湖北省2020届高三上学期期末考试精编仿真金卷数学（A理）试题

湖北省2020届高三上学期期末考试精编仿真金卷数学（A理）试题

此卷只装订不密封 班级 姓名 准考证号 考场号 座位号 ‎ ‎2019-2020学年上学期高三期末考试备考精编金卷 理科数学（A）‎ 注意事项：‎ ‎1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。‎ ‎2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。‎ ‎3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。‎ ‎4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。‎ 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．若集合，，则等于（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2．在复平面内，复数（为虚数单位）对应的点位于（ ）‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎3．从，，，这四个数字中随机选择两个不同的数字，则它们之和为偶数的概率为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎4．已知向量，，若，则实数（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎5．函数的图象可能是（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎6．函数在区间上至少存在个不同的零点，则正整数的最小值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎7．已知抛物线的焦点为，点为抛物线上一点，过点作抛物线的准线的垂线，垂足为，若，的面积为，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎8．一个放射性物质不断衰变为其他物质，每经过一年就有的质量发生衰变,剩余质量为原来的．若该物质余下质量不超过原有的，则至少需要的年数是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎9．设，分别是正方体的棱上两点，且，，给出下列四个命题：‎ ‎①三棱锥的体积为定值；‎ ‎②异面直线与所成的角为；‎ ‎③平面；‎ ‎④直线与平面所成的角为．‎ 其中正确的命题为（ ）‎ A．①②④ B．②③ C．①② D．①④‎ ‎10．点，，，在同一球面上，，，若球的表面积为，则四面体体积的最大值为（ ）‎ A． B． C． D．1‎ ‎11．已知函数是偶函数，则下列结论可能成立的是（ ）‎ A．， B．，‎ C．， D．，‎ ‎12．若函数有两个不同的零点，则实数的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ 第Ⅱ卷 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．‎ ‎13．的展开式中，的系数为 ．‎ ‎14．在平面直角坐标系中，设角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，‎ 终边与单位圆的交点的横坐标为，则的值等于 ．‎ ‎15．已知是定义在上的奇函数，若的图象向左平移个单位后关于轴对称，且，则 ．‎ ‎16．已知是抛物线的焦点，为抛物线上的动点，且的坐标为，‎ 则的最小值是 ．‎ 三、解答题：本大题共6大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎17．（12分）已知数列的前项和为，，．‎ ‎（1）求的通项公式；‎ ‎（2）记，数列的前项和为，求证：．‎ ‎18．（12分）某家电公司销售部门共有名销售员，每年部门对每名销售员都有万元的年度销售任务．已知这名销售员去年完成的销售额都在区间（单位百万元）内，现将其分成组：第组、第组、第组、第组、第组对应的区间分别为，，，，，并绘制如下的频率分布直方图．‎ ‎（1）若用分层抽样的方法从这名销售员中抽取容量为的样本，求的值和样本中完成年度任务的销售员人数；‎ ‎（2）从（1）中样本内完成年度任务的销售员中随机选取名，奖励海南三亚三日游，设获得此奖励的名销售员在第组的人数为，求的分布列和期望．‎ ‎19．（12分）如图，在边长为的菱形中，已知，且 ‎．将梯形沿直线折起，使平面，如图，，分别是，上的点．‎ ‎（1）若平面平面，求的长；‎ ‎（2）是否存在点，使直线与平面所成的角是？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．‎ ‎20．（12分）已知椭圆的离心率为，且过点．‎ ‎（1）求的方程；‎ ‎（2）是否存在直线与相交于，两点，且满足：①与（为坐标原点）的斜率之和为2；②直线与圆相切，若存在，求的方程；若不存在，请说明理由．‎ ‎21．（12分）已知函数（，）．‎ ‎（1）当时，比较与的大小，并证明；‎ ‎（2）若存在两个极值点，，证明：．‎ 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．‎ ‎22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】‎ 在平面直角坐标系中，已知点的直角坐标为，直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．‎ ‎（1）求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；‎ ‎（2）直线和曲线交于、两点，求的值．