湖南省邵东县创新实验学校2019-2020学年高二上学期期中考试数学试题

湖南省邵东县创新实验学校2019-2020学年高二上学期期中考试数学试题

绝密★启用前 2019 年下学期创新高中期中考试 高二数学试卷 考试时间：120 分钟总分：150 分[来源:学科网 ZXXK] 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第 I 卷（选择题) 一、单选题（512=60) 1．（5 分）命题“若 ，则 ， ”的否命题为（） A．若 ，则 ， B．若 ，则 或 C．若 ，则 ， D．若 ，则 或 2．（5 分）已知偶函数 在 单调递增，则对实数 是 的 （ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分 条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（5 分）若命题 ： ， ，命题 ： ， .则下列命题中 是真命题的是（ ） A． B． C． D． 2 2 0x y+ = 0x = 0y = 2 2 0x y+ = 0x ≠ 0y ≠ 2 2 0x y+ = 0x ≠ 0y ≠ x y+ ≠2 2 0 0x = 0y = x y+ ≠2 2 0 0x ≠ 0y ≠ ( )f x )0, +∞ , ,a b a b> ( ) ( )f a f b> p 0x∃ ∈R 2 0 0 1 0x x− + ≤ q 0x∀ < x x> p q∧ ( )p q∧ ¬ ( )p q¬ ∧ ( ) ( )p q¬ ∧ ¬ 4．（5 分）《九章算术》中有一题：今有牛、马、羊食人苗.苗主责之粟五斗.羊主曰：“我羊食 半马.”马主曰：“我马食半牛.”今欲衰偿之，问各出几何.其意思是：今有牛、马、羊吃了别 人的禾苗，禾苗主人要求赔偿五斗粟.羊主人说：“我羊所吃的禾苗只有马的一半.”马主人说： “我马所吃的禾苗只有牛的一半.”若按此比例偿还，牛、马、羊的主人各应赔偿多少？设牛、 马、羊的主人分别应偿还 x 斗、y 斗、z 斗，则下列判断正确的是（ ） A．푦2 = 푥푧且푥 = 5 7 B．푦2 = 푥푧且푥 = 20 7 C．2푦 = 푥 + 푧且푥 = 5 7 D．2푦 = 푥 + 푧且푥 = 20 7 5．（5 分）设 ，且 ， ，则下列结论一定成立的是（ ） A． B． C． D． 6．（5 分）已知集合퐴 = {푥|푥2−푥−2 < 0}，퐵 = {푥|log1 2 푥⩾−1}，则퐴 ∩ 퐵 = （ ） A.(0,2) B. (−1,2) C.(0,2] D.(0,1) 7．（5 分）设变量 x，y 满足约束条件 ，则目标函数 的最大值为（ ） A．7 B．5 C．3 D．1 8．（5 分）记等差数列 的前 项和为 ，若 ，则 （ ） A.64 B.48 C.36 D.24 9．（5 分）“ ”是“方程 为椭圆”的（　　） A．充分不必要 条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不 必要条件 , , ,a b c d R∈ a b＞ c d＞ a c b d+ > + a c b d− > − ac bd> a b d c > 4 5 0 2 0 0 0 x y x y x y − + ≥  − + ≥ ≤  ≥ 2z y x= − { }na n nS 17 272S = 3 9 15a a a+ + = 2 6m< < 2 2 12 6 x y m m + =− − 10．（5 分）在 中，角 A，B，C 所对应的边分别为 a，b，c，如果 ， ， 的面积 ，那么 a 等于（ ） A. B.7 C. D.17 11．（5 分）已知数列 的前 项和 ，则数列 的前 10 项和等于（ ） A． B． C． D． 12．（5 分）在 中， ，则 的形状为（　　） A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等腰或直角三角形 D.等腰直角三角形 第 II 卷（非选择题) 二、填空题 13．（5 分）在 平面直角坐标系 xOy 中，已知点 A，F 分别为椭圆 C： (a＞b＞0) 的右顶点和右焦点，过坐标原点 O 的直线交椭圆 C 于 P，Q 两点，线段 AP 的中点为 M，若 Q，F，M 三点共线，则椭圆 C 的离心率为_______． 14．（5 分） 的内角 的对边分别为 ，若 ， ， ，则 ____． 15．（5 分）已知函数 与函数 的图像关于点 对称，则 ______. 16．