2＝1－2sinxcosx的关系进行换元，即令t＝sinx±cosx＝sin(x±)，转化为关于t的函数，再求f(t)的最值(值域)．‎ 例2． 已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω＞0，0≤φ≤π)是R上的偶函数，其图象关于点M（，0）对称，且在区间[0，]上是单调函数．‎ ‎（1）求φ的值； （2）求ω的值．‎ 答案：(1)φ＝；(2)ω＝或2．‎ ‎〖教学建议〗‎ ‎（1）主要问题归类与方法： ‎ ‎1．三角函数图象轴对称问题．‎ 函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω＞0，0≤φ≤π)是R上的偶函数，说明f(x)的图象关于y轴对称．‎ ‎2．三角函数图象中心对称问题．‎ 函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω＞0，0≤φ≤π)图象关于点M（，0）对称．‎ 方法选择与优化建议：‎ ‎1．从f(x)为偶函数很容易得到f(0)＝sinφ＝±1，从而有φ＝kπ＋(k∈ )．‎ 常用的结论有：‎ ‎①若y＝A sin(ωx＋φ)为偶函数，则有φ＝kπ＋(k∈ )；若为奇函数则有φ＝kπ (k∈ )；‎ ‎②若y＝A cos(ωx＋φ)为偶函数，则有φ＝kπ (k∈ )；若为奇函数则有φ＝kπ＋(k∈ )；‎ ‎③若y＝A tan(ωx＋φ)为奇函数则有φ＝kπ (k∈ )．‎ 这个结论要让学生理解并推理，不需要记忆．‎ ‎2．从f（）＝0，可以得到cos＝0，于是＝kπ＋，ω＝k＋(k∈ )．再结合函数的单调性推导出ω的值；‎ ‎3．对于y＝A sin(ωx＋φ)和y＝A cos(ωx＋φ)来说，对称中心与零点相联系，对称轴与最值点联系；‎ y＝A sin(ωx＋φ)的图象有无穷多条对称轴，可由方程ωx＋φ＝kπ＋(k∈ )解出；它还有无穷多个 对称中心，它们是图象与x轴的交点，可由ωx＋φ＝kπ (k∈ )解出．‎ ‎4．对于y＝A sin(ωx＋φ)和y＝A cos(ωx＋φ)来说，相邻两对称轴间的距离为，相邻两对称中心间的距离也为，函数的对称轴一定经过图象的最高点或最低点．‎ 例3．已知向量a＝(2sin(wx＋)，2)，b＝(2coswx，0)(w＞0)，函数f(x)＝a·b的图象与直线y＝－2＋的相邻两个交点之间的距离为p． : ]‎ ‎（1）求函数f(x)在[0，2p]上的单调递增区间；‎ ‎（2）将函数f(x)的图象向右平移个单位，得到函数y＝g(x)的图象．若y＝g(x)在[0，b]上至少含有10个零点，求正数b的最小值．‎ 答案：（1）f(x)＝2cos(2x＋)＋，单调递增区间为[，]和[，]；‎ ‎（2）g(x)＝2cos2x＋，令g(x)＝0，得x＝kp＋或x＝kp＋(k )，则g(x)在每个周期上有两个零点，所以b不小于第10个零点的横坐标即可，即，b的最小值为4p＋＝．‎ ‎【教学建议】‎ ‎（1）主要问题归类与方法： ‎ ‎1．求三角函数单调区间问题，先将解析式化为y＝A sin(ωx＋φ)＋B或y＝Acos(ωx＋φ)＋B的形式，具体步骤为：①将ω化为正；②将ωx＋φ成一个整体，由三角函数的单调性求解．‎ ‎2．三角函数的周期与零点问题，先求出g(x)在每个周期上的零点个数，再确定区间端点的最小值．‎ ‎（2）方法选择与优化建议：‎ ‎1．解决三角函数单调性问题时务必注意避免以下错误：‎ ‎①ω没有化为正数；‎ ‎②存在多个单调区间时错用“∪”联结；‎ ‎③遗漏“k∈ ”；‎ ‎④求解三角函数的单调区间时忘记考虑函数自身的定义域．‎ ‎2．首先要注意到函数的最小正周期为p，确定函数在每个周期内的的零点个数，这里容易将b的最小值错求为第五个周期的终点．‎ 例4． 