2020届甘肃省武威第六中学高三上学期第五次过关考试数学（文）试题（解析版）

2020届甘肃省武威第六中学高三上学期第五次过关考试数学（文）试题（解析版）

2020 届甘肃省武威第六中学高三上学期第五次过关考试数学 （文）试题 一、单选题 1．已知 R 是实数集， 或 , ,，则 ( ) A．（1，2） B．[0，2] C． D．[1，2] 【答案】B 【解析】化简集合 N，然后进行交补运算即可. 【详解】 M＝（﹣∞，0）∪（2，+∞）． 则∁RM＝[0，2]． 又 N＝{y|y }＝[0，+∞）． 所以 N∩∁RM＝[0，2]∩[0，+∞）＝[0，2]． 故选：B． 【点睛】 本题考查了交、补集的混合运算，考查了不等式的解法，考查了无理函数值域的求法， 是基础的运算题． 2．设 为虚数单位，复数 ，则 的共轭复数 =( ) A． B． C． D． 【答案】C 【解析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案． 【详解】 ∵z ， ∴ ． 故选：C． 【点睛】 本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题． 3．已知 ，则向量 的夹角为 { | 0M x x= < 2}x > { | 1}N y y x= = − RN C MÇ = ∅ 1x= − i 3 iz i −= z z 1 3i− − 1 3i− 1 3i− + 1 3i+ ( )( ) ( ) 33 1 3i ii ii i i − −−= = = − −⋅ − 1 3z i= − + 1, 2, 2 5a b a b= = − =   ,a b A． B． C． D． 【答案】C 【解析】根据条件求出 ，然后再根据数量积的定义求解可得两向量的夹角． 【详解】 ∵ ， ∴ ， 又 ， ∴ ， ∴ ． 设向量 的夹角为 ，则 ， 又 ， ∴ ． 故选 C． 【点睛】 求两向量的夹角时应先求出两向量的数量积，然后再根据公式求解，但在解题中要注意 两向量夹角的取值范围，否则出现错误． 4．下列命题中，真命题是（ ） A． B． C．若 ，则 D． 是 的充分不必要条件 【答案】D 【解析】试题分析：因 ，故 ,所以 是 的充分条件.反之,若 故,则 就不成立了,故应选 D. 【考点】充分必要条件． 5．已知 m，n 是两条不同直线，α ，β ，γ 是三个不同平面，下列命题中正确的是( ) A．若 m∥α ，n∥α ，则 m∥n B．若 m⊥α ，n⊥α ，则 m∥n C．若α ⊥γ ，β ⊥γ ，则α ∥β D．若 m∥α ，m∥β ，则α ∥β 【答案】B 6 π 3 π 4 π 2 π a b  2 5a b− = ( )2 2 22 4 4 5a b a a b b− = − + =      1, 2a b= = 1 4 4 2 5a b− + × =  1a b =  ,a b θ 2cosθ 2| | a b a b = =     0 θ π≤ ≤ θ 4 π= 【解析】A 根据线面平行的性质判断．B 利用线面垂直的性质判断．C 利用面面垂直的 性质定理判断．D 利用线面平行和面面平行的判定定理判断． 【详解】 解：A．平行于同一平面的两条直线不一定平行，可能相交，可能异面，∴A 错误． B．垂直于同一平面的两条直线平行，∴B 正确． C．垂直于同一平面的两个平面不一定平行，可能相交，∴C 错误． D．平行于同一条直线的两个平面的不一定平行，可能相交，∴D 错误． 故选：B． 【点睛】 本题主要考查空间直线和平面平行或垂直的位置关系的判断，要求熟练掌握相应的判定 定理和性质定理． 6．将函数 的图象向右平移 个单位长度，则平移后的图象对称中心 为（） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】根据三角函数的图象平移关系求出函数的解析式，结合函数的对称性进行求解 即可． 【详解】 解：将函数 y＝sin（2x ）的图象向右平移 个单位长度， 得 y＝sin[2（x ） ]＝sin（2x ）＝sin（2x ）， 由 2x kπ，得 x ， 即对称中心为（ ，0），k∈Z， 故选：C． 【点睛】 本题主要考查三角函数的图象和性质，根据平移关系求出函数的解析式是解决本题的关 键． sin(2 )12y x π= + 6 π ( ),02 8 k k Z π π − ∈   ( ,0)( )2 6 k k Z π π− ∈ ( ,0)( )2 8 k k Z π π+ ∈ ( ,0)( )2 6 k k Z π π+ ∈ 12 π+ 6 π 6 π− 12 π+ 3 12 π π− + 4 π− 4 π− = 2 8 kπ π= + 2 8 kπ π+ 7．