（5 分）已知直线 被圆 截得的弦长为 ，则 的最大值为________. ABC∆ 60A = ° 3b = ABC∆ 3 32S = 7 17 { }na n 2 1n nS = − { }2log na 1023 55 45 35 ABC∆ cos cosa A b B= ABC∆ 2 2 2 2 1x y a b + = ABC∆ A B C、 、 a b c、 、 4cos 5A = 5cos 13C = 13a = b = ( )y f x= ( )lg 1y x= − ( )1,0 ( )f x = ( )6 0 0, 0ax by a b+ − = > > 2 2 2 4 0x y x y+ − − = 2 5 ab 三、解答题 17．（10 分）在 中，已知 ， ， .[来源:学+科+网 Z+X+X+K] （1）求 的长； （2）求 的值. [来源:学科网] 18．（12 分）设数列 满足 . （1）求 的通项公式； （2）求数列 的前 项和． 19．（12 分）已知椭圆 的左顶点为 ，右焦点为 ，过 作垂直于 轴的直线交该椭圆于 ， 两点，直线 的斜率为 . （Ⅰ）求椭圆的离心率； （Ⅱ）若 的外接圆在 处的切线与椭圆交另一点于 ，且 的面积为 ，求 椭圆的方程. 20．（12 分）函数 的图象过点 ，且相邻的 ABC∆ 3AC = 7cos 14B = 3A π= AB cos 6C π −   { }na 1 23 (2 1) 2na a n a n+ +…+ − = { }na 2 1 na n   +  2 2 2 2 1( 0)x y a ba b + = > > 1A 2F 2F x M N 1A M 1 2 1A MN∆ M D 2F MD∆ 12 7 ( ) ( )2sinf x xω ϕ= + 0,0 2 πω ϕ > < <   1 , 22      最高点与最低点的距离为 . （Ⅰ）求函数 的解析式； （Ⅱ）求 在 上的单调递增区间. 21．（12 分）设 ，命题 ： ， ，命题 ： ，满足 .[来源:学科网] （1）若命题 是真命题，求 的范围； （2） 为假， 为真，求 的取值范围. 22．（12 分）已知函数 ， . （Ⅰ）若 为偶函数，求 的值并写出 的增区间； （Ⅱ）若关于 的不等式 的解集为 ，当 时，求 的最小值； （Ⅲ）对任意的 ， ，不等式 恒成立，求实数 的取值范 围. 参考答案 1．D 2．D 3．C 4．B 5．A 6．A 7．C 8．B 9．B 10．A 11．C 12．C 13． 14．21. 15． 16． 17．（1） （2） 17 ( )f x ( )f x [ ]0,2 a R∈ q x R∀ ∈ 2 1 0x ax+ + > p [1,2]x∃ ∈ ( 1) 1 0a x− − > p q∧ a ( )p q¬ ∧ ( )p q¬ ∨ a 2 1 2 ( ) log ( 1)f x x= + 2( ) 6g x x ax= − + ( )g x a ( )g x x ( ) 0 ( ) 1 g x x − 1 [1, )x ∈ +∞ 2 [ 2,4]x ∈ − 1 2( ) ( )f x g x≤ a 1 3 ( )lg 1x− − 9 2 2AB = 3 21cos 6 14C π − =   （1）在 中，因为 ，所以 ， 所以 ， 又因为 ， 所以 ， 由正弦定理， ，所以 . （2）因为 ， 所以 ， 所以 . 18．（1） ；（2） （1）数列{an}满足 a1+3a2+…+（2n﹣1）an＝2n． n≥2 时，a1+3a2+…+（2n﹣3）an﹣1＝2（n﹣1）． ∴（2n﹣1）an＝2．∴an ． 当 n＝1 时，a1＝2，上式也成立． ∴an ． ABC∆ 7cos 14B = 0 2B π< < 2 3 21sin 1 cos 14B B= − = A B C π+ + = ( ) ( ) 21sin sin sin sin sin cos cos sin3 3 3 7C A B A B B B B π π ππ  = − + = + = + = + =       sin sin AB AC C B = sin 2sin ACAB CB = • = A B C π+ + = ( ) ( )cos cos cos cos 3C A B A B B ππ  = − + = − + = − +       2 7sin sin cos cos3 3 7B B π π= − = 3 21cos cos cos sin sin6 6 6 14C C C π π π − = + =   2 2 1n − 2 2 1 n n + 2 2 1n = − 2 2 1n = − （2） ． ∴数列{ }的前 n 项和 1 ． 19．