2019-2020学年高中数学课时作业19二项分布北师大版选修2-3

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文档介绍

2019-2020学年高中数学课时作业19二项分布北师大版选修2-3

课时作业(十九)‎ ‎1.独立重复试验应满足的条件:‎ ‎①每次试验之间是相互独立的;‎ ‎②每次试验只有发生与不发生两种结果之一;‎ ‎③每次试验发生的机会是均等的;‎ ‎④各次试验发生的事件是互斥的.‎ 其中正确的是(  )‎ A.①②           B.②③‎ C.①②③ D.①②④‎ 答案 C ‎2.已知随机变量X服从二项分布,X~B(6,),则P(X=2)等于(  )‎ A. B. C. D. 答案 D 解析 P(X=2)=C62×()2×(1-)6-2=C62×()2×()4=.‎ ‎3.袋中有红、黄、绿色球各一个,每次任取一个,有放回地抽取三次,球的颜色全相同的概率是(  )‎ A. B. C. D. 答案 B 解析 每种颜色的球被抽取的概率为,从而抽取三次,球的颜色全相同的概率为C31()3=3×=.‎ ‎4.某一试验中事件A发生的概率为p,则在n次试验中,发生k次的概率为(  )‎ A.1-pk B.(1-p)k·pn-k C.(1-p)k D.Cnk(1-p)k·pn-k 答案 D ‎5.某电子管正品率为,次品率为,现对该批电子管进行测试,设第ξ次首次测到正品,则P(ξ=3)的值为(  )‎ 8‎ A.C32()2× B.C32()2× C.()2× D.()2× 答案 C 解析 当ξ=3表示前2次测出的都是次品,第3次为正品,则P(ξ=3)=()2×.‎ ‎6.位于坐标原点的一个质点P按下述规则移动:质点每次移动一个单位,移动的方向为向上或向右,并且向上、向右移动的概率都是.质点P移动五次后位于点(2,3)的概率是(  )‎ A.()5 B.C52()5‎ C.C53()3 D.C52C53()5‎ 答案 B 解析 由题意可知质点P在5次运动中向右移动2次,向上移动3次,且每次移动是相互独立的,即向右移动的次数ξ~B(5,),∴P(ξ=2)=C52()2()3.‎ ‎7.(2015·合肥高二检测)在4次独立重复试验中,事件A发生的概率相同,若事件A至少发生1次的概率为,则事件A在1次试验中发生的概率为(  )‎ A. B. C. D. 答案 A 解析 设事件A在一次试验中发生的概率为p,由题意得1-C40p0(1-p)4=,所以1-p=,p=.‎ ‎8.某大厦的一部电梯从底层出发后只能在第18、19、20层停靠.若该电梯在底层载有5位乘客,且每位乘客在这三层的每一层下电梯的概率均为,用ξ表示这5位乘客在第20层下电梯的人数,则P(ξ=4)=________.‎ 答案  解析 任何一位乘客是否在第20层下电梯为一次试验,这是5次独立重复试验,故ξ~B(5,),即有P(ξ=k)=C5k()k×()5-k,k=0,1,2,3,4,5.‎ 8‎ ‎∴P(ξ=4)=C54()4×()1=.‎ ‎9.一个病人服用某种新药后被治愈的概率为0.9,则服用这种新药的4个病人中至少3人被治愈的概率为________(用数字作答).‎ 答案 0.947 7‎ 解析 至少3人被治愈的概率为C43(0.9)3·0.1+(0.9)4=0.947 7.‎ ‎10.某单位6个员工借助互联网开展工作,每天每个员工上网的概率是0.5(相互独立),则一天内至少3人同时上网的概率为________.