数学理卷·2017届广东省韶关市高三4月高考模拟测试（2017

数学理卷·2017届广东省韶关市高三4月高考模拟测试（2017

‎2017届高考模拟测试 数学(理科)‎ 第Ⅰ卷（共60分）‎ 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.若复数满足(为虚数单位),则复数在复平面内对应的点在( )‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎ ‎2.已知全集,集合,,则( )‎ A． B． C． D． ‎ ‎3.高三某班有50名学生,一次数学考试的成绩服从正态分布:,已知,该班学生此次考试数学成绩在115分以上的概率为( )‎ A．0.1587 B．0.3413 C．0.1826 D．0.5000 ‎ ‎4.函数满足,那么函数的图象大致是( )‎ ‎5.已知是第四象限角,且,则( )‎ A． B． C． D． ‎ ‎6.运行如图所示的流程图,则输出的结果是( )‎ A． B． C． D． ‎ ‎7.5位大学毕业生分配到3家单位,每家单位至少录用1人,则不同的分配方法共有( )‎ A．25种 B．60种 C．90种 D．150种 ‎ ‎8.如图所示是一个组合几何体的三视图,则该几何体的体积为( )‎ A． B． C． D． ‎ ‎9.设点为抛物线的焦点,,是抛物线上两点,线段的中垂线交轴于点,则( )‎ A．5 B．6 C．8 D．10 ‎ ‎10.三棱锥中,平面,,是边长为2的等边三角形,则该几何体外接球的表面积为( )‎ A． B． C． D． ‎ ‎11.已知锐角的内角,,的对边分别为,,,若,,则面积的取值范围是( )‎ A． B． C． D． ‎ ‎12.已知曲线:与曲线:,直线是曲线和曲线的公切线,设直线与曲线切点为,则点的横坐标满足( )‎ A． B． C． D． ‎ 第Ⅱ卷（共90分）‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13.设向量,不平行,向量与平行,则实数 ．‎ ‎15.若，满足约束条件则的最小值是 ．‎ ‎15.已知双曲线(,)的左、右焦点分别为，，，为其左、右顶点，以线段为直径的圆与双曲线的渐进线在第一象限的交点为，且，则双曲线的离心率为 ．‎ ‎16.已知函数，以下四个结论：‎ ‎①既是偶函数，又是周期函数； ②图象关于直线对称；‎ ‎③图象关于中心对称； ④的最大值．　‎ 其中，正确的结论的序号是 ．‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ‎ ‎17.设数列的前项和为,,(,),且、、成等差数列．‎ ‎（Ⅰ）求数列的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）设，求数列的前项和．‎ ‎18.如图，点是菱形所在平面外一点，平面，，，．‎ ‎（Ⅰ）求证：平面平面；‎ ‎（Ⅱ）求二面角的余弦值．‎ ‎19.“大众创业，万众创新”是李克强总理在本届政府工作报告中向全国人民发出的口号．某生产企业积极响应号召，大力研发新产品，为了对新研发的一批产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到一组销售数据（1,2，…，6），如表所示：‎ 试销单价（元）‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ 产品销量（件）‎ ‎84‎ ‎83‎ ‎80‎ ‎75‎ ‎68‎ 已知．‎ ‎（Ⅰ）求出的值；‎ ‎（Ⅱ）已知变量，具有线性相关关系，求产品销量（件）关于试销单价（元）的线性回归方程；‎ ‎（Ⅲ）用表示用（Ⅱ）中所求的线性回归方程得到的与对应的产品销量的估计值．当销售数据对应的残差的绝对值时，则将销售数据称为一个“好数据”．现从6个销售数据中任取3个，求“好数据”个数的分布列和数学期望．‎ ‎（参考公式：线性回归方程中，的最小二乘估计分别为,)‎ ‎20.已知动员过定点且与圆：相切，记动圆圆心的轨迹为曲线．