【数学】2020届一轮复习（文理合用）第4章第3讲平面向量的数量积作业

【数学】2020届一轮复习（文理合用）第4章第3讲平面向量的数量积作业

对应学生用书[练案30理][练案29文]‎ 第三讲　平面向量的数量积 A组基础巩固 一、选择题 ‎1．已知向量a＝(1,2)，2a－b＝(3,1)，则a·b＝(　D　)‎ A．2　　　 B．3　　　‎ C．4　　　 D．5‎ ‎[解析]　由已知得a·(2a－b)＝2a2－a·b＝2|a|2－a·b＝2×5－a·b＝3＋2，故a·b＝10－5＝5.故选D．‎ 另解：b＝2a－(2a－b)＝(2,4)－(3,1)＝(－1,3)‎ ‎∴a·b＝(1,2)·(－1,3)＝－1＋6＝5．‎ ‎2．已知矩形ABCD中，AB＝，BC＝1，则·＝(　B　)‎ A．1　　　 B．－1　　　‎ C．　　　 D．2 ‎[解析]　设＝a，＝b，则a·b＝0，∵|a|＝，|b|＝1，∴·＝(a＋b)·(－b)＝－a·b－b2＝－1.故选B．‎ ‎3．如图，平面图形由16个边长为1且有一个内角为60°的菱形组成，那么图形中的向量a，b满足a·b＝(　D　)‎ A．1　　　 B．2‎ C．4　　　 D．6‎ ‎ [解析]　如图，由题意可知，||＝||＝1，且与的夹角为60°，∴·＝||·||·cos60°＝1×1×＝.∴a·b＝(＋3)·(＋)＝||2＋3||2＋4·＝6．‎ ‎4．已知|a|＝6，|b|＝3，a·b＝－12，则向量a在向量b方向上的投影是(　A　)‎ A．－4　　　 B．4　　　‎ C．－2　　　 D．2‎ ‎(理)(2017·湖北模拟)已知点A(－1,1)，B(1,2)，C(－2，－1)，D(3,4)，则向量在方向上的投影为(　A　)‎ A．　　　 B． C．－　　　 D．－ ‎[解析]　(文)∴a在b方向上的投影是|a|cos〈a，b〉＝＝－＝－4．‎ ‎(理)＝(2,1)，＝(5,5)，由定义知在方向上的投影为＝＝．‎ ‎5．已知平面向量a＝(－2,3)，b＝(1,2)．向量λa＋b与b垂直，则实数λ的值为(　D　)‎ A．　　　 B．－　　　‎ C．　　　 D．－ ‎[解析]　因为a＝(－2,3)，b＝(1,2)，向量λa＋b与b垂直，所以(－2λ＋1,3λ＋2)·(1,2)＝－2λ＋1＋2(3λ＋2)＝4λ＋5＝0，解得λ＝－.故选D．‎ ‎6．若|a|＝2，|b|＝4，且(a＋b)⊥a，则向量a与b的夹角为(　A　)‎ A．　　　 B．　　　‎ C．　　　 D．－ ‎[解析]　∵(a＋b)⊥a，∴(a＋b)·a＝a2＋a·b＝0，∴a·b＝－4，cosa，b＝＝＝－，∴a，b＝，故选A．‎ ‎7．已知平面向量a，b的夹角为，且|a|＝1，|b|＝，则|a－2b|＝(　B　)‎ A．　　　 B．1　　　‎ C．2　　　 D． ‎[解析]　∵|a－2b|2＝|a|2＋4|b|2－4a·b＝1＋1－1＝1，∴|a－2b|＝1.故选B．‎ ‎8．设单位向量e1，e2对任意实数λ，都有|e1＋e2|≤|e1＋λe2|，则e1，e2的夹角为(　D　)‎ A．　　　 B．　　　‎ C．　　　 D． ‎[解析]　设e1与e2的夹角为θ，θ∈[0，π]，|e1＋e2|≤|e1＋λe2|两边平方得，1＋cosθ＋≤λ2＋2λcosθ＋1化角为λ2＋2λcosθ－cosθ－≥0，由于对任意实数λ都成立，所以Δ≤0，即(2cosθ)2＋4cosθ＋3≤0也就是(2cosθ＋)2≤0，∴cosθ＝－，θ＝，故选D．‎ 二、填空题 ‎9．已知向量a＝(1，)，b＝(，1)，则a与b夹角的大小为　 　．‎ ‎[解析]　设a与b的夹角为θ．‎ 则cosθ＝＝＝．‎ 又因为θ∈[0，π]，所以θ＝.故填．‎ ‎10．已知向量a＝(1，m)，b＝(3，－2)，且|a＋b|2＝|a|2＋|b|2，则实数m＝　 　．‎ ‎[解析]　由|a＋b|2＝|a|2＋|b|2，得a·b＝0，所以3－2m＝0，m＝．‎ ‎11．在矩形ABCD中＝(1，－3)，＝(k，－2)，则实数k＝__4___．