（Ⅰ） ；（Ⅱ） . （Ⅰ）由题意可知： ，设 ，由题意可知：M 在第一象限，且 ， ， ， ； （Ⅱ）由（Ⅰ）, ，所以椭圆方程为： ，设 的外接圆的圆心坐标为 ，由 ，得 ，求得 ， ，切线斜率为： ，切线直线方程为 ，即 代入椭圆方程中,得 ， ， ， ， 到直线 的距离 ， 的面积为 ，所以有 2 1 1 2 1 (2 1)(2 1) 2 1 2 1 na n n n n n = = −+ − + − + 2 1 na n + 1 1 1 1 11 3 3 5 2 1 2 1n n      = − + − + + − =     − +      1 2 2 1 2 1 n n n − =+ + 1 2 2 2 116 12 x y+ = 1 2( ,0), ( ,0)A a F c− ( , )M x y 2 2 2 2 1 x c x y a b = + = 2 , bM c a  ∴    2 2 2 1 ( ) 2 b a c a ca a c a a c a − −∴ = = =+ + 2a c∴ = 1 2 ce a ∴ = = 2 2 2 2 2 24 3b a c c c c= − = − = ， 2 2 12 2 31, , , ( 2 ,0)4 3 2 x y M c c A cc c  + = −   1A MN∆ ( ,0)T t 1| | | |TA TM= 2 2 29( 2 ) ( ) 4t c t c c+ = − + 8 ct = − 3 42 3 8 TM c k cc ∴ = = + 3 4k = − 3 3 ( )2 4y c x c− = − − 3 4 9 0x y c+ − = 2 27 18 11 0x cx c− + = 2 2 2 218 4 7 11 16 0c c c∆ = − × × = > 11 25,7 14D D c cx y= = ( ) ( ) 2 2 2 2 11 15 3 5| | 7 14 2 7C D C D c c c cCD x x y y c   ∴ = − + − = − + − =       2F CD | 3 9 | 6 5 5 c c cd −= = 2F MD∆ 1 | |2S CD d= ⋅ ， ，椭圆方程为： . 20．（Ⅰ） ；（Ⅱ） 和 . 解：（Ⅰ）函数 的周期 ， 把坐标 代入得 ， 又 ， ， （Ⅱ）令 解得 [来源:Zxxk.Com] 在 上的单调递增区间是 和 21．(1) . (2) 或 . 解：（1）p 真，则 或 得 ； q 真，则 a2﹣4＜0，得﹣2＜a＜2， ∴p∧q 真， ． （2）由（￢p）∧q 为假，（￢p）∨q 为真⇒p、q 同时为假或同时为真， 212 1 5 6 3 7 2 7 5 7 c c c= × × = 2 4c∴ = 2 2 116 12 x y+ = ( ) 2sin( )4f x x ππ= + 1[0, ]4 5[ ,2]4 ( )f x =2 17-16=2T =ω π∴ 1( , 2)2 2sin( ) 22 π ϕ+ = 2cos 2 ϕ∴ = 0 2 πϕ< < 4 πϕ∴ = ( ) 2sin( )4f x x ππ∴ = + 2 2 ,2 4 2k x k k Z π π ππ π π− ≤ + ≤ + ∈ 3 12 2 ,4 4k x k k Z− ≤ ≤ + ∈ [0,2]x∈Q ( )f x∴ [ ]0,2 1[0, ]4 5[ ,2]4 3 22 a< < 2a ≤ − 3 22 a< < 若 p 假 q 假，则 ，⇒a≤﹣2， 若 p 真 q 真，则 ，⇒ 综上 a≤﹣2 或 ． 22．(1) ；增区间 . (2) 的最小值为 ，取“ ”时 . (3) . 解：（Ⅰ） 为偶函数， ，即 ，解得 . 所以，函数 ，对称轴 ，增区间 （Ⅱ）由题知 ∴ 又∵ ，∴ ∴ ， 即 的最小值为 ，取“ ”时 （Ⅲ）∵ 时， 0a = ( )0, ∞+ ( ) 1 g x x − 2 2 3− = 2 1x = + 11 2 72 a− ≤ ≤  ( )g x ∴ ( ) ( )g x g x− = 2 2( ) 6 6x ax x ax− + + = − + 0a = 2( ) 6g x x= + 0x = ( )0,+∞ 2 3 5a = + = ( ) ( )2 5 6 21 31 1 1 g x x x xx x x − += = − + −− − − 1x > ( ) 21 3 2 2 31x x − + − ≥ −− ( ) 2 2 31 g x x ≥ −− ( ) 1 g x x − 2 2 3− = 2 1x = + 1x ≥ ( ) ( )2 1 2 log 1 1f x x= + ≤ − ∴ 在 恒成立 记 ，（ ） ①当 时， 由 ，∴ ②当 时， 由 ，∴ ③当 时， 由 ， 综上所述， 的取值范围是 2 6 1x ax− + ≥ − [ ]2,4x∈ − ( ) 2 7F x x ax= − + 2 4x− ≤ ≤ 4a ≤ − ( ) ( )min 2 2 11F x F a= − = + 112 11 0 2a a+ ≥ ⇒ ≥ − 11 42 a− ≤ ≤ − 4 8a− < < ( ) 2 min 72 4 a aF x F  = = − +   2 7 0 2 7 2 74 a a− + ≥ ⇒ − ≤ ≤ 4 2 7a− < ≤ 8a ≥ ( ) ( )min 4 4 23F x F a= = − + 234 23 0 4a a− + ≥ ⇒ ≤ a∈∅ a 11 2 72 a− ≤ ≤