已知a＝(1，－sinα)，b＝(sin(α+2β)，2)，a·b＝0．‎ ‎（1）若sinβ＝，β是钝角，求tanα的值； （2）求证：tan(α+β)＝3tanβ．‎ 解答：a＝(1，－sinα)，b＝(sin(α+2β)，2)，a·b＝0，‎ 所以sin(α+2β)－2 sinα＝0． ‎ （1） ‎－； ‎ ‎（2）因为sin(α+2β)＝2 sinα，即sin[(α+β)+β]＝2sin[(α+β)－β] ‎ 得sin(α+β)cosβ+ cos (α+β)sinβ＝2[sin(α+β)cosβ－cos(α+β)sinβ] ‎ ‎ 移项得sin(α+β)cosβ＝3 cos(α+β)sinβ，‎ 等式两边同时除以cos(α+β)cosβ ‎ 得 tan(α+β)＝3tanβ ‎〖教学建议〗‎ ‎（1）主要问题归类与方法： ‎ ‎1．三角恒等变形主要是变角，变式，这个顺序也就决定解题的大的思路；‎ ‎2．变角是三角恒等变形中重要的第一步，根据问题的特征，主要是角的形式的统一．‎ ‎（2）方法选择与优化建议：‎ ‎1．三角函数的求值问题与代数问题的求知一致，根据问题的特点可以直接计算，也可以间接计算（解方程）．‎ ‎2．三角恒等变形，首先应该变角，本题解题的关键，就是实现已知角中的形式，向未知角中的形式转化．‎ 例5：已知,且．‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）求的值．‎ 解 （1）． ‎ ‎ （2）． ‎ 解析：， 因为所以．‎ ‎（2）因为，且所以 又，∴,， 因为，． 所以,，‎ 所以 又， ∴．‎ ‎〖教学建议〗‎ ‎（1)主要问题归类与方法： ‎ 问题1、cos2α＝cosα－sinα＝2cosα－1＝1－2sinα．‎ 问题2、由于cos2α＝cos2α－sin2α， 这可以化为tanα的齐次式．‎ 方法选择与优化建议：‎ 对于问题1，选择以上三个公式中的任何一个都可以，但在从α(0，π)，tanα＝2求cosα、sinα时要注意判断它们的符号．‎ 对于问题2，cos2α＝cos2α－sin2α＝ ＝，处理起来更加便捷．‎ ‎（2)主要问题归类与方法： ‎ 求角的问题 求角就需要选择一个关于2α－β的三角函数，它可以是正弦、余弦，也可以是正切，关键在于这个三角函数值可以求．另外，2α－β的范围不仅影响角的结果，也影响着选择正弦、余弦、正切中的哪个三角函数．‎ 方法选择与优化建议：‎ 通过推理，我们得到2α－β(－，)，所以可以选择计算sin(2α－β)值，也可以选择计算tan(2α－β)的值，但不宜选择计算cos(2α－β)，因为在(－，)上，正弦函数、正切函数都是单调的，而余弦函数却是不单调的． ‎ 例6：在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知＝．‎ （1） 求的值；‎ ‎（2）若cosB＝，△ABC的周长为5，求b的大小．‎ 答案：（1）＝2；（2） b＝2．‎ ‎〖教学建议〗‎ ‎（1）主要问题归类与方法： ‎ ‎1．边角互化问题，方法有：‎ ‎①利用a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC将边化为角；‎ ‎②利用cosA＝等将余弦化为边；‎ ‎③ccosB＋bcosC＝a等化角为边．‎ ‎ 2．求边长问题，方法有：①利用正弦定理求边；② 利用余弦定理求边．‎ ‎（2）方法选择与优化建议：‎ ‎1．对于等式＝的右边，我们可以选择方法①，化变为角，推导出sinC＝2sinA；‎ 如果利用cosA＝等将等式＝的左边余弦化为边来做，运算量较大，‎ 所以不选择方法②．‎ 由于等式＝可以化为bcosA＋acosB＝2(bcosC＋ccosB)，即c＝2a，所以也可以选择方法③．‎ ‎2．