‎ ‎23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】‎ 已知函数，的解集为．‎ ‎（1）求实数的值；‎ ‎（2）若关于的不等式对恒成立，求实数的取值范围．‎ ‎2019-2020学年上学期高三期末考试备考精编金卷 理科数学（A）答案 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．【答案】B ‎【解析】由题意，集合，‎ ‎，所以．‎ ‎2．【答案】C ‎【解析】复数，则对应的点为，位于第三象限．‎ ‎3．【答案】B ‎【解析】从，，，这个数字中，随机抽取两个不同的数字，基本事件为，，，，，，‎ 这两个数字的和为偶数包含的基本事件为，，‎ ‎∴这两个数字的和为偶数的概率为．‎ ‎4．【答案】D ‎【解析】向量，，则，，‎ 又，所以，解得．‎ ‎5．【答案】D ‎【解析】函数是奇函数，排除选项A，C，‎ 当时，，对应点在轴下方，排除B．‎ ‎6．【答案】B ‎【解析】函数在区间上至少存在个不同的零点，‎ ‎，‎ 根据题意得到只需要，最小整数为．‎ ‎7．【答案】C ‎【解析】抛物线焦点为，点为抛物线上一点，过作抛物线的准线的垂线，垂足是，‎ 若，由抛物线的定义可得，‎ 是正三角形，的面积为，‎ ‎∴，得．‎ ‎8．【答案】B ‎【解析】设原物质的质量为单位，一年后剩余质量为原来的，两年后变为原来的，‎ 依此类推，得到年后质量是原来的，只需要，结果为．‎ ‎9．【答案】C ‎【解析】如图所示，‎ 三棱锥的体积为为定值，①正确；‎ ‎，是异面直线与所成的角，为，②正确；‎ 与不垂直，由此知与平面不垂直，③错误；‎ 在三棱锥中，设到平面的距离为，‎ ‎，即有，‎ 解得，直线与平面所成的角的正弦为，‎ 即所成角为，④错误，‎ 综上，正确的命题序号是①②．‎ ‎10．【答案】C ‎【解析】因为球的表面积为，所以，∴，‎ 因为，所以三角形为直角三角形，‎ 从而球心到平面距离为，‎ 因此四面体体积的最大值为．‎ ‎11．【答案】D ‎【解析】根据题意，设，则，则由，，‎ 又由函数是偶函数，则，‎ 变形可得，‎ 即，‎ 必有，，‎ 分析可得，可得，满足题意．‎ ‎12．【答案】D ‎【解析】由，得，‎ 令，则，‎ 因此当时，，；当时，，，‎ 从而要有两个不同的零点，需．‎ 第Ⅱ卷 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．‎ ‎13．【答案】‎ ‎【解析】的展开式的通项公式为，‎ 令，求得，可得的系数为．‎ ‎14．【答案】‎ ‎【解析】∵角的顶点与原点重合，始边与轴非负半轴重合，终边与单位圆的交点的横坐标为，‎ ‎∴，，∴，∴．‎ ‎15．【答案】‎ ‎【解析】∵是定义在上的奇函数，∴，‎ 将的图象向左平移个单位后，得到为偶函数，则，‎ 即，‎ 又是定义在上的奇函数，∴，即，‎ ‎．‎ ‎16．【答案】‎ ‎【解析】抛物线的焦点，准线方程为，‎ 过点作垂直于准线，为垂足，则由抛物线定义可得，‎ 当与重合时，；‎ 当与不重合时，所以，为锐角，‎ 故当最小时，最小，故当和抛物线相切时，最小，‎ 设切点，由得导数为，‎ 则的斜率为，求得或，可得或，‎ 当时，，，；‎ 当时，，，，‎ 综上所述，故的最小值是．‎ 三、解答题：本大题共6大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎17．【答案】（1）；（2）证明见解析．‎ ‎【解析】（1）因为，所以，，‎ 两式相减化简得，‎ 又，所以，符合上式，‎ 所以是以1为首项，以2为公比的等比数列，所以．‎ ‎（2）由（1）知，所以，所以 ‎．‎ ‎18．【答案】（1），人；（2），分布列见解析．‎ ‎【解析】（1）∵，‎ ‎∴，样本中完成年度销售人数为人．‎ ‎（2），，，，，‎ 分布列如图所示，‎ ‎∴．‎ ‎19．【答案】（1）；（2）存在，．‎ ‎【解析】（1）证明：因为平面与平面有公共点，‎ 所以平面与平面相交，‎ 设交线为，若平面平面，‎ 因为平面平面，则，‎ 设，又因为，所以，‎ 同理，由平面平面，‎ 因为平面平面，平面平面，‎ 所以，所以．‎ 因为，，，所以，所以．‎ ‎（2）在图中，以点为原点，分别以，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系，如下图所示．‎ 易得，则，‎ 又，，，‎ 所以，，，，‎ 设，则，‎ 则，‎ 设平面的法向量为，‎ 由它与，均垂直，可得，‎ 令，可得，，所以，‎ 若存在，使与平面所成的角是，‎ 则，解得，‎ 因为，所以，即．‎ ‎20．【答案】（1）；（2）存在，．‎ ‎【解析】（1）由已知得，，解得，，‎ ‎∴椭圆的方程为．‎ ‎（2）把代入的方程得，‎ 设，，则，①，‎ 由已知得，‎ ‎∴②，‎ 把①代入②得，即③，‎ 又，由，得或，‎ 由直线与圆相切，则④，‎ ‎③④联立得（舍去）或，∴，‎ ‎∴直线的方程为．‎ ‎21．【答案】（1）见解析；（2）证明见解析．‎ ‎【解析】（1）当时，，‎ 则，‎ 所以函数在上单调递减，且，‎ 所以当时，；当时，；当时，．‎ ‎（2）函数，则，‎ 当时，在上恒成立，‎ 即在不存在极值，与题意不符，所以，‎ 又，是方程的两根，不妨设，‎ 由韦达定理得，，‎ 又在区间上递增，且，，‎ 所以，，即．‎ ‎22．【答案】（1），；（2）．‎ ‎【解析】（1）将中参数消去得，‎ 将代入，得，‎ ‎∴直线和曲线的直角坐标方程分别为和．‎ ‎（2）将直线的参数方程代入曲线的普通方程，得，‎ 设、两点对应的参数为、，则，，且，，‎ ‎∴，‎ ‎∴．‎ ‎23．【答案】（1）；（2）．‎ ‎【解析】（1）由题意，可得，‎ 即，‎ 又因为解集为，所以．‎ ‎（2）不等式，表示数轴上到点和的距离之和，则或，‎ 于是，当关于的不等式对恒成立时，‎ 实数的取值范围是．‎