2013年普通高等学校招生全国统一考试数学理试题（湖南卷）

2013年普通高等学校招生全国统一考试数学理试题（湖南卷）

‎2013年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）‎ 数学（理工农医类）‎ 本试卷包括选择题、填空题和解答题三部分，共5页，时量120分钟，满分150分。‎ 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.复数在复平面上对应的点位于 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎ ‎2.某学校有男、女学生各500名.为了解男女学生在学习兴趣与业余爱好方面是否存在显著差异，拟从全体学生中抽取100名学生进行调查，则宜采用的抽样方法是 A．抽签法 B．随机数法 C．系统抽样法 D．分层抽样法 ‎ ‎3.在锐角中，角所对的边长分别为.若 A． B． C． D． ‎ ‎4.若变量满足约束条件，‎ A． B． C． D． ‎ ‎5.函数的图像与函数的图像的交点个数为 A．3 B．‎2 ‎‎ C．1 D．0 ‎ ‎6. 已知是单位向量，.若向量满足 A． B． ‎ C． D． ‎ ‎7．已知棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形，则该正方体的正视图的面积不可能等于 A． B． C． D． ‎ ‎8.在等腰三角形中，点是边上异于的一点，光线从点出发，经发射后又回到原点（如图）.若光线经过的中心，则等 A． B． C． D． ‎ 二、填空题：本大题共8小题，考生作答7小题，每小题5分，共35分.‎ ‎（一）选做题（请考生在第9、10、11三题中任选两题作答，如果全做，则按前两题计分）‎ ‎9.在平面直角坐标系中，若 右顶点，则常数 .‎ ‎10.已知 12 .‎ ‎11.如图2，在半径为的中,弦相交于点，，则圆心到弦的距离为 .‎ 必做题（12-16题）‎ ‎12.若 .‎ ‎13.执行如图3所示的程序框图，如果输入 9 .‎ ‎14．设是双曲线的两个焦点，P是C上一点，若且 的最小内角为，则C的离心率为___。‎ ‎15．设为数列的前n项和，则 ‎（1）_____；（2）___________。‎ ‎16．设函数 ‎（1）记集合，则所对应的的零点的取值集合为____。‎ ‎（2）若 .（写出所有正确结论的序号）‎ ‎①‎ ‎②‎ ‎③若 三、解答题：本大题共6小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎17．（本小题满分12分）已知函数。‎ ‎（I）若是第一象限角，且。求的值；‎ ‎（II）求使成立的x的取值集合。‎ ‎18．（本小题满分12分）某人在如图4所示的直角边长为‎4米的三角形地块的每个格点（指纵、横的交叉点记忆三角形的顶点）处都种了一株相同品种的作物。根据历年的种植经验，一株该种作物的年收获量Y（单位：kg）与它的“相近”作物株数X之间的关系如下表所示：‎ X ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ Y ‎51‎ ‎48‎ ‎45‎ ‎42‎ 这里，两株作物“相近”是指它们之间的直线距离不超过‎1米。‎ ‎（I）从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物，求它们恰好“相近”的概率；‎ ‎（II）从所种作物中随机选取一株，求它的年收获量的分布列与数学期望。‎ ‎19．（本小题满分12分）如图5，在直棱柱，，。‎ ‎（I）证明：； （II）求直线所成角的正弦值。‎ ‎20．（本小题满分13分）在平面直角坐标系xOy中，将从点M出发沿纵、横方向到达点N的任一路径成为M到N的一条“L路径”。如图6所示的路径都是M到N的“L路径”。某地有三个新建的居民区，分别位于平面xOy内三点处。现计划在x轴上方区域（包含x轴）内的某一点P处修建一个文化中心。‎ ‎（I）写出点P到居民区A的“L路径”长度最小值的表达式（不要求证明）；‎ ‎（II）若以原点O为圆心，半径为1的圆的内部是保护区，“L路径”不能进入保护区，请确定点P的位置，使其到三个居民区的“L路径”长度值和最小。‎ ‎21．（本小题满分13分）‎ 过抛物线的焦点F作斜率分别为的两条不同的直线，且，相交于点A，B，相交于点C，D。以AB，CD为直径的圆M，圆N（M，N为圆心）的公共弦所在的直线记为。‎ ‎（I）若，证明；；‎ ‎（II）若点M到直线的距离的最小值为，求抛物线E的方程。‎ ‎22．（本小题满分13分）已知，函数。‎ ‎（I）记求的表达式；‎ ‎（II）是否存在，使函数在区间内的图像上存在两点，在该两点处的切线相互垂直？若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由。‎ 参考答案 一、选择题 ‎1．B ‎ ‎2．D ‎ ‎3．D ‎ ‎4．C ‎ ‎5．B ‎ ‎6．A ‎ ‎7．C ‎ ‎8．D ‎ ‎9．3 ‎ ‎10．12 ‎ ‎11． ‎ ‎12．3 ‎ ‎13．9 ‎ ‎14． ‎ ‎15．； ‎ ‎16．（1） （2）①②③ ‎ ‎17．解： （I）.‎ ‎（II）‎ ‎18．解： (Ⅰ) 由图知，三角形边界共有12个格点,内部共有3个格点.‎ 从三角形上顶点按逆时针方向开始，分别有0,0,1,1,0,1,1,0,0,1,2,1对格点，共8对格点恰好“相近”。‎ 所以，从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物，它们恰好“相近”的概率 ‎（Ⅱ）三角形共有15个格点。‎ 与周围格点的距离不超过‎1米的格点数都是1个的格点有2个，坐标分别为(4,0),(0,4)。‎ 与周围格点的距离不超过‎1米的格点数都是2个的格点有4个，坐标分别为(0,0), (1,3), (2,2),(3,1)。‎ 与周围格点的距离不超过‎1米的格点数都是3个的格点有6个，坐标分别为(1,0), (2,0), (3,0), (0，1,)‎ ‎ ,(0，2),(0，3,)。‎ 与周围格点的距离不超过‎1米的格点数都是4个的格点有3个，坐标分别为(1，1), (1,2), (2,1)。‎ 如下表所示：‎ X ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ Y ‎51‎ ‎48‎ ‎45‎ ‎42‎ 频数 ‎2‎ ‎4‎ ‎6‎ ‎3‎ 概率P ‎. ‎ ‎19．解： (Ⅰ) ‎ ‎. (证毕)‎ ‎（Ⅱ）‎ ‎。‎ ‎20．解： ‎ ‎(Ⅰ) ,‎ ‎，其中 ‎（Ⅱ）本问考查分析解决应用问题的能力，以及绝对值的基本知识。‎ 点P到A,B,C三点的“L路径”长度之和的最小值d = 水平距离之和的最小值h + 垂直距离之和的最小值v。且h和v互不影响。显然当y=1时，v = 20+1=21；，水平距离之和h=x – (-10) + 14 – x + |x-3| ,且当x=3时，h=24.因此,当P(3,1)时，d=21+24=45.‎ 所以，当点P(x,y)满足P(3,1)时,点P到A,B,C三点的“L路径”长度之和d的最小值为45.‎ ‎21．解： (Ⅰ) ‎ ‎.‎ 所以，成立. (证毕)‎ ‎（Ⅱ）‎ 则，‎ ‎.‎ ‎。‎ ‎22．解：‎ ‎(Ⅰ)‎ ‎ ‎ ‎（II）由前知，y=f(x)的图像是由两段反比例函数的图像组成的。因此，若在图像上存在两点满足题目要求，则P,Q分别在两个图像上，且。‎ 不妨设 所以，当时，函数在区间内的图像上存在两点，在该两点处的切线相互垂直。 ‎