- 2021-07-01 发布 |
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文档介绍
高考数学专题复习练习:考点规范练41
考点规范练41 直线的倾斜角、斜率与直线的方程 考点规范练A册第32页 基础巩固组 1.设直线ax+by+c=0的倾斜角为α,且sin α+cos α=0,则a,b满足( ) A.a+b=1 B.a-b=1 C.a+b=0 D.a-b=0 答案D 解析由sin α+cos α=0,得sinαcosα=-1,即tan α=-1. 又因为tan α=-ab,所以-ab=-1. 即a=b,故应选D. 2.已知{an}是等差数列,a4=15,S5=55,则过点P(3,a3),Q(4,a4)的直线斜率为( ) A.4 B.14 C.-4 D.-14 答案A 解析∵{an}为等差数列,S5=55, ∴a1+a5=22,∴2a3=22,∴a3=11. 又a4=15,∴kPQ=a4-a34-3=4. 3.直线l经过点A(1,2),在x轴上的截距的取值范围是(-3,3),则其斜率的取值范围是( ) A.-1,15 B.-∞,12∪(1,+∞) C.(-∞,1)∪15,+∞ D.(-∞,-1)∪12,+∞ 答案D 解析设直线的斜率为k,如图,过定点A的直线经过点B时,直线l在x轴上的截距为3,此时k=-1;过定点A的直线经过点C时,直线l在x轴上的截距为-3,此时k=12,满足条件的直线l的斜率范围是(-∞,-1)∪12,+∞. 4.一次函数y=-mnx+1n的图象同时经过第一、二、四象限的必要不充分条件是( ) A.m>1,且n>1 B.mn>0 C.m>0,且n<0 D.m>0,且n>0 答案B 解析因为y=-mnx+1n经过第一、二、四象限,所以-mn<0,1n>0,即m>0,n>0,但此为充要条件,因此,其必要不充分条件为mn>0,故选B. 5.设A,B是x轴上的两点,点P的横坐标为2,且|PA|=|PB|,若直线PA的方程为x-y+1=0,则直线PB的方程是( ) A.x+y-5=0 B.2x-y-1=0 C.2x-y-4=0 D.2x+y-7=0〚导学号74920313〛 答案A 解析易知A(-1,0). ∵|PA|=|PB|,∴P在AB的中垂线即x=2上.∴B(5,0). ∵PA,PB关于直线x=2对称,∴kPB=-1. ∴lPB:y-0=-(x-5),即x+y-5=0. 6.若ab>0,且A(a,0),B(0,b),C(-2,-2)三点共线,则ab的最小值为 . 答案16 解析根据A(a,0),B(0,b)确定直线的方程为xa+yb=1,又C(-2,-2)在该直线上,故-2a+-2b=1,所以-2(a+b)=ab.又ab>0,故a<0,b<0. 根据基本不等式ab=-2(a+b)≥4ab,从而ab≤0(舍去)或ab≥4,故ab≥16,当且仅当a=b=-4时取等号.即ab的最小值为16. 7.一条直线经过点A(2,-3),并且它的倾斜角等于直线y=13x的倾斜角的2倍,则这条直线的一般式方程是 . 答案3x-y-33=0 解析因为直线y=13x的倾斜角为30°, 所以所求直线的倾斜角为60°,即斜率k=tan 60°=3. 又该直线过点A(2,-3), 故所求直线为y-(-3)=3(x-2), 即3x-y-33=0. 8.设直线l的方程为(m2-2m-3)x+(2m2+m-1)y=2m-6,根据下列条件分别求m的值. (1)直线l经过定点P(2,-1); (2)直线l在y轴上的截距为6; (3)直线l与y轴平行; (4)直线l与y轴垂直. 解(1)由于点P在直线l上,即点P的坐标(2,-1)适合方程(m2-2m-3)x+(2m2+m-1)y=2m-6,把点P的坐标(2,-1)代入方程,得2(m2-2m-3)-(2m2+m-1)=2m-6,解得m=17. (2)令x=0,得y=2m-62m2+m-1, 根据题意可知2m-62m2+m-1=6, 解得m=-13或m=0. (3)直线与y轴平行,则有m2-2m-3≠0,2m2+m-1=0,解得m=12. (4)直线与y轴垂直,则有m2-2m-3=0,2m2+m-1≠0,解得m=3. 