‎ ‎（Ⅰ）求曲线的方程；‎ ‎（Ⅱ）过点且斜率不为零的直线交曲线于，两点，在轴上是否存在定点，使得直线，的斜率之积为非零常数？若存在，求出定点的坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎21.已知，函数．‎ ‎（Ⅰ）求的单调区间；‎ ‎（Ⅱ）若，对任意的，（），不等式 恒成立，求的最小值．‎ 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.‎ ‎22.选修4-4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数）．以为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为（），且曲线与直线有且仅有一个公共点．‎ ‎（Ⅰ）求；‎ ‎（Ⅱ）设、为曲线上的两点，且，求的最大值．‎ ‎23.选修4-5：不等式选讲 已知函数的最大值（）．‎ ‎（Ⅰ）求的值；‎ ‎（Ⅱ）若（，），试比较与的大小．‎ ‎2017届高考模拟测试数学(理科)试题答案 一、选择题 ‎1-5: 6-10: 11、12：‎ 二、填空题 ‎13. 14. 15. 16.①②③‎ 三、解答题 ‎17.解：（Ⅰ）∵（），∴，‎ ‎∴，即（），，‎ 又，，‎ ‎∴数列是以1为首项，公比为的等比数列，‎ ‎∴，∴，整理得，得，‎ ‎∴．‎ ‎（Ⅱ），‎ ‎∴ ，①‎ ‎∴，②‎ ‎①②得，‎ 整理得．‎ ‎18.（Ⅰ）证明：取中点，连交于，连，．‎ 在菱形中，，‎ ‎∵平面，平面，‎ ‎∴，‎ 又，，平面，‎ ‎∴平面，‎ ‎∵，分别是，的中点，‎ ‎∴，，‎ 又，，‎ ‎∴，，‎ ‎∴四边形是平行四边形，则，‎ ‎∴平面，‎ 又平面，‎ ‎∴平面平面．‎ ‎（Ⅱ）解：由（Ⅰ）得平面，则，，两两垂直，以，，所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，‎ 设，则，，，，‎ ‎，，，‎ 设是平面的一个法向量，则即 取，得，，∴，‎ 设是平面的一个法向量，‎ 同理得，．‎ ‎∴，‎ ‎∴二面角的余弦值为．‎ ‎19.解：（Ⅰ），可求得．‎ ‎（Ⅱ），‎ ‎，‎ 所以所求的线性回归方程为．‎ ‎（Ⅲ）利用（Ⅱ）中所求的线性回归方程可得，当时，；当时，；当时，；当时，；当时，；当时，．‎ 与销售数据对比可知满足（1,2，…，6）的共有3个“好数据”：、‎ ‎、．‎ 于是的所有可能取值为，，，．‎ ‎；；；，‎ ‎∴的分布列为：‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ 于是．‎ ‎20.解：（Ⅰ）设动圆的半径为，‎ 由：及知点在圆内，则有 从而，‎ 所以的轨迹是以，为焦点，长轴长为4的椭圆，‎ 设曲线的方程为，则，，‎ 所以，，‎ 故曲线的轨迹方程为．‎ ‎（Ⅱ）依题意可设直线的方程为，，，‎ 由得，‎ 所以则，‎ ‎，‎ 假设存在定点，使得直线，的斜率之积为非零常数，则 ‎，‎ 所以，‎ 要使为非零常数，当且仅当解得，‎ 当时，常数为，‎ 当时，常数为，‎ 所以存在两个定点和，使直线，的斜率之积为常数，当定点为时，常数为；当定点为时，常数为．‎ ‎21.解：（Ⅰ）的定义域为，‎ ‎∵．‎ 设，，‎ ‎ 当时，，恒成立，‎ 恒成立，‎ ‎∴在上递增．‎ ‎ 当时，，令，得，‎ ‎，‎ 极大 极小 ‎∴的增区间，，减区间为．‎ 综上，当时，的增区间为；当时，增区间，，减区间．‎ ‎（Ⅱ）∵，，‎ ‎∴当时，，，∴成立，‎ ‎∴在上递增．‎ 设，则，∴，‎ 又∵，∴，‎ ‎∴可化为 ‎，‎ 即恒成立．‎ 设，‎ ‎∴当时，，∴在上为减函数，‎ 在上恒成立，‎ 即恒成立，‎ 设，‎ ‎，‎ ‎∵，，∴，‎ ‎∴在上递增，，‎ ‎∴，又存在，，‎ ‎∴，故．‎ ‎22.解：（Ⅰ）直线的普通方程是，‎ 曲线的直角坐标方程是，‎ 依题意直线与圆相切，则，解得或，‎ 因为，所以．‎ ‎（Ⅱ）如图，不妨设，，则，，‎ ‎，‎ 所以，即，时，最大值是．　‎ ‎23.解：（Ⅰ）由于 的最大值为，故.‎ ‎（Ⅱ）∵，且，，‎ ‎∴，‎ 当且仅当，即，等号成立．　‎ 所以.‎