北京市中央民族大学附属中学2019-2020学年高二上学期期中考试数学试题

北京市中央民族大学附属中学2019-2020学年高二上学期期中考试数学试题

中央民族大学附属中学2019——2020学年第一学期 高二年级期中考试数学试题 第I卷(共40分)‎ 一、选择题（本大题共8小题每小题5分，共40分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）‎ ‎1.已知数列的通项公式为，则　　‎ A. 100 B. ‎110 ‎C. 120 D. 130‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 在数列的通项公式中，令，可得的值．‎ ‎【详解】数列的通项公式为，‎ 则.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查已知数列通项公式，求数列的项，考查代入法求解，属于基础题．‎ ‎2.双曲线1的焦点坐标为（　　）‎ A. 和 B. 和 C. 和 D. 和 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求得双曲线，，，可得双曲线的焦点坐标．‎ ‎【详解】双曲线方程可得：，，，‎ 因为双曲线的焦点在轴上，‎ 所以双曲线的焦点为，，，．‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】本题考查双曲线的焦点的坐标，考查方程思想和运算能力，属于基础题．‎ ‎3.抛物线的准线方程是 ( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析：由抛物线方程可知，，焦点在轴正半轴，所以其准线方程为．故C正确．‎ 考点：抛物线准线方程．‎ ‎4.已知不等式的解集是，则的值为　　‎ A. B. ‎1 ‎C. D. 2‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据不等式的解集得出对应方程的实数根，由根与系数的关系求出和的值，再计算．‎ ‎【详解】不等式的解集是，‎ 所以方程的实数根为1和2，‎ 所以，解得：，；‎ 所以．‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】本题考查一元二次不等式的求解，考查一元二次不等式与一元二次方程根的关系．‎ ‎5.若，为正实数，且，则的最大值为　　‎ A. B. ‎1 ‎C. D. 2‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由，为正实数，则，再验证等号成立，从而得出结论．‎ ‎【详解】，为正实数，且，当且仅当成立，‎ 因为，所以.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题考查基本不等式的应用，考查基本运算求解能力，求解时要注意验证等号成立的条件．‎ ‎6. 下列结论正确的是（ ）‎ A. 若，则 B 若，则 C. 若,，则 D. 若<，则 ‎【答案】D ‎【解析】‎ 试题分析：对于A项，考查的是不等式的性质，当大于零时才行，所以A不对，对于B项，结论应该为，故B项是错的，对于C项，应该是不等式的两边同时加上一个数，不等号的方向不变，故C错，对于D项涉及到的是不等式的乘方运算性质，只有D对，故选D．‎ 考点：不等式性质．‎ ‎【此处有视频，请去附件查看】‎ ‎7.在各项均为正数的等比数列中，且，，成等差数列，记是数列的前项和，则　　‎ A. 60 B. ‎61 ‎C. 62 D. 64‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用等差数列的性质及等比数列的通项公式求出公比，然后代入等比数列的前项和公式得答案．‎ ‎【详解】设各项均为正数的等比数列的公比为，又，‎ 则，，，‎ ‎，，成等差数列，‎ ‎，‎ ‎，‎ 由，解得，‎ ‎．‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查等比数列通项公式、前项和公式、等差中项性质，考查方程思想和运算求解能力．‎ ‎8.已知直线与直线的交点为，椭圆的焦点为，，则的取值范围是　　‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意，由直线的方程分析可得直线恒过点，直线恒过点，且直线与直线相互垂直，为两直线的交点，进而分析可得的轨迹，设，求出椭圆的焦点坐标，分析可得用表示和的值，据此分析可得答案．‎ ‎【详解】由条件可知恒过点，恒过点，且，垂直，所以点在以为圆心，为直径的圆上运动，‎ 设，则，‎ 根据椭圆方程可知焦点坐标分别为，，，，‎ 则当与和共线时，最短为，‎ 又因为，，‎ 而，‎ 当且仅当，时等号成立，‎ 故的取值范围是，.‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】本题考查椭圆的几何性质，涉及轨迹方程的计算，分析出点的轨迹是关键，属于中档题．‎ 第II卷(共110分)‎ 二、填空题：（本大题共6小题每小题5分，共30分）‎ ‎9.双曲线的渐近线方程________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先确定双曲线的焦点所在坐标轴，再确定双曲线的实轴长和虚轴长，最后确定双曲线的渐近线方程．‎ ‎【详解】∵双曲线的a=2，b=1，焦点在x轴上 而双曲线的渐近线方程为y=±‎ ‎∴双曲线的渐近线方程为y=±‎ 故答案为y=±‎ ‎【点睛】本题考察了双曲线的标准方程，双曲线的几何意义，特别是双曲线的渐近线方程，解题时要注意先定位，再定量的解题思想 ‎10.椭圆的焦点在x轴上，则实数m的取值范围是_____．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用椭圆的标准方程，结合焦点所在的轴，列出不等式求解即可．‎ ‎【详解】椭圆焦点在轴上，，‎ 解得：，‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】本题考查椭圆的简单性质的应用，考查对方程的认识，属于基础题．‎ ‎11.等差数列的前项和为，已知，，则__时，取得最小值．‎ ‎【答案】4‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由等差数列的前项和公式，可得，，从而得到前4项和最小．‎ ‎【详解】等差数列的前项和为，由，得，‎ ‎，故，‎ 所以前4项和最小，‎ 故答案为：4．‎ ‎【点睛】考查等差数列前项和的最值，考查逻辑推理能力，求解的关键是找出前4项均小于0，从第5项开始大于0，考查基本运算求解能力．‎ ‎12.已知抛物线的焦点是，点是抛物线上的动点，又有点，则的最小值为_____．‎ ‎【答案】4‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 过作准线，交准线于点，则的最小值为，由此能求出的最小值．‎ ‎【详解】抛物线的焦点是，焦点，准线方程，‎ 如图，过作准线，交准线于点，‎ 的最小值为，‎ ‎．‎ 故答案为：4．‎ ‎【点睛】本题考查两线段和的最小值的求法，考查抛物线、直线方程等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．‎ ‎13.若，，且，则的最小值是________.‎ ‎【答案】16‎ ‎【解析】‎ 试题分析：，当且仅当时取等号 考点：基本不等式求最值 ‎【易错点睛】在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”（即条件要求中字母为正数）、“定”（不等式的另一边必须为定值）、“等”（等号取得的条件）的条件才能应用，否则会出现错误.‎ ‎14.设双曲线的两个焦点分别是、，以线段为直径的圆交双曲线于、、、四点，若、、、、、恰为正六边形的六个顶点，则双曲线的离心率等于_____．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意可得正六边形的边长为，由双曲线的定义可得，即，运用双曲线的离心率公式，即可得到所求值．‎ ‎【详解】如图所示：‎ ‎、、、、、恰为正六边形的六个顶点，，‎ 可得正六边形的边长为，，‎ 由双曲线的定义可得，‎ 即，即有．‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】本题考查双曲线的定义和性质，圆与内接正六边形的关系，考查转化与化归思想的运用及运算求解能力．‎ 三、解答题：（本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）‎ ‎15.已知等差数列中，，．‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）求数列的前项和公式．‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由等差数列通项公式列出方程组，求出，，即可得到数列的通项公式．‎ ‎（2）由，，直接代入数列的前项和公式．‎ ‎【详解】（1）等差数列中，，，‎ ‎，解得，，‎ ‎.‎ ‎（2），，‎ 数列的前项和公式．‎ ‎【点睛】本题考查等差数列的通项公式、前项和公式的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力．‎ ‎16.共享单车给市民出行带来了诸多便利，某公司购买了一批单车投放到某地给市民使用.据市场分析，每辆单车的营运累计收入(单位：元）与营运天数满足.