高考数学复习课时提能演练(七十八) 选修4-4_2

高考数学复习课时提能演练(七十八) 选修4-4_2

‎ ‎ 课时提能演练(七十八)‎ ‎1.判断方程 (t为参数)表示的曲线的形状. ‎ ‎2.(2012·武汉模拟)求直线 (t为参数)被曲线所截的弦长.‎ ‎3.若动点(x,y)在曲线 (b>0)上变化，求z=x2+2y的最大值和最小值.‎ ‎4.已知点P(x,y)是圆x2+y2=2y上的动点，‎ ‎(1)求的取值范围；‎ ‎(2)若3x+4y+a≥0恒成立，求实数a的取值范围.‎ ‎5.已知椭圆中心在原点，焦点在x轴上且离心率为点P(x,y)是椭圆上的点，若2x+y的最大值为10，求椭圆的标准方程．‎ ‎6.已知直线l过点P(2,0)，斜率为直线l和抛物线y2=2x相交于A、B两点，设线段AB的中点为M,求：‎ ‎(1)|PM|；(2)M点的坐标；(3)|AB|.‎ ‎7.(2012·沈阳模拟)已知曲线C的极坐标方程为ρ=4cosθ,直线l的参数方程是： (t为参数).‎ ‎(1)求曲线C的直角坐标方程，直线l的普通方程；‎ ‎(2)将曲线C横坐标缩短为原来的再向左平移1个单位，得到曲线C1‎ ‎,求曲线C1上的点到直线l距离的最小值.‎ ‎8.(2012·太原模拟)已知曲线C1： (t为参数)，‎ C2： (θ为参数).‎ ‎(1)化C1，C2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；‎ ‎(2)若C1上的点P对应的参数为t= Q为C2上的动点，求PQ中点M到直线C3: (t为参数)距离的最小值.‎ ‎9.在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为 (t为参数)，在极坐标系(与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴)中，圆C的方程为ρ=sinθ.‎ ‎(1)求圆C的直角坐标方程；‎ ‎(2)设圆C与直线l交于点A、B，若点P的坐标为(3，)，求|PA|+|PB|.‎ ‎10.直角坐标系xOy中,以原点O为极点,Ox为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为ρ=2cosθ,直线l的参数方程为 (t为参数).‎ ‎(1)写出曲线C在直角坐标系的标准方程和直线l的普通方程;‎ ‎(2)若直线l与曲线C相交于A、B两点，点M在曲线C上移动，试求△ABM的面积的最大值.‎ 答案解析 ‎1.【解题指南】注意到2t与2-t互为倒数，故将参数方程的两个等式两边分别平方，再相减，即可消去含t的项.‎ ‎【解析】x2-y2=(2t-2-t)2-(2t+2-t)2=-4,即y2-x2=4.‎ 由于2t>0,2t+2-t≥=2，‎ 即y≥2.∴y2-x2=4(y≥2).‎ 它表示焦点在y轴上，以原点为中心的双曲线的上支.‎ ‎2.【解析】由得直线的普通方程为3x+4y+1=0,‎ ‎∵ρ=cos(θ+)=cosθ-sinθ,∴ρ2=ρcosθ-ρsinθ,∴x2+y2=x-y,即 由点到直线的距离公式,得圆心C()到直线3x+4y+1=0的距离所以弦长为 ‎3.【解题指南】设曲线的参数方程,建立目标函数,结合三角函数的值域以及二次函数的图象和性质,讨论正参数b的取值范围,从而求得最大值和最小值.注意分段函数的表示和应用.‎ ‎【解析】由于点(x,y)在曲线 (b>0)上变化，故设 (θ为参数),‎ ‎∴x2+2y=(2cosθ)2+2bsinθ ‎=4cos2θ+2bsinθ ‎=-4sin2θ+2bsinθ+4‎ ‎=由于-1≤sinθ≤1,b>0,‎ 当>1,即b>4时，zmax=2b,zmin=-2b；‎ 当0<≤1,即0＜b≤4时， zmin=-2b.‎ 综上所述,‎ zmin=-2b(b>0).‎ ‎4.【解题指南】(1)设圆的参数方程,建立目标函数,结合三角函数的性质,转化为不等式求解;也可以运用动直线与圆有公共点,利用一元二次方程的根的判别式的不等式解决;‎ ‎(2)不等式的恒成立问题,通常转化为求变量的最大值或最小值问题来解决:若 a≥f(x,y)恒成立,则a≥f(x,y)max;若a≤f(x,y)恒成立,则a≤f(x,y)min.