新课标高二数学同步测试(6)

新课标高二数学同步测试(6)

新课标高二数学同步测试（6）—（期中测试题 2－1） 说明：本试卷分第一卷和第二卷两部分，第一卷 74 分，第二卷 76 分，共 150 分；答题 时间 120 分钟． 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代 号填在题后的括号内（每小题 5 分，共 50 分）． 1．判断下面命题的真值“如果明天太阳从西边出来，那么我就去死” （ ） A．假命题 B．真命题 C．不是命题 D．可真可假 2．若中心在原点，焦点在坐标上的椭圆短轴端点是双曲线 y2－x2=1 的顶点，且该椭圆的离 心率与此双曲线的离心率的乘积为 1，则该椭圆的方程为 （ ） A． 2 2x +y2=1 B． 2 2y +x2=1 C． 4 2x +y2=1 D． 4 2y +x2=1 3．已知点 M 在平面 ABC 内，并且对空间任一点O ， OCOBOAxOM 3 1 2 1  则 x 的值为 （ ） A． 6 1 B． 3 1 C． 2 1 D．0 4．双曲线 x2－ay2＝1 的焦点坐标是 （ ） A．( a1 , 0) , (－ , 0) B．( a1 , 0), (－ a1 , 0) C．（－ a a 1 , 0）,（ , 0） D．(－ a a 1 , 0), ( , 0) 5．设双曲线的焦点在 x 轴上,两条渐近线为 1 2yx ,则该双曲线的离心率 e （ ） A．5 B． 5 C． 5 2 D． 5 4 6．在下列四个命题中 ①已知 A、B、C、D 是空间的任意四点，则 0 DACDBCAB ． ②若{ cba ,, }为空间的一组基底，则{ accbba  ,, }也构成空间的一组基底． ③ |||||||)(| cbacba  ． ④对于空间的任意一点 O 和不共线的三点 A、B、C，若 OCzOByOAxOP  （其中 Rzyx ,, ），则 P、A、B、C 四点共面． 其中正确的个数是 （ ） A．３ A．２ C．１ D．０ 7．设 a∈R，则 a>1 是 a 1 <1 的 （ ） A．充分但不必要条件 B．必要但不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 8．设原命题：若a+b≥2，则 a,b 中至少有一个不小于1．则原命题与其逆命题的真假情况是（ ） A．原命题真，逆命题假 B．原命题假，逆命题真 C．原命题与逆命题均为真命题 D．原命题与逆命题均为假命题 9．在正方体 AC1 中, M 为棱 DD1 的中点, O 为底面 ABCD 的中心, P 为棱 A1B1 上任意一点, 则 直线 OP 与 AM 所成的角为 （ ） A．30° B．60° C．90° D．120° 10．如图,在正方体 ABCD－A1B1C1D1 中,P 是侧面 BB1C1C 内一动点,若 P 到 直线 BC 与直线 C1D1 的距离相等,则动点 P 的轨迹所在的曲线是（ ） A．直线 B．圆 C．双曲线 D．抛物线 二、填空题：请把答案填在题中横线上（每小题 6 分，共 24 分）． 11．若方程 x2－mx+2m=0 有两个大于 2 的根的充要条件是 ． 12．对于曲线 C∶ 14 22  k y k x =1，给出下面四个命题： ①由线 C 不可能表示椭圆； ②当 1＜k＜4 时，曲线 C 表示椭圆； ③若曲线 C 表示双曲线，则 k＜1 或 k＞4; ④若曲线 C 表示焦点在 x 轴上的椭圆，则 1＜k＜ 2 5 其中所有正确命题的序号为_______ ______. 13．已知四棱锥 P-ABCD 的底面为平行四边形, BD⊥AD, BD=2 3 , 又 PD⊥底面 ABCD, 二 面角 P－BC－A 为 60°, 则直线 AD 到平面 PBC 的距离为 . 14．直三棱柱 ABC-A1B1C1 中, ∠A1B1C1=90°, 且 AB=BC=BB1, E, F 分别是 AB, CC1 的中点, 那么 A1C 与 EF 所成的角的余弦值为 ． 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤（共 76 分）． 15．（ 12 分）写出下列命题的否命题： （1）若 0m ，则关于 x 的方程 02  mxx 有实数根； （2）若 x，y 都是奇数，则 x+y 是奇数； （3）若 abc=0，则 a，b，c 中至少有一个为 0； （4）当 c>0 时，若 a>b，则 ac>bc． 16．