2018年上海市崇明区高考数学一模试卷

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2018年上海市崇明区高考数学一模试卷

‎2018年上海市崇明区高考数学一模试卷 ‎ ‎ 一、填空题(本大题共有12题,满分54分,其中1-6题每题4分,7-12题每题5分)‎ ‎1.(4分)已知集合A={1,2,5},B={2,a},若A∪B={1,2,3,5},则a=   .‎ ‎2.(4分)抛物线y2=4x的焦点坐标为   .‎ ‎3.(4分)不等式<0的解是   .‎ ‎4.(4分)若复数z满足iz=1+i(i为虚数单位),则z=   .‎ ‎5.(4分)在代数式(x﹣)7的展开式中,一次项的系数是   .(用数字作答)‎ ‎6.(4分)若函数y=2sin(ωx﹣)+1(ω>0)的最小正周期是π,则ω=   .‎ ‎7.(5分)若函数f(x)=xa的反函数的图象经过点(,),则a=   .‎ ‎8.(5分)将一个正方形绕着它的一边所在的直线旋转一周,所得几何体的体积为27πcm3,则该几何体的侧面积为   cm2.‎ ‎9.(5分)已知函数y=f(x)是奇函数,当x<0 时,f(x)=2x﹣ax,且f(2)=2,则a=   .‎ ‎10.(5分)若无穷等比数列{an}的各项和为Sn,首项 a1=1,公比为a﹣,且 Sn=a,则a=   .‎ ‎11.(5分)从5男3女共8名学生中选出队长1人,副队长1人,普通队员2人组成 4人志愿者服务队,要求服务队中至少有 1 名女生,共有   种不同的选法.(用数字作答)‎ ‎12.(5分)在ABC中,BC边上的中垂线分别交BC,AC于点D,E.若•=6,||=2,则AC=   .‎ ‎ ‎ 二、选择题(本大题共有4题,满分20分)‎ ‎13.(5分)展开式为ad﹣bc的行列式是(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎14.(5分)设a,b∈R,若a>b,则(  )‎ A.< B.lga>lgb C.sin a>sin b D.2a>2b ‎15.(5分)已知等差数列{an}的公差为d,前n项和为Sn,则“d>0”是“S4+S6>2S5”的(  )‎ A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 ‎16.(5分)直线x=2与双曲线﹣y2=1的渐近线交于A,B两点,设P为双曲线上任一点,若=a+b(a,b∈R,O为坐标原点),则下列不等式恒成立的是(  )‎ A.a2+b2≥1 B.|ab|≥1 C.|a+b|≥1 D.|a﹣b|≥2‎ ‎ ‎ 三、解答题(本大题共有5题,满分76分)‎ ‎17.(14分)如图,长方体ABCD﹣A1B1C1D1中,AB=BC=2,A1C与底面ABCD所成的角为60°,‎ ‎(1)求四棱锥A1﹣ABCD的体积;‎ ‎(2)求异面直线A1B与 B1D1所成角的大小.‎ ‎18.(14分)已知f(x)=2sinxcosx+2cos2x﹣1.‎ ‎(1)求f(x)的最大值及该函数取得最大值时x的值;‎ ‎(2)在△ABC 中,a,b,c分别是角 A,B,C所对的边,若a=,b=,且f()=,求边c的值.‎ ‎19.(14分)2016 年崇明区政府投资 8 千万元启动休闲体育新乡村旅游项目.规划从 2017 年起,在今后的若干年内,每年继续投资 2 千万元用于此项目.2016 年该项目的净收入为 5 百万元,并预测在相当长的年份里,每年的净收入均为上一年的基础上增长50%.记 2016 年为第 1 年,f (n)为第 1 年至此后第 n (n∈N*)年的累计利润(注:含第 n 年,累计利润=累计净收入﹣累计投入,单位:千万元),且当 f (n)为正值时,认为该项目赢利.‎ ‎(1)试求 f (n)的表达式;‎ ‎(2)根据预测,该项目将从哪一年开始并持续赢利?请说明理由.