‎ ‎（1）要使营运累计收入高于800元，求营运天数的取值范围；‎ ‎（2）每辆单车营运多少天时，才能使每天的平均营运收入最大？‎ ‎【答案】（1）要使营运累计收入高于800元，营运天数应该在内取值；（2）每辆单车营运40天，可使每天的平均营运收入最大.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：⑴根据题意转化为即可求出结果(2) 每天的平均营运收入表达式为，利用基本不等式求出结果 解析：（1）要使营运累计收入高于800元，则 ‎ ‎ 所以要使营运累计收入高于800元，营运天数应该在内取值.‎ ‎（2）每辆单车每天的平均营运收入为 当且仅当时等号成立，解得，‎ 即每辆单车营运40天，可使每天的平均营运收入最大.‎ 点睛：本题是道二次函数的应用题，将实际问题转为数学模型，利用数学知识来解决问题，结合二次函数的值域来求解范围问题，在解答平均最值问题时先要给出表达式，利用基本不等式求出结果 ‎17.已知点、是椭圆的焦点，是椭圆上一点，直线．‎ ‎（1）求△的周长；‎ ‎（2）若直线与椭圆相切，求的值；‎ ‎（3）当时，直线与椭圆相交于、两点，求弦长．‎ ‎【答案】（1）；（2）；（3）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据题意可知△周长；‎ ‎（2）利用直线与椭圆相切，联立直线与椭圆方程，则△，求得的值；‎ ‎（3）联立直线与椭圆方程，利用根与系数关系，即可求出的值．‎ ‎【详解】（1）由题的，，则因为在椭圆上，‎ 所以，，‎ 所以△周长为.‎ ‎（2）联立，整理得，则△，‎ 解得；‎ ‎（3）当时，方程为：，设，，，，‎ 联立，整理得，‎ 则，，‎ 所以．‎ ‎【点睛】本题考查椭圆焦点三角形的周长、直线与椭圆相切、弦长计算等知识，考查运算求解能力，属于中档题．‎ ‎18.已知数列的前项和满足，．‎ ‎（1）求证：数列为等比数列；‎ ‎（2）若数列满足，求数列的前项和．‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由，推导出，，由此能证明是首项为1，公比为的等比数列．‎ ‎（2）由，得，由此利用错位相减法能求出的前项和．‎ ‎【详解】（1）数列的前项和为，且满足，‎ 当时，，解得，‎ 当时，由①，得②，‎ ‎①②，得：，整理，得，‎ 是首项为1，公比为的等比数列．‎ ‎（2）是首项为1，公比为的等比数列，‎ ‎，‎ ‎，‎ 的前项和：‎ ‎，①‎ ‎，②‎ ‎②，得：‎ ‎，‎ ‎．‎ ‎【点睛】本题考查等比数列的证明、错位相减法求和，考查方程思想的运用，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意求和后常数的准确性．‎ ‎19.已知椭圆过点，且椭圆的离心率．‎ ‎（1）求椭圆的标淮方程；‎ ‎（2）直线过点且与椭圆相交于、两点，椭圆的右顶点为，试判断是否能为直角．若能为直角，求出直线的方程，若不行，请说明理由．‎ ‎【答案】（1）；（2）不能为直角，证明见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）可得，．．即可得椭圆的标淮方程．‎ ‎（2）对直线斜率分两种情况讨论：①当直线垂直轴时，易得不能为直角；‎ ‎②当直线不垂直轴时，可设直线代入椭圆方程，消去可得到关于的一元二次方程，再利用反证法，假设，得到与事实相矛盾，从而证明不能为直角.‎ ‎【详解】（1）椭圆过点，，‎ 椭圆的离心率，．‎ ‎，．‎ 椭圆的标淮方程为：.‎ ‎（2）①当直线垂直轴时，易得，．‎ 椭圆的右顶点为，，，‎ ‎，是不为直角．‎ ‎②当直线不垂直轴时，可设直线代入椭圆方程，‎ 消去可得：，‎ 设，，，，则有，，‎ 又，，，，，‎ 若是为直角：‎ 则 ‎，‎ 解得，不符合题意．‎ 故不能为直角．‎ ‎【点睛】本题考查椭圆的离心率与标准方程求解、直线与椭圆的置关系、向量数量积，考查方程思想、转化与化归思想、分类讨论思想的运用，考查逻辑推理能力和运算求解能力，属于中档题．‎ ‎20.已知数列满足．‎ ‎（1）若，，，求，，及；‎ ‎（2）数列的前三项是等差数列，公差为，，若数列满足，对于任意的正整数，均有，求的范围．‎ ‎【答案】（1），，，，；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）当时，利用可以直接求出，的值，发现数列是以3为周期的周期数列，即可求出及；‎ ‎（2）利用数列的前三项是等差数列，可以得出，再利用已知条件求出的值，依次用表示出与代入数列求解即可；‎ ‎【详解】（1）当时，，‎ ‎，，‎ ‎，；‎ 数列是以3为周期的周期数列；‎ ‎；‎ ‎，；‎ ‎（2）数列的前三项是等差数列，‎ ‎，，，‎ ‎，‎ ‎，，，‎ 对于任意的正整数，均有，‎ ‎，即；‎ ‎，．‎ ‎【点睛】本题考查等差数列、等比数列的通项公式求和公式，考查推理能力与计算能力，属于中档题．‎