因为从第一问已经可以得到c＝2a，又a＋b＋c＝5，所以三边可以转化为只含有一个未知量b，利用减元消元解方程的方法解决问题，因此选择方法②的余弦定理解决问题比较方便． ‎ 例7：已知△ABC的内角A，B，C的对边依次为a，b，c，若满足tanAtanB－tanA－tanB＝．‎ ‎（1）求∠C的大小；‎ ‎（2）若c＝2，且△ABC为锐角三角形，求a2＋b2的取值范围．‎ 答案：（1）； （2）(，8)] ．‎ ‎〖教学建议〗‎ ‎（1)主要问题归类与方法：‎ ‎1．求三角形中的某个角的大小：利用三角公式求这个角的某一三角函数．‎ ‎2．求代数式的范围问题．利用函数的知识，转化为求函数值域．‎ ‎（2)方法选择与优化建议：‎ ‎1．由于本题中涉及到的三角函数为正切，所以考虑求角的正切值，从而求角的大小；‎ 三角恒等变形中应注意公式的变形使用，解三角形问题时要注意利用隐含条件A＋B＋C＝p．‎ ‎2．利用正弦定理将a2＋b2表示为角A或角B的三角函数关系式，并将之变形整理为f(x)＝Asin(wx＋j)＋B的形式求范围．‎ 本题中需注意的是“△ABC为锐角三角形”必须保证所有的角都是锐角，这是求范围的关键所在．‎ 例8：如图，游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路径．一种是从A沿直线步行到C，另一种是先从A沿索道乘缆车到B，然后从B沿直线步行到C．现有甲、乙两位游客从A处下山，甲沿AC匀速步行，速度为50 m/min．在甲出发2 min后，乙从A乘缆车到B，在B处停留1 min后，再从B匀速步行到C．假设缆车匀速直线运动的速度为130 m/min，山路AC长为1260 m，经测量cos A＝，cos C＝．‎ ‎(1)求索道AB的长；‎ ‎(2)问：乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？‎ ‎(3)为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？‎ 答案：(1) AB的长为1 040 m．；‎ ‎(2)当t＝ min时，甲、乙两游客距离最短． ‎ ‎(3)乙步行的速度应控制在(单位：m/min)范围内．‎ ‎〖教学建议〗‎ ‎（1)主要问题归类与方法：‎ ‎1．求角及边长问题，方法为先利用两角和差关系求sin B，再利用正弦定理求边长AB．‎ ‎2．余弦定理应用问题，其中涉及二次函数最值问题．‎ 方法为利用余弦定理和函数思想，将甲乙距离表示为乙出发后时间t的函数．‎ ‎3．解三角形的实际应用问题，方法为利用正弦定理求BC，将两位游客互相等待的时间不超过3分钟用不等式表示，利用两者的时间差所在范围求解速度范围．‎ ‎（2)方法选择与优化建议：‎ ‎1．已知两角一边或两边和一边对角利用正弦定理解三角形．‎ 注意点有：利用两边和一边对角求另一边的对角时容易忽视解的情况的判断．‎ ‎2．已知两边和夹角，常用余弦定理求出第三边．‎ ‎3．求解三角形的实际问题，首先要准确理解题意，分清已知与所求，关注应用题中的有关专业名词、术语，如方位角、俯角等；其次根据题意画出其示意图，示意图起着关键的作用；再次将要求解的问题归结到一个或几个三角形中，通过合理运用正、余弦定理等有关知识建立数学模型，从而正确求解，演算过程要简练，计算要准确；最后作答．‎ 二、巩固练习 ‎*1．函数的最小正周期为 ．‎ 答案：p(考查三角函数周期)．‎ ‎*2．函数f(x)＝cosxcos(x－1)的最小正周期为 ．‎ ‎ 答案：2；(考查三角函数的周期性)．‎ ‎**3．若tanα＝ ，则cosα＋2sin2α＝ ．‎ 答案： （已知三角函数正切值，求二次齐次式值）‎ 解析：根据正切，求正余弦；或者添分母1＝sin2α＋cos2α构造齐次分式．‎ ‎**4．