设 x，y 满足约束条件 则 z＝2x＋y 的最小值是（ ） A．－15 B．－9 C．1 D．9 【答案】A 【解析】先作可行域，再根据目标函数所表示的直线，结合图象确定最优解. 【详解】 作出不等式组表示的可行域，结合目标函数的几何意义得函数在点 B(－6，－3)处取得 最小值 zmin＝－12－3＝－15. 故选：A 【点睛】 本题考查利用可行域求最值，考查数形结合思想方法以及基本分析求解能力，属基础题. 8．榫卯（ ）是我国古代工匠极为精巧的发明，它是在两个构件上采用凹凸部 位相结合的一种连接方式. 我国的北京紫禁城，山西悬空寺，福建宁德的廊桥等建筑都 用到了榫卯结构. 图中网格小正方形的边长为 1，粗实线画出的是一种榫卯构件中榫的 三视图，则其体积与表面积分别为 A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由三视图可知，这榫卯构件中榫由一个长方体和一个圆柱拼接而成，故其体积 2 3 3 0 2 3 3 0 3 0 x y x y y + − ≤  − + ≥  + ≥ sun mao ( ) 24 52 34 52π π+ +， 24 52 36 54，π π+ + 24 54 36 54π π+ +， 24 54 34 52π π+ +， ，表面积 ，故选 C. 【方法点睛】本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维 能力，属于难题.三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察 三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长 对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的 影响. 9．若函数 在区间 上单调递增，且 ， ，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】先求得复合函数 f（x）的增区间为（ ，2），可得 a≤2，再结合 c＜b＜0， 可得 a、b、c 的大小关系． 【详解】 解：令 2+x﹣x2＞0，求得﹣1＜x＜2， 可得函数 f（x）＝log0.2（2+x﹣x2）的定义域为（﹣1，2）． 结合二次函数的性质、复合函数的单调性可得 f（x）的增区间为（ ，2），减区间为 （﹣1， ）． 又函数 f（x）在区间（a，a+1）上单调递增，∴a ，且 a+1≤2，求得 a≤1． 又 b＝f（ ） 0，c＝f（ ） b， ∴c＜b＜a， 故选：A． 【点睛】 本题主要考查二次函数、对数函数的定义域和单调性，复合函数的单调性规律，属于中 档题． 10．若某正四面体内切球的体积为 ，则正四面体外接球的表面积为（） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】首先求出内切球的半径，进一步利用球的接与切，求出三棱锥的棱长，最后确 0 B∴ ∉ 22 3 2 3 6 4 3 2 2 2 3 54 36S π π π= × × + × × × + × × + × × = + ( ) ( )2 0.2log 2f x x x= + − ( ), 1a a + 1 2b f  = −   1 2c f  =    c b a< < b c a< < a b c< < b a c< < 1 2 1 2 ≤ 1 2 1 2 1 2 ≥ 1 2 ≤ 1 2 − 0.2 5 4log= ＜ 1 2 0.2 0.2 9 5 4 4log log= =＜ 4 3 π 4π 16π 36π 64π 定外接球的半径，进一步求出球的表面积． 【详解】 解：如图所示 由于正四面体的内切球体积为 ， 所以： ， 解得：r＝1． 设正四面体的棱长为 2x，即：AB＝BC＝CD＝BD＝AD＝2x， 所以：FD ， 利用勾股定理： ， 所以：在直角三角形 AEO 中，AE2+OE2＝AO2， 即： ， 解得：x ， 所以：AF ， 则：AO＝4﹣1＝3， 即外接球的半径为 3， 所以 S＝4π•32＝36π． 故选：C． 【点睛】 本题考查的知识要点：三棱锥的外接球与内切球的关系，球的体积和表面积的公式的应 4 3 π 34 4 3 3 r π π= 2 22 2 343 3 xx x= − = 2 2 22 3 24 2 64 ( )3 9 3 x x xAF x= − = = 2 22 6 2 3( 1) 1 ( )3 3 x x− = + 6= 2 6 43 x= = 用． 