‎ ‎【解析】由于点P(x,y)是圆x2+y2=2y上的动点，故设圆的参数方程为 ‎(1)方法一:令 则sinθ-kcosθ=2k-1,‎ ‎∴‎ ‎∴‎ 由于|sin(θ+φ)|≤1,∴‎ 两边平方,整理,得3k2-4k≤0,解得0≤k≤‎ ‎∴的取值范围是［0,］.‎ 方法二:令=k,则y=kx+2k,‎ 代入x2+y2=2y,整理,得 ‎(1+k2)x2+(4k2-2k)x+4k2-4k=0,‎ 由题意,得Δ≥0,即(4k2-2k)2-4(1+k2)(4k2-4k)≥0,‎ 化简,得3k2-4k≤0,解得0≤k≤‎ ‎∴的取值范围是［0,］.‎ ‎(2)由题意，得3x+4y+a=3cosθ+4sinθ+4+a≥0,‎ ‎∴a≥-(3cosθ+4sinθ)-4,‎ ‎∴a≥-5sin(θ+φ)-4,‎ ‎∵-9≤-5sin(θ+φ)-4≤1,‎ ‎∴a≥1.‎ 所以实数a的取值范围是［1,+∞).‎ ‎5.【解析】由于椭圆的焦点在x轴上且离心率为设椭圆标准方程是c>0,‎ 它的参数方程为 (θ是参数).‎ 由于点P(x,y)是椭圆上的点，于是2x+y=4ccosθ+3csinθ=5csin(θ+φ),所以2x+y的最大值是‎5c，依题意,得‎5c=10，解得c=2，‎ 所以椭圆的标准方程是 ‎6.【解析】(1)∵直线l过点P(2，0)，斜率为 设直线的倾斜角为α,tanα=sinα=cosα=‎ ‎∴直线l的参数方程为 (t为参数)(*)‎ ‎∵直线l和抛物线相交，将直线的参数方程代入抛物线方程y2=2x中，整理得 ‎8t2－15t－50＝0,且Δ=152+4×8×50>0,‎ 设这个一元二次方程的两个根为t1、t2,‎ 由根与系数的关系，得t1＋t2＝t1t2＝‎ 由M为线段AB的中点，根据t的几何意义，‎ 得 ‎ (2)∵中点M所对应的参数为将此值代入直线的参数方程(*)，‎ 点M的坐标为 即M()为所求.‎ ‎(3)|AB|＝|t2－t1|‎ ‎＝‎ ‎7.【解析】(1)将曲线C：ρ=4cosθ化为普通方程为(x-2)2+y2=4,直线l的普通方程是x-y+=0.‎ ‎(2)将曲线C：(x-2)2+y2=4横坐标缩短为原来的得到曲线的方程为(2x-2)2+y2=4,即4(x-1)2+y2=4,再向左平移1个单位，得到曲线C1的方程为4x2+y2=4,即 设曲线C1上的任意一点为(cosθ,2sinθ),‎ 它到直线l的距离为 ‎∵故 ‎∴曲线C1上的点到直线l距离的最小值为 ‎8.【解析】(1)C1:(x+4)2+(y-3)2=1，‎ C1为圆心是(-4,3)，半径是1的圆.C2为中心是坐标原点，焦点在x轴上，长半轴长是8，短半轴长是3的椭圆.‎ ‎(2)当t=时，P(－4,4),Q(8cosθ,3sinθ)，‎ 故M(-2+4cosθ,2+sinθ).‎ 直线C3的普通方程为x-2y-7=0，M到C3的距离为d=|4cosθ-3sinθ-13|‎ ‎=|5sin(θ+φ)-13|.‎ 从而当cosθ=sinθ=时，d取得最小值 ‎9.【解析】方法一：‎ ‎(1)由ρ=2sinθ，得 即 ‎(2)将l的参数方程代入圆C的直角坐标方程，‎ 得整理，得 由于Δ=(-)2-4×4=2>0，故可设t1、t2是上述方程的两个实根，‎ 所以 又直线l过点P(3,)，故由上式及t的几何意义得|PA|+|PB|=|t1|+|t2|=t1+t2=‎ 方法二：‎ ‎(1)同方法一.‎ ‎(2)因为圆C的圆心为(0，)，半径r=，直线l的普通方程为：y=-x+3+.‎ 由得x2-3x+2=0.‎ 解得或 不妨设A(1，2+)，B(2，1+)，‎ 又点P的坐标为(3，)，‎ 故|PA|+|PB|=‎ ‎10.【解析】(1)由ρ=2cosθ得ρ2=2ρcosθ,即x2+y2-2x=0，所以曲线C的标准方程为(x-1)2+y2=1,直线l的普通方程为x-y=0.‎ ‎(2)圆心(1，0)到直线l的距离为∴直线与圆相交,则圆上的点到直线l的最大距离为 (r为圆的半径)，‎ 又∵|‎ ‎∴‎ ‎∴△ABM面积的最大值为