已知θ是第三象限角，且sinθ－2cosθ＝－，则sinθ＋cosθ＝ ．‎ 答案：－(构造方程组求解sinθ，cosθ)‎ 解析：构造方程组，求解sinθ，cosθ ‎*5．函数f(x)＝sin(2x＋)－cos(2x＋)的最小正周期和最大值分别为_______和_______．‎ 答案：π；(考查两角和差的正余弦公式)‎ ‎*6．已知函数，且，则函数的值域是_________．‎ 答案： (考查三角函数单调性)．‎ ‎*7．函数f(x)＝sin(2x＋)－cos(2x＋)的最小正周期和最大值分别为_______和_______．‎ 答案：π；（考查两角和差的正余弦公式和三角函数的最值）‎ 解析：展开后得到y＝sin2x ‎*8．函数f(x)＝cos(2x－)－2sinx的最小正周期为 ‎ 答案：π（考查两角和差的余弦公式和降幂公式）‎ 解析：展开并利用降幂公式，得到y＝sin（2x＋）－ ‎**9．若动直线x＝a(a∈R)与函数f(x)＝sin(x＋)，g(x)＝cos(x＋)的图象分别交于M，N两点，则MN长的最大值为 ．‎ 答案：2；(考查两角和差的正余弦公式，三角函数的最值)．‎ ‎**10．若sin α－sin β＝1－，cos α－cos β＝，则cos(α－β)的值为________．‎ 答案：(考查两角和与差的三角函数)．‎ ‎**11．的值是 ；‎ 答案：(考查两角和与差的三角函数)．‎ ‎**12． 设，且，则 ；‎ 答案：(考查弦切互化)．‎ ‎**13．在中,内角所对的边分别是若,则的面积是 ；‎ 答案： (考查正,余弦定理)．‎ ‎*14．已知α，β∈[0，]，且tan α＝4，cos(α＋β)＝－，则角β的大小为________．‎ 答案： (考查角的变换)．‎ ‎*15．钝角三角形的面积是,,则 ；‎ 答案： (考查正,余弦定理)．‎ ‎**16． 在中,内角所对的边分别是又,且,则的面积的最大值是 ；‎ 答案： (考查正,余弦定理)．‎ ‎*17． 的内角的对边分别为，若，，，则 ．‎ 答案：　 (考查正弦定理,两角和与差公式)．‎ ‎**18．已知△ABC中，B＝45°，AC＝4，则△ABC面积的最大值为________．‎ 答案：　4＋4(考查余弦定理,基本不等式)．‎ ‎**19．在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c．已知bcos C＋ccos B＝2b，则＝________．‎ 答案： 2(考查正弦定理,两角和与差公式)．‎ ‎**20．设函数f(x)＝Asin( ωx＋φ)(A＞0,w＞0)若f(x)在区间[，]上具有单调性,且,则f(x)的最小正周期为 ．‎ 答案： (考查三角函数图像性质及周期性)．‎ ‎***21．若函数y＝cos2x＋sin2x＋a在[0，]上有两个不同的零点，则实数a的取值范围为____________．‎ ‎ 答案：(－2，－1)；(考查两角和差的三角函数关系式，三角函数的零点)．‎ ‎22．已知，且 ‎*（1）求的值；‎ ‎**（2）求 答案： （1）（2）(考查两角和与差公式,二倍角公式)．‎ ‎23．在中，已知．‎ ‎*（1）求的长；‎ ‎**（2）求的值．[‎ 答案：（1）(考查余弦定理)．‎ ‎（2）(考查正弦定理，二倍角公式)．‎ ‎24． 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c． 已知b+c=2a cos B．‎ ‎**（1）证明：A=2B；‎ ‎**（2）若△ABC的面积，求角A的大小．‎ 解析：（1）由正弦定理得：,‎ 故,‎ 于是．‎ 又,故,所以 或，‎ 因此(舍去)或,‎ 所以，．‎ ‎（II）由得，故有 ‎，‎ 因，得．‎ 又，，所以．‎ 当时，；‎ 当时，．‎ 综上，或． ( 考查正弦定理，两角和与差公式)．