9. 已知直线l过点P(0,1),且与直线l1:x-3y+10=0和l2:2x+y-8=0分别交于点A,B(如图).若线段AB被点P平分,求直线l的方程. 解∵点B在直线l2:2x+y-8=0上, ∴可设点B的坐标为(a,8-2a). ∵点P(0,1)是线段AB的中点, ∴点A的坐标为(-a,2a-6). 又点A在直线l1:x-3y+10=0上, ∴将A(-a,2a-6)代入直线l1的方程, 得-a-3(2a-6)+10=0,解得a=4. ∴点B的坐标是(4,0). 因此,过P(0,1),B(4,0)的直线l的方程为x4+y1=1,即x+4y-4=0. 能力提升组 10.若点(m,n)在直线4x+3y-10=0上,则m2+n2的最小值是( ) A.2 B.22 C.4 D.23〚导学号74920314〛 答案C 解析(方法一)因为点(m,n)在直线4x+3y-10=0上,所以4m+3n-10=0. 欲求m2+n2的最小值可先求(m-0)2+(n-0)2的最小值. 而(m-0)2+(n-0)2表示4m+3n-10=0上的点(m,n)到原点的距离,如图. 当过原点和点(m,n)的直线与直线4m+3n-10=0垂直时,原点到点(m,n)的距离最小,最小值为2. 故m2+n2的最小值为4. (方法二)由题意知点(m,n)为直线上到原点最近的点,直线与两坐标轴交于A52,0,B0,103, 在Rt△OAB中,OA=52,OB=103,斜边AB=522+1032=256,斜边上的高h即为所求m2+n2的算术平方根,∴S△OAB=12·OA·OB=12AB·h, ∴h=OA·OBAB=52×103256=2, ∴m2+n2的最小值为h2=4. 11.若直线ax+by=ab(a>0,b>0)过点(1,1),则该直线在x轴,y轴上的截距之和的最小值为( ) A.1 B.2 C.4 D.8〚导学号74920315〛 答案C 解析∵直线ax+by=ab(a>0,b>0)过点(1,1), ∴a+b=ab,即1a+1b=1, ∴直线在x轴、y轴上的截距之和a+b=(a+b)1a+1b=2+ba+ab≥2+2ba·ab=4, 当且仅当a=b=2时等号成立. ∴该直线在x轴,y轴上的截距之和的最小值为4. 12.已知直线l过点M(1,1),且与x轴,y轴的正半轴分别相交于A,B两点,O为坐标原点.当|MA|2+|MB|2取得最小值时,求直线l的方程. 解设直线l的斜率为k,则k<0, 直线l的方程为y-1=k(x-1), 则A1-1k,0,B(0,1-k), 所以|MA|2+|MB|2=1-1+1k2+12+12+(1-1+k)2 =2+k2+1k2≥2+2k2·1k2=4, 当且仅当k2=1k2,即k=-1时,|MA|2+|MB|2取得最小值4,此时直线l的方程为x+y-2=0.〚导学号74920316〛 高考预测 13.过点A(1,4)引一条直线l,它与x轴,y轴的正半轴的交点分别为(a,0)和(0,b),当a+b取得最小值时,求直线l的方程. 解(方法一)由题意,设直线l:y-4=k(x-1),且k<0, 则a=1-4k,b=4-k. 故a+b=5+-4k-k≥5+4=9, 当且仅当k=-2时等号成立. 此时直线l的方程为y=-2x+6. (方法二)设l:xa+yb=1(a>0,b>0). 由于l经过点A(1,4),故1a+4b=1, 则a+b=(a+b)·1a+4b=5+4ab+ba≥9, 当且仅当4ab=ba,即b=2a时等号成立,此时a=3,b=6. 故所求直线l的方程为x3+y6=1, 即y=-2x+6.〚导学号74920317〛查看更多