（ 12 分）如图，正方形 ACDE 与等腰直角△ACB 所在的平面互相垂直，且 AC=BC=2， ACB=90， F、G 分别是线段 AE、BC 的中点． 求 AD 与GF 所成的角的大小． 17．（ 12 分）设椭圆方程为 4 2 2 yx  =1，求点 M（0，1）的直线 l 交椭圆于点 A、B，O 为坐 标原点，点 P 满足   )(2 1 OBOAOP ，当 l 绕点 M 旋转时，求动点 P 的轨迹方程. E G F A B C D A B C D O S x y z 18．（ 12 分）如图，正四棱锥 S ABCD 的高 2SO  ，底边长 2AB  ．求异面直线 BD 和 SC 之间的距离． 19．（ 12 分）如图，正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，点 E 是棱 BC 的中点，点 F 是棱 CD 上的 动点． （Ⅰ）试确定点 F 的位置，使得 D1E⊥平面 AB1F； （Ⅱ）当 D1E⊥平面 AB1F 时，求二面角 C1―EF―A 的大小（结果用反三角函数值表示） 及 BA1 与面 C1EF 所成的角的大小． E A B C D A1 B1 C1 D 1 20．（14 分）若 F1、F2 分别为双曲线 y2 a2－x2 b2＝1 下、上焦点，O 为坐标原点，P 在双曲线 的下支上，点 M 在上准线上，且满足： 2F O MP ， 11 1 11 () | | | | F P FOFM F P FO ( >0)． （1）求此双曲线的离心率； （2）若此双曲线过 N( 3，2)，求此双曲线的方程 （3）若过 N( 3，2)的双曲线的虚轴端点分别 B1，B2(B2 在 x 轴正半轴上)，点 A、B 在 双曲线上，且 22B A B B ，求 11B A B B 时，直线 AB 的方程． 参考答案 一、 1．A；解析：命题的条件一定为假，不可能成立；故原命题一定为假． 2．A；解析：由双曲线 y2－x2=1 的顶点坐标为 )1,0(  ，可得椭圆的 b=1，在有双曲线的离心 率为 21 11  ，从而得到椭圆的离心率为 2 2 ，可得 2a ，所以选项为 A． 3．A；解析：四点 M、A、B、C 共面，使得 OCOBOAxOM 3 1 2 1  中 13 1 2 1 x ， 从而可得 6 1x ． 4．C；解析：将双曲线方程 x2－ay2＝1 化为标准方程 11 2 2  a yx ，从而可得半焦距为 a a a  111 ，可得答案． 5．C；解析：由于焦点在 x 轴上的取向的渐近线方程 xa by  为 1 2yx ，可得 2 1a b ， 222 cba  ，可得 a ce  的值． 6．B；解析：正确的为①②；而命题③中 cbacba  |cos||||||)(|  ，左边应为一个数乘的 形式，右边则成了实数；命题④成立时当且仅当 1 zyx 时成立． 7．A；提示： 100111  aaa a a 或 ； 8． A；提示：举例：a=1.2，b=0.3，则 a+b=1.5<2，∴逆命题为假． 9．C； 10．D； 二、 11． 8m ；解析：方程两根 x2－mx+2m=0 都大于 2，构造函数 f(x)= x2－mx+2m,结合原题 意可得：          0)2( 22 0 f a b ，即可得到正确结果． 12．③④；解析：由椭圆和双曲线方程的定义易得． 13．3； 14． 3 22 ； 三、 15．解：（1）若 0m ，则关于 x 的方程 02  mxx 无实数根； （2）若 x，y 不都是奇数，则 x+y 不是奇数； （3）若 abc≠0，则 a，b，c 中都不为 0； （4）当 c>0 时，若 a≤b，则 ac≤bc． 16．解：如图，正方形 ACDE 与等腰直角△ACB 所在的 平面互相垂直，且 AC=BC=2， ACB=90， F、G 分别是线段 AE、BC 的中点． 求 AD 与GF 所成的角的大小． 分析提示：以 C 为原点建立空间直角坐标系 C—xyz A（0，2，0） B（2，0，0） D（0，0，2） G（1，0，0） F（0，2，1） (0, 2,2)AD  ( 1,2,1)GF  | | 2 2AD  | | 6GF  2AD GF   3cos , 6| | | | AD GFAD GF AD GF      与 所成的角的大小为 3cos 6arc ． 17．