‎ ‎20.(16分)在平面直角坐标系中,已知椭圆C:+y2=1 (a>0,a≠1)的两个焦点分别是F1,F2,直线l:y=kx+m(k,m∈R)与椭圆交于A,B两点.‎ ‎(1)若M为椭圆短轴上的一个顶点,且△MF1F2是直角三角形,求a的值;‎ ‎(2)若k=1,且△OAB是以O为直角顶点的直角三角形,求a与m满足的关系;‎ ‎(3)若a=2,且kOA•kOB=﹣,求证:△OAB的面积为定值.‎ ‎21.(18分)若存在常数k(k>0),使得对定义域D内的任意x1,x2(x1≠x2),都有|f(x1)﹣f(x2)|≤k|x1﹣x2|成 立,则称函数f(x)在其定义域 D上是“k﹣利普希兹条件函数”.‎ ‎(1)若函数f(x)=,(1≤x≤4)是“k﹣利普希兹条件函数”,求常数k的最小值;‎ ‎(2)判断函数f(x)=log2x 是否是“2﹣利普希兹条件函数”,若是,请证明,若不是,请说明理由;‎ ‎(3)若y=f(x)(x∈R )是周期为2的“1﹣利普希兹条件函数”,证明:对任意的实数x1,x2,都有 ‎|f(x1)﹣f(x2)|≤1.‎ ‎ ‎ ‎2018年上海市崇明区高考数学一模试卷 参考答案与试题解析 ‎ ‎ 一、填空题(本大题共有12题,满分54分,其中1-6题每题4分,7-12题每题5分)‎ ‎1.(4分)已知集合A={1,2,5},B={2,a},若A∪B={1,2,3,5},则a= 3 .‎ ‎【解答】解:∵集合A={1,2,5},B={2,a},‎ A∪B={1,2,3,5},‎ ‎∴a=3.‎ 故答案为:3.‎ ‎ ‎ ‎2.(4分)抛物线y2=4x的焦点坐标为 (1,0) .‎ ‎【解答】解:∵抛物线y2=4x是焦点在x轴正半轴的标准方程,‎ p=2∴焦点坐标为:(1,0)‎ 故答案为:(1,0)‎ ‎ ‎ ‎3.(4分)不等式<0的解是 (﹣1,0) .‎ ‎【解答】解:不等式<0,即 x(x+1)<0,求得﹣1<x<0,‎ 故答案为:(﹣1,0).‎ ‎ ‎ ‎4.(4分)若复数z满足iz=1+i(i为虚数单位),则z= 1﹣i .‎ ‎【解答】解:由iz=1+i,得z==1﹣i 故答案为:1﹣i.‎ ‎ ‎ ‎5.(4分)在代数式(x﹣)7的展开式中,一次项的系数是 21 ‎ ‎.(用数字作答)‎ ‎【解答】解:(x﹣)7的展开式的通项为=,‎ 由7﹣3r=1,得r=2,‎ ‎∴一次项的系数是.‎ 故答案为:21.‎ ‎ ‎ ‎6.(4分)若函数y=2sin(ωx﹣)+1(ω>0)的最小正周期是π,则ω= 2 .‎ ‎【解答】解:根据正弦函数的图象与性质,知 函数y=2sin(ωx﹣)+1(ω>0)的最小正周期是 T==π,解得ω=2.‎ 故答案为:2.‎ ‎ ‎ ‎7.(5分)若函数f(x)=xa的反函数的图象经过点(,),则a=  .‎ ‎【解答】解:若函数f(x)=xa的反函数的图象经过点(,),‎ 则:(,)满足f(x)=xα,‎ 所以:,‎ 解得:,‎ 故答案为:.‎ ‎ ‎ ‎8.(5分)将一个正方形绕着它的一边所在的直线旋转一周,所得几何体的体积为27πcm3,则该几何体的侧面积为 18π cm2.‎ ‎【解答】解:将一个正方形绕着它的一边所在的直线旋转一周,所得几何体是圆柱体,‎ 设正方形的边长为acm,则圆柱体的体积为 V=πa2•a=27π,‎ 解得a=3cm;‎ ‎∴该圆柱的侧面积为S=2π×3×3=18πcm2.‎ 故答案为:18π.‎ ‎ ‎ ‎9.(5分)已知函数y=f(x)是奇函数,当x<0 时,f(x)=2x﹣ax,且f(2)=2,则a= ﹣ .‎ ‎【解答】解:∵函数y=f(x)是奇函数,当x<0 时,f(x)=2x﹣ax,‎ ‎∴x>0时,﹣f(x)=2﹣x﹣a(﹣x),‎ ‎∴f(x)=﹣2﹣x﹣ax,‎ ‎∵f(2)=2,‎ ‎∴f(2)=﹣2﹣2﹣2a=2,‎ 解得a=﹣.‎ 故答案为:﹣.‎ ‎ ‎ ‎10.