11．已知等差数列 的前 项和为 ， ， ，则 取最大值时的 为 A．4 B．5 C．6 D．4 或 5 【答案】B 【解析】由 为等差数列，所以 ，即 ， 由 ，所以 ， 令 ，即 ， 所以 取最大值时的 为 ， 故选 B． 12．设 ，当 时， 恒成立，则实数 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】根据题意，分析可得函数 f（x）为奇函数且在 R 为增函数，进而 f（msinθ）+f （1﹣m）＞0 恒成立可以转化为 msinθ＞m﹣1，对 θ 的值分情况讨论，求出 m 的取值范 围，综合即可得答案． 【详解】 解：根据题意，f（x）＝2x﹣sinx， 有 f（﹣x）＝2（﹣x）﹣sin（﹣x）＝﹣（2x﹣sinx）＝﹣f（x），则函数 f（x）为奇函 数， 又由 f（x）＝2x﹣sinx，则 f′（x）＝2﹣cosx＞0，则函数 f（x）在 R 上为增函数， 若 f（msinθ）+f（1﹣m）＞0 恒成立，则有 f（msinθ）＞﹣f（1﹣m） 即 f（msinθ）＞f（m﹣1）恒成立， 而函数 f（x）为增函数， 则有 msinθ＞m﹣1， 若 θ ，则 sinθ＝1，此时 msinθ＞m﹣1 恒成立； 若 0 时，此时 msinθ＞m﹣1 转化为 m ，分析可得 m＜1， 综合可得：m 的取值范围是（﹣∞，1）； { }na n nS 1 9a = 9 5 49 5 S S− = − nS n { }na 9 5 5 3 2 49 5 S S a a d− = − = = − 2d = − 1 9a = 2 11na n= − + 2 11 0na n= − + < 11 2n > nS n 5 ( ) 2 sinf x x x= − 0 2 πθ≤ ≤ ( sin ) (1 ) 0f m f mθ + − > m (0,1) ( ,0)−∞ 1( , )2 −∞ ( ,1)−∞ 2 π= 2 πθ≤ ＜ 1 1 sinθ−＜ 故选：D． 【点睛】 本题考查函数的单调性与奇偶性的综合应用，涉及函数的恒成立问题，属于中档题． 二、填空题 13．等比数列{an}中，若 ， ，则 ____________ 【答案】135 【解析】根据等比数列{an}的性质可知，S2，S4﹣S2，S6﹣S4，S8﹣S6 成等比数列，进而 根据 a1+a2 和 a3+a4 的值求得此新数列的首项和公比，进而利用等比数列的通项公式求 得 S8﹣S6 的值． 【详解】 解：利用等比数列{an}的性质有 S2，S4﹣S2，S6﹣S4，S8﹣S6 成等比数列， ∴S2＝40，S4﹣S2＝a3+a4＝60，则 S6﹣S4＝90，S8﹣S6＝135 故 a7+a8＝S8﹣S6＝135． 故答案为：135． 【点睛】 本题主要考查等比数列的定义和性质，利用了 S2、S4﹣S2、S6﹣S4、S8﹣S6 也成等比数 列，属于中档题． 14．若 ,则 的值为______. 【答案】 【解析】分析：首先将题中的条件应用和角公式展开，求得 ，结合 式子的特征，将其平方，借同角正余弦平方和等于 1 从而求得 的值，即 的值. 详解：根据 ，可知 ，可知 ，即 ，故答案是 . 点睛：该题所考查的知识点有余弦的和角公式，以及 两者和、差、积是知 一求二的，再结合正弦倍角公式从而求得结果，在求解时需要做的就是平方运算. 1 2 40a a+ ＝ 3 4 60a a+ ＝ 7 8a a+ ＝ 1cos( )4 3 πα + = sin 2α 7 9 2cos sin 3 α α− = 2sin cosα α sin 2α 2 1cos( ) (cos sin )4 2 3 πα α α+ = − = 2cos sin 3 α α− = 21 2cos sin 9 α α− = 7sin 2 9 α = 7 9 sin ,cosα α 15．在 中， 对边分别为 若 ， ， ， 则 __． 【答案】 或 【解析】直接利用正弦定理和三角形的三边关系求出结果． 【详解】 △ABC 中，A、B、C 对边分别为 a、b、c，若 a＝8，b＝6，sinB ， 则直接利用正弦定理： ， 解得： ， 由于：0＜A＜π， 所以：A 或 ， 由于 ， 所以： ， 由于 a＞b， 所以：A＞B． 故 A 或 ， 故答案为： 或 ． 【点睛】 本题考查的知识要点：正弦定理的应用，三角形三边关系的应用． 16．函数 满足 ，且在区间 上， 则 的值为____． 