‎ 答案  解析 记Ar(r=0,1,2,…,6)为“r个人同时上网”这个事件,则其概率为P(Ar)=C6r0.5r(1-0.5)6-r=C6r0.56=C6r,‎ ‎“一天内至少有3人同时上网”即为事件A3∪A4∪A5∪A6,因为A3,A4,A5,A6为彼此互斥事件,所以可应用概率加法公式,得“一天内至少有3人同时上网”的概率为 P=P(A3∪A4∪A5∪A6)=P(A3)+P(A4)+P(A5)+P(A6)=(C63+C64+C65+C66)=×(20+15+6+1)=.‎ ‎11.某射手射击1次,击中目标的概率是0.9,他连续射击4次,且各次射击是否击中目标相互之间没有影响,有下列结论:‎ ‎①他第3次击中目标的概率是0.9;‎ ‎②他恰好击中目标3次的概率是0.1×0.93;‎ ‎③他至少击中目标1次的概率是1-0.14.‎ 其中正确结论的序号是________.‎ 答案 ①③‎ 解析 由题意可知①③正确,②不正确,因为恰好击中目标3次的概率P=C430.93×0.1.‎ ‎12.2015年初,一考生参加北京大学的自主招生考试,需进行书面测试,测试题中有4道题,每一道题能否正确做出是相互独立的,并且每一道题被考生正确做出的概率都是.‎ ‎(1)求该考生首次做错一道题时,已正确做出了两道题的概率;‎ ‎(2)若该考生至少做出3道题,才能通过书面测试这一关,求这名考生通过书面测试的概率.‎ 解析 (1)记“该考生正确做出第i道题”为事件Ai(i=1,2,3,4),则P(Ai)=,由于每一道题能否被正确做出是相互独立的,所以这名考生首次做错一道题时,已正确做出两道题的概率为 8‎ P(A1A2A3)=P(A1)·P(A2)·P(A3)=××=.‎ ‎(2)记“这名考生通过书面测试”为事件B,则这名考生至少正确做出3道题,即正确做出3道或4道题,故 P(B)=C43×()3×+C44×()4=.‎ ‎13.9粒种子分种在3个坑中,每坑3粒,每粒种子发芽的概率为0.5.若一个坑内至少有1粒子发芽,则这个坑不需要补种;若一个坑内的种子都没发芽,则这个坑需要补种.假定每个坑至多补种一次,每补种1个坑需10元,用ξ表示补种的费用,写出ξ的分布列.‎ 解析 补种费用ξ的分布列为 ξ ‎0‎ ‎10‎ ‎20‎ ‎30‎ P ‎0.670‎ ‎0.287‎ ‎0.041‎ ‎0.002‎ 点评 每个坑内3粒种子都不发芽的概率为(1-0.5)3=,所以每个坑不需要补种的概率为p=1-=.利用3次独立重复试验的公式求解即可.‎ ‎14.在一次抗洪抢险中,准备用射击的办法引爆从桥上游漂流而下的一个巨大汽油罐,已知只有5发子弹,第一次命中只能使汽油流出,第二次命中才能引爆,每次射击是相互独立的,且命中的概率都是.‎ ‎(1)求油罐被引爆的概率;‎ ‎(2)如果引爆或子弹打光则停止射击,设射击次数为ξ,求ξ不小于4的概率.‎ 解析 (1)油罐引爆的对立事件为油罐没有引爆,没有引爆的可能情况是:射击5次只击中一次或一次也没有击中,故该事件发生的概率为C51··()4+()5.所以所求的概率为 ‎1-[C51··()4+()5]=.‎ ‎(2)当ξ=4时记事件为A,则P(A)=C31××()2×=.‎ 当ξ=5时,意味着前4次射击只击中一次或一次也未击中,记为事件B,则P(B)=C41××()3+()4=.‎ 所以所求概率为P(A∪B)=P(A)+P(B)=+=.‎ ‎15.如图,在竖直平面内有一个“游戏滑道”,空白部分表示光滑滑道,黑色正方形表示障碍物,自上而下第一行有1个障碍物,第二行有2个障碍物,…,依次类推.一个半径适当的光滑均匀小球从入口A投入滑道,小球将自由下落,已知小球每次遇到正方形障碍物 8‎ 上顶点时,向左、右两边下落的概率都是.记小球遇到第n行第m个障碍物(从左至右)上顶点的概率为P(n,m).