解：设 P（x，y）是所求轨迹上的任一点， ①当斜率存在时，直线 l 的方程为 y=kx+1，A（x1，y1）， B（x2，y2）， 4x2+y2－4=0 由 得： y=kx+1 （4+k2）x2+2kx－3=0， x1+x2=－ ,4 2 2k k  y1+y2= 24 8 k ， 由 )(2 1   OBOAOP 得： （x，y）= 2 1 （x1+x2，y1+y2）， 即：           2 21 2 21 4 4 2 42 k yyy k kxxx 消去 k 得：4x2+y2－y=0 当斜率不存在时，AB 的中点为坐标原点，也适合方程 E G F A B C D A B C D O S x y z 所以动点 P 的轨迹方程为：4x2+y2－y= 0． 18．分析：建立如图所示的直角坐标系，则 22( , ,0)22A  ， 22( , ,0)22B ， 22( , ,0)22C  ， 22( , ,0)22D  ， (0,0,2)S ． ( 2, 2,0)DB ， 22( , ,2)22CS  ． 令向量 ( , ,1)n x y ，且 ,n DB n CS，则 0 0 n DB n CS    ， ( , ,1) ( 2, 2,0) 0 22( , ,1) ( , ,2) 022 xy xy      ， 0 2 2 0 xy xy     ， 2 2 x y    ， ( 2, 2,1)n   ． 异面直线 BD 和 SC 之间的距离为： OC n d n   22( , ,0) ( 2, 2,1)22 ( 2, 2,1)      2 2 2 1 1 0 25 5( 2) ( 2) 1     ． 19．解：（1）以 A 为原点，直线 AB、AD、AA1 为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系， 不妨设正方体的棱长为 1，且 xDF  ，则 )0,1,0(),0,0,1(),000()1,0,0(1 DBAA ，，， )0,1,(),0,2 1,1()1,1,0(),1,0,1( 11 xFEDB 于是 )0,1,(),1,0,1(),1,2 1,1( 11 xAFABED  由 AFEDABEDFABED  11111 且面 于是 00 111  AFEDABED 与 ，可解得 2 1x 所以当点 F 是 CD 的中点时， FABED 11 平面 （2）当 时，F 是 CD 的中点， )0,1,2 1(F 平面 AEF 的一个法向量为 )1,0,0(m 而在平面 C1EF 中， )0,2 1,2 1(),1,2 1,0(1  EFEC 所以平面 C1EF 的一个法向量为 )1,2,2( n 3 1,cos  nm ， 3 1arccos,  nm 又因为当把 m , n 都移向这个二面角内一点时， 背向平面 AEF，而 指向平面 C1EF 故二面角 C1―EF―A 的大小为 3 1arccos 又 )1,0,1(1 BA ,  nBA ,cos 1 2 2 , 所以 0 1 135,  nBA BA1 与平面 C1EF 所成的角的大小为 045 ． 20．解：(1) 2F O MP 1OF MP，∴PF1OM 为平行四边形， 又 11 1 11 () | | | | F P FOFM F P FO 知 M 在∠PF1O 的角平分线上， ∴四边形 PF1OM 为菱形，且边长为 11||PF FO ＝c ∴ 2||PF ＝2a+ 1||PF ＝2a+c，由第二定义|PF2| |PM|＝e 即2a+c c ＝e，∴2 e+1＝e 且 e>1 ∴e=2 (2)由 e=2，∴c=2a 即 b2=3a2，双曲线方程为 y2 a2－ x2 3a2＝1 又 N( 3，2)在双曲线上，∴4 a2－ 3 3a2＝1，∴a2＝3∴双曲线的方程为y2 3－x2 9＝1…7 分 (3)由 22B A B B 知 AB 过点 B2，若 AB⊥x 轴，即 AB 的方程为 x=3，此时 AB1 与 BB1 不垂直；设 AB 的方程为 y=k(x－3)代入y2 3－x2 9＝1 得 (3k2－1)x2－18k2x+27k2－9=0 由题知 3k2－1≠0 且△>0 即 k2> 1 6且 k2≠1 3， 设交点 A(x1，y1)，B(x2，y2)， 1BA＝(x1+3，y1)， 1BB＝(x2+3，y2)， ∵ 11B A B B ，∴ 11B A B B ＝0 即 x1x2+3(x1+x2)+9+y1y2＝0 此时 x1+x2＝ 18k2 3k2－1，x1·x2=9， y1y2＝k2(x1－3) (x2－3)＝k2[x1x2－3(x1+x2)+9]= k2[18－ 54k2 3k2－1]＝－ 18k2 3k2－1 ∴9＋3 18k2 3k2－1＋9－ 18k2 3k2－1＝0，∴5 k2＝1，∴k＝± 5 5 ∴AB 的方程为 y=± 5 5 (x－3) .