【答案】 【解析】分析：先根据函数周期将自变量转化到已知区间，代入对应函数解析式求值， ABC∆ A B C、 、 ， a b c、 、 ， 8a = 6b = 3 3sin 8B = A∠ = 3 π 2 3 π 3 3 8 = a b sinA sinB = 3 2sinA = 3 π= 2 3 π 3 3 1 8 2sinB = ＞ 6B π＞ 3 π= 2 3 π 3 π 2 3 π ( )f x ( 4) ( )( )f x f x x R+ = ∈ ( 2,2]− cos ,0 2,2( ) 1 , 2 0,2 x x f x x x π < ≤=   + − < ≤ ( (15))f f 2 2 再代入对应函数解析式求结果. 详解：由 得函数 的周期为 4，所以 因此 点睛：(1)求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该 段的解析式求值，当出现 的形式时，应从内到外依次求值.(2)求某条件下自变 量的值，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切 记代入检验，看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围. 三、解答题 17．已知公差不为 0 的等差数列 的首项 且 成等比数列. （1）求数列 的通项公式; （2）设 是数列 的前 项和,求使 成立的最大的正 整数 . 【答案】（Ⅰ） ， .（Ⅱ） . 【解析】试题分析：（1）设数列 的公差为 ，由 ， ， 成等比 数列，得 ，解得 . 从而求得 . （2）由（1） ， 得 ，解得 . 故最大的正整数 . 试题解析：（Ⅰ）设数列 的公差为 ，则 ， . 由 ， ， 成等比数列，得 ， 即 ，得 （舍去）或 . 所以数列 的通项公式为 ， . （Ⅱ）因为 ， ( 4) ( )f x f x+ = ( )f x 1 1(15) (16 1) ( 1) 1 ,2 2f f f= − = − = − + = 1 π 2( (15)) ( ) cos .2 4 2f f f= = = ( ( ))f f a { }na 1 2,a = 1 2 41, 1, 1a a a+ + + { }na * 1 1 , ,n n n n b n Sa a + = ∈N { }nb n 3 19nS < n 3 1na n= − *Nn∈ 11n = { }na d 1 1a + 2 1a + 4 1a + ( ) ( )23 3 3 3d d+ = + 3d = 3 1na n= − 1 1 1 1 1 3 3 1 3 2n n n b a a n n+  = = − − +  ( ) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 3 3 2 5 3 5 8 3 3 1 3 2 2 3 2 19n nS n n n      = − + − + + − = <     − + +      12n < 11n = { }na d ( )2 1na n d= + − *Nn∈ 1 1a + 2 1a + 4 1a + ( ) ( )( )2 2 1 41 1 1a a a+ = + + ( ) ( )23 3 3 3d d+ = + 0d = 3d = 3 1na n= − *Nn∈ ( )( )1 1 1 1 1 1 3 1 3 2 3 3 1 3 2n n n b a a n n n n+  = = = − − + − +  所以 . 由 ，即 ，得 . 所以使 成立的最大的正整数 . 18．如图，在三棱锥 A­BCD 中，AB⊥AD，BC⊥BD，平面 ABD⊥平面 BCD，点 E，F(E 与 A，D 不重合)分别在棱 AD，BD 上，且 EF⊥AD. 求证：(1)EF∥平面 ABC； (2)AD⊥AC. 【答案】（1）见解析（2）见解析 【解析】试题分析：（1）先由平面几何知识证明 ，再由线面平行判定 定理得结论；（2）先由面面垂直性质定理得 平面 ，则 ， 再由 AB⊥AD 及线面垂直判定定理得 AD⊥平面 ABC，即可得 AD⊥AC． 试题解析：证明：（1）在平面 内，因为 AB⊥AD， ，所以 . 又因为 平面 ABC， 平面 ABC，所以 EF∥平面 ABC. （2）因为平面 ABD⊥平面 BCD， 平面 平面 BCD=BD， 平面 BCD， ， 所以 平面 . 因为 平面 ，所以 . 