(5分)若无穷等比数列{an}的各项和为Sn,首项 a1=1,公比为a﹣,且 Sn=a,则a= 2 .‎ ‎【解答】解:无穷等比数列{an}的各项和为Sn,首项 a1=1,公比为a﹣,‎ 且 Sn=a,‎ 可得=a,即有=a,‎ 即为2a2﹣5a+2=0,‎ 解得a=2或,‎ 由题意可得0<|q|<1,‎ 即有0<|a﹣|<1,‎ 检验a=2成立;a=不成立.‎ 故答案为:2.‎ ‎ ‎ ‎11.(5分)从5男3女共8名学生中选出队长1人,副队长1人,普通队员2人组成 4人志愿者服务队,要求服务队中至少有 1 名女生,共有 780 种不同的选法.(用数字作答)‎ ‎【解答】解:根据题意,要求服务队中至少有 1 名女生,则分3种情况讨论:‎ ‎①、选出志愿者服务队的4人中有1名女生,有C53C31=30种选法,‎ 这4人选2人作为队长和副队有A42=12种,其余2人为普通队员,有1种情况,‎ 此时有30×12=360种不同的选法,‎ ‎②、选出志愿者服务队的4人中有2名女生,有C52C32=30种选法,‎ 这4人选2人作为队长和副队有A42=12种,其余2人为普通队员,有1种情况,‎ 此时有30×12=360种不同的选法,‎ ‎③、选出志愿者服务队的4人中有3名女生,有C51C33=5种选法,‎ 这4人选2人作为队长和副队有A42=12种,其余2人为普通队员,有1种情况,‎ 此时有5×12=60种不同的选法,‎ 则一共有360+360+60=780;‎ 故答案为:780.‎ ‎ ‎ ‎12.(5分)在ABC中,BC边上的中垂线分别交BC,AC于点D,E.若•=6,||=2,则AC= 4 .‎ ‎【解答】解:建立平面直角坐标系如图所示,‎ 设B(﹣a,0),C(a,0),E(0,b),∠ABC=α,‎ 由||=2,知A(﹣a+2cosα,2sinα),‎ ‎∴=(a﹣2cosα,b﹣2sinα),‎ ‎=(2a,0),‎ ‎∴•=2a(a﹣2cosα)+0=2a2﹣4acosα=6,‎ ‎∴a2﹣2acosα=3;‎ 又=(2a﹣2cosα,﹣2sinα),‎ ‎∴=(2a﹣2cosα)2+(﹣2sinα)2‎ ‎=4a2﹣8acosα+4‎ ‎=4(a2﹣2acosα)+4‎ ‎=4×3+4‎ ‎=16,‎ ‎∴||=4,即AC=4.‎ 故答案为:4.‎ ‎ ‎ 二、选择题(本大题共有4题,满分20分)‎ ‎13.(5分)展开式为ad﹣bc的行列式是(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎【解答】解:根据叫做二阶行列式,它的算法是:ad﹣bc,‎ 由题意得,=ad﹣bc.‎ 故选B.‎ ‎ ‎ ‎14.(5分)设a,b∈R,若a>b,则(  )‎ A.< B.lga>lgb C.sin a>sin b D.2a>2b ‎【解答】解:由a>b,利用指数函数的单调性可得:2a>2b.‎ 再利用不等式的性质、对数函数的定义域与单调性、三角函数的单调性即可判断出A,B,C不正确.‎ 故选:D.‎ ‎ ‎ ‎15.(5分)已知等差数列{an}的公差为d,前n项和为Sn,则“d>0”是“S4+S6>2S5”的(  )‎ A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 ‎【解答】解:∵S4+S6>2S5,‎ ‎∴4a1+6d+6a1+15d>2(5a1+10d),‎ ‎∴21d>20d,‎ ‎∴d>0,‎ 故“d>0”是“S4+S6>2S5”充分必要条件,‎ 故选:C ‎ ‎ ‎16.(5分)直线x=2与双曲线﹣y2=1的渐近线交于A,B两点,设P为双曲线上任一点,若=a+b(a,b∈R,O为坐标原点),则下列不等式恒成立的是(  )‎ A.a2+b2≥1 B.|ab|≥1 C.|a+b|≥1 D.|a﹣b|≥2‎ ‎【解答】解:双曲线﹣y2=1的渐近线为:y=±x.‎ 把x=2代入上述方程可得:y=±1.‎ 不妨取A(2,1),B(2,﹣1).