‎ ‎25．在△ABC中，A、B、C为三个内角，f(B)＝4cos B·sin2（＋)＋cos 2B－2cos B．‎ ‎* (1)若f(B)＝2，求角B；‎ ‎* * (2)若f(B)－m＞2恒成立，求实数m的取值范围．‎ 解　(1)f(B)＝2cos B(1＋sin B)＋cos 2B－2cos B＝2cos Bsin B＋cos 2B ‎＝sin 2B＋cos 2B＝2sin（2B＋)．‎ ‎∵f(B)＝2，∴2sin（2B＋)＝2，‎ ‎∵0＜B＜π，∴2B＋＝．∴B＝．(考查两角和与差公式,二倍角公式)．‎ ‎(2)f(B)－m＞2恒成立，即2sin（2B＋)＞2＋m恒成立．‎ ‎∴2sin（2B＋)∈[－2,2]，∴2＋m＜－2．∴m＜－4． (考查两角和与差公式)．‎ ‎26． 在△ABC中，． ‎ ‎*（1）求AB的长；‎ ‎**（2）求的值． ‎ 解（1）因为所以 由正弦定理知，所以 ‎（2）在△ABC中，所以 于是 又，故 因为，所以 因此 ‎(考查正弦定理，两角和与差公式)．‎ ‎27．已知函数f(x)＝4cos ωx·sin( ωx＋)(ω>0)的最小正周期为π．‎ ‎(1)求ω的值； (2)讨论f(x)在区间[0，]上的单调性．‎ 解　(1)ω＝1．‎ ‎(2)f(x)在区间[0，]上上单调递增,在区间[，]上单调递减．‎ 解析：（1）‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 所以．‎ ‎(2)由（1）知：,‎ 因为,所以，‎ 当时，即时，是增函数；‎ 当时，即时，是减函数；‎ 所以在区间上单调递增；在区间上单调递减 说明：考查正弦函数的图象和性质，方法为“化一”．‎ ‎28．某单位设计一个展览沙盘，现欲在沙盘平面内，布设一个对角线在l上的四边形电气线路，如图所示，为充分利用现有材料，边BC，CD用一根5米长的材料弯折而成，边BA、AD用一根9米长的材料弯折而成，要求∠A和∠C互补，且AB＝BC．‎ ‎(1)设AB＝x米，cos A＝f(x)，求f(x)的解析式，并指出x的取值范围；‎ ‎(2)求四边形ABCD面积的最大值．‎ 解　(1)在△ABD中，由余弦定理得BD2＝AB2＋AD2－2AB·AD·cos A．‎ 同理，在△CBD中，BD2＝CB2＋CD2－2CB·CD·cos C．‎ 因为∠A和∠C互补，所以AB2＋AD2－2AB·AD·cos A＝CB2＋CD2－2CB·CD·cos C＝CB2＋CD2＋2CB·CD·cos A．‎ 即x2＋(9－x)2－2x(9－x)cos A＝x2＋(5－x)2＋2x(5－x)·cos A．解得cos A＝，即f(x)＝，其中x∈(2,5)．(考查角的变换,余弦定理)．‎ ‎(2)四边形ABCD的面积S＝(AB·AD＋CB·CD)sin A＝[x(9－x)＋x(5－x)]＝x(7－x) ＝＝．‎ 记g(x)＝(x2－4)(x2－14x＋49)，x∈(2,5)．‎ 由g′(x)＝2x(x2－14x＋49)＋(x2－4)(2x－14)‎ ‎＝2(x－7)(2x2－7x－4)＝0，解得x＝4．‎ 函数g(x)在区间(2,4)内单调递增，在区间(4,5)内单调递减．因此g(x)的最大值为g(4)＝12×9＝108．‎ 所以S的最大值为＝6．(考查角的变换,导数求最值)．‎ 答：所求四边形ABCD面积的最大值为6 m2．‎ ‎29．已知函数(x)＝2cos(2x＋)－cos2x＋1．‎ ‎（1）求f(x)的对称中心 ‎（2）若锐角△ABC中角A,B,C所对的边分别为a，b，c，且f(A)＝0，求的取值范围．‎ 解析：（1）‎ ‎ ‎ 对称中心为：‎ 对称中心为：‎ ‎（2）由已知可得：‎ ‎（舍）或 因为为锐角三角形 ‎ ‎ ‎ (考查三角的变换,正弦定理，三角函数的性质)．‎