又 AB⊥AD， ， 平面 ABC， 平面 ABC， ( ) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 3 2 5 3 5 8 3 3 1 3 2 3 2 3 2 2 3 2n nS n n n n        = − + − + + − = − =       − + + +        3 19nS < ( ) 3 2 3 2 19 n n <+ 12n < 3 19nS < 11n = EF AB∥ BC ⊥ ABD BC ⊥ AD ABD EF AD⊥ EF AB EF ⊄ AB ⊂ ABD ∩ BC ⊂ BC BD⊥ BC ⊥ ABD AD ⊂ ABD BC ⊥ AD BC AB B∩ = AB ⊂ BC ⊂ 所以 AD⊥平面 ABC， 又因为 AC 平面 ABC， 所以 AD⊥AC. 点睛:垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型：（1）证明线面、面 面平行，需转化为证明线线平行；（2）证明线面垂直，需转化为证明线线垂直； （3）证明线线垂直，需转化为证明线面垂直． 19．在△ABC 中，已知内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，向量 m＝(2sin B，－ )，n＝ ，且 m∥n. (1)求锐角 B 的大小； (2)如果 b＝2，求△ABC 的面积 S△ABC 的最大值． 【答案】(1) ;(2) . 【解析】试题分析：(1)由向量共线的坐标表示,代入用二倍角公式化简得出角 B;(2)由余 弦定理结合基本不等式,得到 ac 的最大值,代入求出三角形面积的最大值. 试题解析: (1)因为 m＝(2sin B，－ )，n＝ ， m∥n. 所以 2sin B ＝－ cos 2B， 所以 tan 2B＝－ . 又因为角 B 为锐角， 所以 2B＝ ，即 B＝ . (2)已知 b＝2，由余弦定理，得： 4＝a2＋c2－ac≥2ac－ac＝ac(当且仅当 a＝c＝2 时等号成立)． 因为△ABC 的面积 S△ABC＝ acsin B＝ ac≤ ， 所以△ABC 的面积 S△ABC 的最大值为 . 20．如图所示，在三棱锥 中， 平面 ， ， 、 分别为线 段 、 上的点，且 ， . ⊂ 3 2cos2 ,2cos 12 BB −   3 π 3 P ABC− PC ⊥ ABC 3PC = D E AB BC 2CD DE= = 2 2CE EB= = （Ⅰ）求证： 平面 ； （Ⅱ）求点 到平面 的距离. 【答案】(1)见解析；（2）点 到平面 的距离为 . 【解析】试题分析：（1） 所以 平面 ；（2）利用等 体积法， ，所以点 到平面 的距离为 . 试题解析： (Ⅰ)证明：由 平面 ， 平面 ，故 由 ，得 为等腰直角三角形，故 又 ，故 平面 ． (Ⅱ) 由(Ⅰ)知， 为等腰直角三角形， 过 作 垂直 于 ，易知 ， 又 平面 ，所以 ， ， 设点 到平面 的距离为 ，即为三棱锥 的高， 由 得 ， 即 ， 即 ，所以 ， DE ⊥ PCD B PDE B PDE 3 22 22 PC DE CD DE⊥ ⊥， ， DE ⊥ PCD B PDE P BDEV V− −= B PDE 3 22 22 PC ⊥ ABC DE ⊂ ABC .PC DE⊥ 2, 2CE CD DE= = = CDE∆ .CD DE⊥ PC CD C∩ = DE ⊥ PCD CDE∆ ,4DCE π∠ = D DF CE F 1DF CF EF= = = DE ⊥ PCD DE PD⊥ 2 2 11PD PC CD= + = B PDE h B PDE− B PDE P BDEV V− −= 1 1 3 3PDE BDES h S PC∆ ∆⋅ = ⋅ 1 1 1 1 3 2 3 2PD DE h BE DF PC⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ 11 2 1 1 3h× × = × × 3 22 22h = 所以点 到平面 的距离为 . 21．已知 ， ， ． （1）当 时，求函数 的图象在点 处的切线方程； （2）当 时，若 恒成立，求实数 的取值范围． 【答案】(1) 4x-y-4=0 (2) ． 【解析】（1）a＝2 时，f（x）＝﹣x3+5x2﹣3x﹣1，f（1）＝0．f′（x）＝﹣3x2+10x﹣3， f′（1）＝4．利用点斜式即可得出：函数＝f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线方 程． （2）g（x）≥f′（x），即（x+1）lnx﹣3x2+x﹣2（a﹣1）≥﹣3x2+（4a+2）x﹣（2a﹣1）， 化为：4a+1 ，（x≥1）．令 h（x） ，（x≥1）．利用导数研 究函数的单调性极值与最值即可得出． 