‎ ‎[解析]　由题意知＝－＝(k－1,1)，又ABCD为矩形，∴⊥，故·＝0，∴k－1－3＝0，即k＝4．‎ ‎12．已知e1，e2是互相垂直的单位向量，若e1－e2与e1＋λe2的夹角为60°，则实数λ的值是　 　．‎ ‎[解析]　(e1－e2)·(e1＋λe2)＝e＋λe1·e2－e1·e2－λe＝－λ，|e1－e2|＝＝＝2，|e1＋λe2|＝＝＝，－λ＝2××cos60°＝，解得：λ＝．‎ 三、解答题 ‎13．已知向量a＝(1,2)，b＝(2，－2)．‎ ‎(1)设c＝4a＋b，求(b·c)a；‎ ‎(2)若a＋λb与a垂直，求λ的值；‎ ‎(3)求向量a在b方向上的投影．‎ ‎[解析]　(1)因为a＝(1,2)，b＝(2，－2)，‎ 所以c＝4a＋b＝(4,8)＋(2，－2)＝(6,6)．‎ 所以b·c＝2×6－2×6＝0，所以(b·c)a＝0·a＝0．‎ ‎(2)a＋λb＝(1,2)＋λ(2，－2)＝(2λ＋1,2－2λ)，‎ 由于a＋λb与a垂直，‎ 所以2λ＋1＋2(2－2λ)＝0，解得λ＝．‎ ‎(3)a·b＝－2，|b|＝2，‎ 向量a在b上的投影为－．‎ ‎14．已知向量a，b满足|a|＝3，|b|＝1，a与b的夹角为．‎ ‎(1)求|a＋3b|；‎ ‎(2)若向量a＋2b与ta＋2b垂直，求实数t的值．‎ ‎[解析]　(1)∵向量a，b满足|a|＝3，|b|＝1，a与b的夹角为，∴|a＋3b|＝＝＝＝3．‎ ‎(2)∵向量a＋2b与ta＋2b垂直，∴(a＋2b)·(ta＋2b)＝0，∴ta2＋(2t＋2)a·b＋4b2＝0，∴9t＋(2t＋2)×3×1×cos＋4＝0，解得t＝－．‎ B组能力提升 ‎1．平面向量a，b满足|a|＝1，|b|＝，(a＋2b)·a＝2，下列说法正确的是(　B　)‎ A．a⊥b　　　 B．a与b同向 C．a与b反向　　　 D．a与b夹角为60°‎ ‎[解析]　(a＋2b)·a＝1＋2××1×cosθ＝2，得cosθ＝1，所以θ＝0°，则a，b同向，故选B．‎ ‎2．已知向量a，b满足a·(b＋a)＝2，且a＝(1,2)，则向量b在a方向上的投影为(　D　)‎ A．　　　 B．－　　　‎ C．－　　　 D．－ ‎[解析]　由a＝(1,2)，可得|a|＝，由a·(b＋a)＝2，可得a·b＋a2＝2，∴a·b＝－3，∴向量b在a方向上的投影为＝－.故选D．‎ ‎3．已知圆O是△ABC的外接圆，其半径为1，且＋＝2，AB＝1，则·＝(　B　)‎ A．　　　 B．3　　　‎ C．　　　 D．2 ‎[解析]　因为＋＝2，所以点O是BC的中点，即BC是圆O的直径，又AB＝1，圆的半径为1，所以∠ACB＝30°，且AC＝，则·＝||·||cos∠ACB＝3.故选B．‎ ‎4．设平面向量a＝(－2,1)，b＝(λ，－1)．若a与b的夹角为钝角，则λ的取值范围是(　A　)‎ A．(－，2)∪(2，＋∞)　　　 B．(2，＋∞)‎ C．(－，＋∞)　　　 D．(－∞，－)‎ ‎[解析]　因为a与b的夹角为钝角，所以a·b＝－2λ＋1×(－1)<0，即－2λ－1<0，解得λ>－.当a，b共线且反向时，2－λ＝0，得λ＝2.所以λ的取值范围是(－，2)∪(2，＋∞)．故选A．‎ ‎5．已知|a|＝4，|b|＝3，(2a－3b)·(2a＋b)＝61．‎ ‎(1)求a与b的夹角θ．‎ ‎(2)求|a＋b|．‎ ‎(3)若＝a，＝b，求△ABC的面积．‎ ‎[解析]　(1)因为(2a－3b)·(2a＋b)＝61，‎ 所以4|a|2－4a·b－3|b|2＝61．‎ 又因为|a|＝4，|b|＝3，所以64－4a·b－27＝61，‎ 所以a·b＝－6．‎ 所以cosθ＝＝＝－．‎ 又因为0≤θ≤π，所以θ＝．‎ ‎(2)|a＋b|2＝(a＋b)2＝|a|2＋2a·b＋|b|2‎ ‎＝42＋2×(－6)＋32＝13，所以|a＋b|＝．‎ ‎(3)因为与的夹角θ＝，‎ 所以∠ABC＝π－＝．‎ 又因为||＝|a|＝4，||＝|b|＝3，‎ 所以S△ABC＝||·||sin∠ABC＝×4×3×＝3．‎