‎ ‎(1)求P(4,1),P(4,2)的值,并猜想P(n,m)的表达式(不必证明);‎ ‎(2)已知f(x)= 设小球遇到第6行第m个障碍物(从左至右)上顶点时,得到的分数为ξ=f(m),试求ξ的分布列.‎ 解析 (1)P(4,1)=C30()3=,‎ P(4,2)=C31()3=,‎ 猜想P(n,m)=Cn-1m-1()n-1.‎ ‎(2)ξ=3,2,1,P(ξ=3)=P(6,1)+P(6,6)=,‎ P(ξ=2)=P(6,2)+P(6,5)=,‎ P(ξ=1)=P(6,3)+P(6,4)=.‎ 故ξ的分布列为 ξ ‎3‎ ‎2‎ ‎1‎ P ‎►重点班选做题 ‎16.一批玉米种子,其发芽率是0.8.问每穴至少种几粒,才能保证每穴至少有一粒发芽的概率大于98%?(lg2=0.301 0)‎ 解析 记事件A=“种一粒种子,发芽”,‎ 则P(A)=0.8,P()=1-0.8=0.2.‎ 设每穴至少种n粒,才能保证每穴至少有一粒发芽的概率大于98%.‎ 因为每穴种n粒相当于n次独立重复试验,记事件B=“每穴至少有一粒发芽”,则P()=Cn0·0.80·0.2n=0.2n.‎ 所以P(B)=1-P()=1-0.2n.‎ 8‎ 由题意有1-0.2n>98%,所以0.2n<0.02,两边取对数得nlg0.2≈2.43,且n∈N,所以n≥3.‎ 故每穴至少种3粒,才能保证每穴至少有一粒发芽的概率大于98%.‎ ‎17.设进入某商场的每一位顾客购买甲种商品的概率为0.5,购买乙种商品的概率为0.6,且购买甲种商品与购买乙种商品相互独立,各顾客之间购买商品也是相互独立的.‎ ‎(1)求进入商场的1位顾客购买甲、乙两种商品中的一种的概率;‎ ‎(2)求进入商场的1位顾客至少购买甲、乙两种商品中的一种的概率;‎ ‎(3)用ξ表示进入商场的3位顾客中至少购买甲、乙两种商品中的一种的人数,求ξ的分布列.‎ 解析 记A表示事件:进入商场的1位顾客购买甲种商品,B表示事件:进入商场的1位顾客购买乙种商品,C表示事件:进入商场的1位顾客购买甲、乙两种商品中的一种,D表示事件:进入商场的1位顾客至少购买甲、乙两种商品中的一种.‎ ‎(1)∵C=A·+·B,‎ ‎∴P(C)=P(A·+·B)=P(A·)+P(·B)=P(A)·P()+P()·P(B)=0.5×0.4+0.5×0.6=0.5.‎ ‎(2)∵=·,‎ ‎∴P()=P(·)=P()·P()=0.5×0.4=0.2.‎ ‎∴P(D)=1-P()=0.8.‎ ‎(3)ξ~B(3,0.8),ξ的取值为0,1,2,3.‎ P(ξ=0)=0.23=0.008,‎ P(ξ=1)=C31×0.8×0.22=0.096,‎ P(ξ=2)=C32×0.82×0.2=0.384,‎ P(ξ=3)=0.83=0.512.‎ ξ的分布列为 ξ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P ‎0.008‎ ‎0.096‎ ‎0.384‎ ‎0.512‎ ‎1.(2013·江西)一位国王的铸币大臣在每箱100枚的硬币中各掺入了一枚劣币,国王怀疑大臣作弊,他用两种方法来检测.方法一:在10箱中各任意抽查一枚;方法二:在5箱中各任意抽查两枚.国王用方法一、二能发现至少一枚劣币的概率分别记为p1和p2.则(  )‎ 8‎ A.p1=p2 B.p1p2 D.以上三种情况都有可能 答案 B 解析 ∵p1=1-()10,p2=1-()5=1-()5,‎ ‎∴p1
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