‎ ‎=a+b=(2a+2b,a﹣b).‎ 代入双曲线方程可得:﹣(a﹣b)2=1,‎ 化为ab=.‎ ‎∴=ab,化为:|a+b|≥1.‎ 故选:C.‎ ‎ ‎ 三、解答题(本大题共有5题,满分76分)‎ ‎17.(14分)如图,长方体ABCD﹣A1B1C1D1中,AB=BC=2,A1C与底面ABCD所成的角为60°,‎ ‎(1)求四棱锥A1﹣ABCD的体积;‎ ‎(2)求异面直线A1B与 B1D1所成角的大小.‎ ‎【解答】解:(1)∵长方体ABCD﹣A1B1C1D1中,AB=BC=2,‎ ‎∴AA1⊥平面ABCD,AC==2,‎ ‎∴∠A1CA是A1C与底面ABCD所成的角,‎ ‎∵A1C与底面ABCD所成的角为60°,‎ ‎∴∠A1CA=60°,∴AA1=AC•tan60°=2•=2,‎ ‎∵S正方形ABCD=AB×BC=2×2=4,‎ ‎∴四棱锥A1﹣ABCD的体积:‎ V===.‎ ‎(2)∵BD∥B1D1,‎ ‎∴∠A1BD是异面直线A1B与B1D1所成角(或所成角的补角).‎ ‎∵BD=,A1D=A1B==2,‎ ‎∴cos∠A1BD===.‎ ‎∴∠A1BD=arccos.‎ ‎∴异面直线A1B与 B1D1所成角是arccos.‎ ‎ ‎ ‎18.(14分)已知f(x)=2sinxcosx+2cos2x﹣1.‎ ‎(1)求f(x)的最大值及该函数取得最大值时x的值;‎ ‎(2)在△ABC 中,a,b,c分别是角 A,B,C所对的边,若a=,b=,且f()=,求边c的值.‎ ‎【解答】解:f(x)=2sinxcosx+2cos2x﹣1=sin2x+cos2x=2sin(2x+)‎ ‎(1)当2x+=时,即x=(k∈Z),f(x)取得最大值为2;‎ ‎(2)由f()=,即2sin(A+)=‎ 可得sin(A+)=‎ ‎∵0<A<π ‎∴<A<‎ ‎∴A=或 ‎∴A=或 当A=时,cosA==‎ ‎∵a=,b=,‎ 解得:c=4‎ 当A=时,cosA==0‎ ‎∵a=,b=,‎ 解得:c=2.‎ ‎ ‎ ‎19.(14分)2016 年崇明区政府投资 8 千万元启动休闲体育新乡村旅游项目.规划从 2017 年起,在今后的若干年内,每年继续投资 2 千万元用于此项目.2016 年该项目的净收入为 5 百万元,并预测在相当长的年份里,每年的净收入均为上一年的基础上增长50%.记 2016 年为第 1 年,f (n)为第 1 年至此后第 n (n∈N*)年的累计利润(注:含第 n 年,累计利润=累计净收入﹣累计投入,单位:千万元),且当 f (n)为正值时,认为该项目赢利.‎ ‎(1)试求 f (n)的表达式;‎ ‎(2)根据预测,该项目将从哪一年开始并持续赢利?请说明理由.‎ ‎【解答】解:(1)由题意知,第1年至此后第n(n∈N*)年的累计投入为8+2(n﹣1)=2n+6(千万元),‎ 第1年至此后第n(n∈N*)年的累计净收入为+×+×+…+×‎ ‎=(千万元).‎ ‎∴f(n)=﹣(2n+6)=﹣2n﹣7(千万元).‎ ‎(2)方法一:∵f(n+1)﹣f(n)=[﹣2(n+1)﹣7]﹣[﹣2n﹣7]=[﹣4],‎ ‎∴当n≤3时,f(n+1)﹣f(n)<0,故当n≤4时,f(n)递减;‎ 当n≥4时,f(n+1)﹣f(n)>0,故当n≥4时,f(n)递增.‎ 又f(1)=﹣<0,f(7)=≈5×﹣21=﹣<0,f(8)=﹣23‎ ‎≈25﹣23=2>0.‎ ‎∴该项目将从第8年开始并持续赢利.‎ 答:该项目将从2023年开始并持续赢利;‎ 方法二:设f(x)=﹣2x﹣7(x≥1),则f′(x)=,‎ 令f'(x)=0,得=≈=5,∴x≈4.‎ 从而当x∈[1,4)时,f'(x)<0,f(x)递减;‎ 当x∈(4,+∞)时,f'(x)>0,f(x)递增.‎ 又f(1)=﹣<0,f(7)=≈5×﹣21=﹣<0,f(8)=﹣23≈25﹣23=2>0.‎ ‎∴该项目将从第8年开始并持续赢利.