【详解】 (1)a=2 时， ∴ 函数 y=f(x)的图象在点（1,f(1)）处的切线方程为：y 0=4(x 1)，即 4x y 4=0 (2) ，∴ ， 化为： ． 令 ． ， 令 因此函数 在 上单调递增． ∴ ∴ B PDE 3 22 22 3 2( ) (2 1) (2 1) 1f x x a x a x= − + + − − − 2( ) ( 1)ln 3 2( 1)g x x x x x a= + − + − − a R∈ 2a = ( )y f x= (1, (1))f 1x ≥ ( ) ( )g x f x′≥ a ( ,0]−∞ ( )1 1x lnx x + +≤ ( )1 1x lnx x + += 3 2( ) 5 3 1, (1) (0)f x x x x f= − + − − = 2( ) 3 10 3, (1) (4)f x x x f′ ′= − + − = − − − − ( ) ( )g x f x′≥ 2 2( 1)ln 3 2( 1) 3 (4 2) (2 1)x x x x a x a x a+ − + − − ≥ − + + − − ( 1)ln 14 1 ,( 1)x xa xx + ++ ≤ ≥ ( 1)ln 1( ) ,( 1)x xh x xx + += ≥ 2 2 1ln ( 1)ln 1 ln( ) xx x x x x xxh x x x ′ + + − + −  − = = 1( ) ln , ( ) 1 0, (1) (1)u x x x u x ux ′= − = − ≥ = ( )u x [1, )+∞ ( ) (1) 1 (0)u x u− ≥ = > ( ) 0h x′ > ∴ 函数 h（x）在 上单调递增． ∴ 函数 ， ∴ ，解得 ∴ 实数 a 的取值范围是 ． 【点睛】 本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、等价转化方法、切线方程与不等式 的性质与解法，考查了推理能力与计算能力，属于难题． 22．在直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 （ 为参数），以坐标 原点为极点，以 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 . （1）写出 的普通方程和 的直角坐标方程； （2）设点 在 上，点 在 上，求 的最小值以及此时 的直角坐标. 【答案】（1） ： ， ： ；（2） ，此时 . 【解析】试题分析：（1） 的普通方程为 ， 的直角坐标方程为 ；（2）由题意，可设点 的直角坐标为 到 的距 离 当且仅当 时， 取得最小值，最小值为 ，此时 的直 角坐标为 . 试题解析： （1） 的普通方程为 ， 的直角坐标方程为 . （2）由题意，可设点 的直角坐标为 ，因为 是直线，所以 的最小值即为 到 的距离 的最小值， [1, )+∞ min( ) ( ) (1) 1h x h x h≥ = = 4 1 1a + ≤ 0a ≤ ( ,0]−∞ xOy 1C 3 cos sin x y α α  = = α x 2C sin( ) 2 24 ρ θ π+ = 1C 2C P 1C Q 2C PQ P 1C 2 2 13 x y+ = 2C 4 0x y+ − = min 2PQ = 3 1( , )2 2P 1C 2 2 13 x y+ = 2C 4 0x y+ − = P ( 3 cos ,sin )α α ⇒ P 2C | 3 cos sin 4 | π( ) 2 | sin( ) 2 |32 d α αα α+ −= = + − ⇒ π2 π ( )6k kα = + ∈Z ( )d α 2 P 3 1( , )2 2 1C 2 2 13 x y+ = 2C 4 0x y+ − = P ( 3 cos ,sin )α α 2C | |PQ P 2C ( )d α . 当且仅当 时， 取得最小值，最小值为 ，此时 的直角坐 标为 . 【考点】坐标系与参数方程. 【方法点睛】参数方程与普通方程的互化：把参数方程化为普通方程，需要根据其结构 特征，选取适当的消参方法，常见的消参方法有：代入消参法；加减消参法；平方和 （差）消参法；乘法消参法；混合消参法等．把曲线 的普通方程 化为参 数方程的关键：一是适当选取参数；二是确保互化前后方程的等价性．注意方程中的参 数的变化范围． | 3 cos sin 4 | π( ) 2 | sin( ) 2 |32 d α αα α+ −= = + − π2 π ( )6k kα = + ∈Z ( )d α 2 P 3 1( , )2 2 C 0( ),F x y =