‎ 答:该项目将从2023年开始并持续赢利.‎ ‎ ‎ ‎20.(16分)在平面直角坐标系中,已知椭圆C:+y2=1 (a>0,a≠1)的两个焦点分别是F1,F2,直线l:y=kx+m(k,m∈R)与椭圆交于A,B两点.‎ ‎(1)若M为椭圆短轴上的一个顶点,且△MF1F2是直角三角形,求a的值;‎ ‎(2)若k=1,且△OAB是以O为直角顶点的直角三角形,求a与m满足的关系;‎ ‎(3)若a=2,且kOA•kOB=﹣,求证:△OAB的面积为定值.‎ ‎【解答】解:(1)∵M为椭圆短轴上的一个顶点,且△MF1F2是直角三角形,‎ ‎∴△MF1F2为等腰直角三角形,‎ ‎∴OF1=OM,‎ 当a>1时,=1,解得a=,‎ 当0<a<1时,=a,解得a=,‎ ‎(2)当k=1时,y=x+m,设A(x1,y1),(x2,y2),‎ 由,即(1+a2)x2+2a2mx+a2m2﹣a2=0,‎ ‎∴x1+x2=﹣,x1x2=,‎ ‎∴y1y2=(x1+m)(x2+m)=x1x2+m(x1+x2)+m2=,‎ ‎∵△OAB是以O为直角顶点的直角三角形,‎ ‎∴•=0,‎ ‎∴x1x2+y1y2=0,‎ ‎∴+=0,‎ ‎∴a2m2﹣a2+m2﹣a2=0‎ ‎∴m2(a2+1)=2a2,‎ ‎(3)证明:当a=2时,x2+4y2=4,‎ 设A(x1,y1),(x2,y2),‎ ‎∵kOA•kOB=﹣,‎ ‎∴•=﹣,‎ ‎∴x1x2=﹣4y1y2,‎ 由,整理得,(1+4k2)x2+8kmx+4m2﹣4=0.‎ ‎∴x1+x2=,x1x2=,‎ ‎∴y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=k2x1x2+km(x1+x2)+m2‎ ‎=++m2=,‎ ‎∴=﹣4×,‎ ‎∴2m2﹣4k2=1,‎ ‎∴|AB|=•=•‎ ‎=2•=‎ ‎∵O到直线y=kx+m的距离d==,‎ ‎∴S△OAB=|AB|d==•==1‎ ‎ ‎ ‎21.(18分)若存在常数k(k>0),使得对定义域D内的任意x1,x2(x1≠x2),都有|f(x1)﹣f(x2)|≤k|x1﹣x2|成 立,则称函数f(x)在其定义域 D上是“k﹣利普希兹条件函数”.‎ ‎(1)若函数f(x)=,(1≤x≤4)是“k﹣利普希兹条件函数”,求常数k的最小值;‎ ‎(2)判断函数f(x)=log2x 是否是“2﹣利普希兹条件函数”,若是,请证明,若不是,请说明理由;‎ ‎(3)若y=f(x)(x∈R )是周期为2的“1﹣利普希兹条件函数”,证明:对任意的实数x1,x2,都有 ‎|f(x1)﹣f(x2)|≤1.‎ ‎【解答】解:(1)若函数f(x)=,(1≤x≤4)是“k﹣利普希兹条件函数”,则对于定义域[1,4]上任意两个x1,x2(x1≠x2),均有|f(x1)﹣f(x2)|≤k|x1﹣x2|成立,‎ ‎ 不妨设x1>x2,则k≥=恒成立.‎ ‎∵1≤x2<x1≤4,∴<<,‎ ‎∴k的最小值为 .‎ ‎(2)f(x)=log2x的定义域为(0,+∞),‎ 令x1=,x2=,则f()﹣f()=log2﹣log2=﹣1﹣(﹣2)=1,‎ 而2|x1﹣x2|=,∴f(x1)﹣f(x2)>2|x1﹣x2|,‎ ‎∴函数f(x)=log2x 不是“2﹣利普希兹条件函数”.‎ 证明:(3)设f(x)的最大值为M,最小值为m,在一个周期[0,2]内f(a)=M,f(b)=m,‎ 则|f(x1)﹣f(x2)|≤M﹣m=f(a)﹣f(b)≤|a﹣b|.‎ 若|a﹣b|≤1,显然有|f(x1)﹣f(x2)|≤|a﹣b|≤1.‎ 若|a﹣b|>1,不妨设a>b,则0<b+2﹣a<1,‎ ‎∴|f(x1)﹣f(x2)|≤M﹣m=f(a)﹣f(b+2)≤|a﹣b﹣2|<1.‎ 综上,|f(x1)﹣f(x2)|≤1.‎ ‎ ‎
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